江苏省南通市基地学校届高三下学期大联考数学试题含答案解析.docx
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江苏省南通市基地学校届高三下学期大联考数学试题含答案解析
江苏省南通市基地学校2022届高三下学期3月大联考数学试题
学校:
___________姓名：
___________班级：
___________考号：
___________
一、单选题
1．设集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
2．复数的虚部是（ ）
A．B．C．D．
3．校运会期间，要安排名志愿者参加跳高、跳远、接力赛三个项目的保障工作，要求每个项目至少安排名志愿者，每位志愿者只参加一个项目，则所有不同的安排方案有（ ）
A．种B．种C．种D．种
4．某同学画“切面圆柱体”（用与圆柱底面不平行的平面切圆柱，底面与切面之间的部分叫做切面圆柱体），发现切面与圆柱侧面的交线是一个椭圆（如图所示）若该同学所画的椭圆的离心率为，则“切面”所在平面与底面所成的角为（ ）
A．B．C．D．
5．在△ABC中，若，则（ ）
A．B．C．D．
6．过点作圆O：
的两条切线，切点分别为A，B，若直线AB与抛物线交于C，D，则（ ）
A．B．C．2D．4
7．已知正六棱柱的底面边长为1，是正六棱柱内（不含表面）的一点，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
8．已知，，，则（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
9．若数列是等比数列，则（ ）
A．数列是等比数列B．数列是等比数列
C．数列是等比数列D．数列是等比数列
10．已知函数，则（ ）
A．的最小正周期为B．是曲线的一个对称中心
C．是曲线的一条对称轴D．在区间上单调递增
11．已知椭圆与直线交于、两点，且，为的中点，若是直线上的点，则（ ）
A．椭圆的离心率为B．椭圆的短轴长为
C．D．到的两焦点距离之差的最大值为
12．若，则（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题
13．已知是奇函数，且当时，，则___________．
14．老师要从6篇课文中随机抽3篇不同的课文让同学背诵，规定至少要背出其中2篇才能及格．某位同学只能背出其中的4篇，则该同学能及格的概率是___________．
15．已知等差数列的公差为d，前n项和为，试写出“”的一个充分不必要条件：
___________．
四、双空题
16．在棱长为的正方体中，P为侧面内的动点，且直线与的夹角为30°，则点P的轨迹长为___________；若点与动点P均在球O表面上，球O的表面积为___________．
五、解答题
17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
（1）求B；
（2）若M是AC的中点，且，在下面两个问题中选择一个进行解答．
①求△ABM面积的最大值；
②求BM的最大值．
（注：
如果求解了两个问题，则按照第一个问题解答给分）
18．已知数列满足，记．
（1）写出，，并证明：
数列是等比数列；
（2）若数列的前n项和为，求数列的前20项的乘积．
19．如图，在长方体中，已知，，P为棱的中点，平面与平面ABCD的交线为l．
（1）证明：
；
（2）求二面角的正弦值．
20．为进一步推动党史学习教育活动的深入进行，某单位举行了党史知识竞赛规定：
①竞赛包含选择题和填空题2种类型，每位选手按照先回答选择题后回答填空题的顺序进行，每次答题结果正确与否相互浊立；
②选择题包含3道题目，若前两道均回答正确，则终止选择题解答，进入填空题解答，否则需要回答3道选择题；
③填空题也包含3道题目，若第一道填空题回答正确，且连同选择题共答对3道题目，则结束答题，否则需要解答完3道填空题；
④若整个竞赛中答题总数为3道，则获得一等奖，奖金为100元；若答题总数为4道或5道，则获得二等奖，奖金为50元；其余情况获参与奖，奖金为20元．
现有该单位某员工参加比赛，已知该员工答对每题的概率均为．
（1）求该员工获得一等奖的概率；
（2）判断该员工获得奖金的期望能否超过50元，并说明理由．
21．已知函数，其导函数为．
（1）若函数在处的切线过原点，求实数a的值；
（2）若，证明：
．
22．已知双曲线C：
的左右顶点分别为，，两条准线之间的距离为1．
（1）求双曲线C的标准方程；
（2）若点P为右准线上一点，直线PA与C交于A，M，直线PB与C交于B，N，求点B到直线MN的距离的最大值．
参考答案：
1．D
【解析】
【分析】
根据解一元二次不等式的方法，结合集合并集的定义进行求解即可.
【详解】
因为，，所以，
故选：
D．
2．A
【解析】
【分析】
利用复数的除法化简复数，即可得解.
【详解】
因为，因此，复数的虚部为.
故选：
A.
3．C
【解析】
【分析】
先将将名志愿者分为组，每组人数分别为、、，然后将这组志愿者分配给三个项目，利用分步乘法计数原理可得所有不同的安排方案的种数.
【详解】
将名志愿者分为组，每组人数分别为、、，则分组方法种数为，
再将这组志愿者分配给三个项目，共有个结果，
由分步乘法计数原理可知，共有种不同的分配方案.
故选：
C.
4．B
【解析】
【分析】
如图，“切面”所在平面与底面所成的角为∠BAM，设圆的半径为r，，，，由离心率求得，从而可得∠BAM的余弦值，得角的大小．
【详解】
如图，“切面”所在平面与底面所成的角为∠BAM，设圆的半径为r，
则，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：
B．
5．A
【解析】
【分析】
利用两角和的正切公式和二倍角公式求解.
【详解】
因为，
所以，
所以，
，
故选：
A．
6．D
【解析】
【分析】
先得到以OP为直径的圆的方程与相减得到切点弦AB的方程，再与抛物线方程联立求解.
【详解】
过P作圆O：
的切线，切点为A，B，
以OP为直径的圆的方程为，
两圆方程相减得：
切点弦AB：
，即，
由，
∴或，
即，，
所以，
故选：
D．
7．A
【解析】
【分析】
建立空间直角坐标系，设，由正六边形的性质可知，再根据空间向量数列积公式，即可求出结果.
【详解】
建立如图所示的空间直角坐标系，且，
由正六边形的性质可得，，
设，其中，
所以，，
所以，所以的取值范围.
故选：
A.
8．C
【解析】
【分析】
构造函数，，利用导数法判断其单调性判断.
【详解】
令，，
则，，，
又，
所以在递增，
又，，
∴，
∴．
故选：
C
9．AD
【解析】
【分析】
设等比数列的公比为，利用等比数列的定义结合特例法可判断各选项的正误.
【详解】
设等比数列的公比为，
，则是以为公比的等比数列，A对；
时，，则不是等比数列，B错；
，时，，
此时不是等比数列，C错；
，所以，是公比为的等比数列，D对.
故选：
AD．
10．ACD
【解析】
【分析】
先求出，结合正弦函数的图像与性质对四个选项一一验证即可.
【详解】
，，A对．
是曲线的一个对称中心，B错．
，，，时，，
∴是的一条对称轴，C对．
，，，
∴在上单调递增，D对．
故选：
ACD.
11．ACD
【解析】
【分析】
利用点差法可求得的值，可得出的值，结合离心率公式可判断A选项；将直线的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，结合弦长公式求出的值，可判断B选项的正误；利用平面向量数量积的坐标运算，结合韦达定理，可判断C选项；利用对称思想结合三点共线可判断D选项的.
【详解】
令、，则，
则，则，
则，则，所以，，
所以，，则，，椭圆的标准方程为，
所以，椭圆的焦点在轴上，即，
，即，A对；
椭圆的方程为，联立，
消可得，，可得，
则，，
所以，，则，所以，椭圆的短轴长为，B错；
，C对；
椭圆的方程为，其标准方程为，，
椭圆的左焦点为，右焦点为，如下图所示：
设点关于直线的对称点为点，则，解得，
即点，
易知，则,
当且仅当点、、三点共线时，等号成立，D对.
故选：
ACD．
12．ABD
【解析】
【分析】
A选项和B选项直接通过赋值法进行解决，C选项两边同时求导，再令即可解决，
D选项考虑到，比较两边的系数即可得出.
【详解】
A选项：
时，，A对．
B选项：
时，①
时，②
，B对．
C选项：
，
求导得，
时，，
，C错．
D选项：
比较两边的系数
，D正确．
故选：
ABD.
【点睛】
本题关键在于C选项和D选项的判断，C选项需要两边先同时求导，再进行赋值，D选项需要先利用平方差公式进行变形，再考虑两边项的系数，即可解决.
13．##
【解析】
【分析】
利用奇函数的性质代入求值即可.
【详解】
．
故答案为：
.
14．##0.8
【解析】
【分析】
考虑对立面，用1减去只能背出1篇的概率即可.
【详解】
.
故答案为：
.
15．（答案不唯一）
【解析】
【分析】
直接由得出，写出一个满足的即可.
【详解】
，
∴，
∴，，
是“的一个充分不必要条件．
故答案为：
（答案不唯一）.
16．
【解析】
【分析】
由得，进而求出，借助弧长公式求解；
由点与动点P均在球O表面上判断出球心在上，建立关于半径的方程求出半径.
【详解】
①与的夹角为30°，，
∴与的夹角为30°，
即，
平面，
∴，
则，
P点轨迹长度．
②，，P都在球O上，O在上，
令半径为R，，，
，
∴
．
故答案为：
；.
17．
（1）
（2）①；②
【解析】
【分析】
（1）依据余弦定理即可求得角B的值；
（2）利用余弦定理和均值不等式即可求得①和②的最大值.
（1）
在△ABC中，．
又因为，所以，
化简得，所以．
又因为，所以．
（2）
若选①．
因为M是AC的中点，所以．
在△ABC中，由余弦定理，得，
所以，
所以，当且仅当时等号成立，
所以△ABM的面积的最大值是．
若选②．
在△ABC中，由余弦定理，得，
所以，
所以．
因为M是AC的中点，所以，
所以．
因为，所以，
所以，当且仅当时等号成立，
所以BM的最大值是．
18．
（1），；证明见解析
（2）
【解析】
【分析】
（1）依据等比数列定义去证明数列是等比数列；
（2）先求得数列的通项公式，再去求其前20项的乘积．
（1）
因为，所以，．
因为，
所以．
所以，又因为，所以，
所以数列是首项为2公比为2的等比数列．
（2）
因为，所以，
当时，．
当时，
综上可知，
所以．
19．
（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】
（1）延长与AB交于点E，连接，则，证明B为棱AE的中点，从而可得且，即可得四边形BECD是平行四边形，即可得证；
（2）以D为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法即可求得答案.
（1）
证明：
在平面中，延长与AB交于点E，连接，
因为，
所以E是平面与平面ABCD的交点，
所以，
在长方体中，，
在三角形中，因为P为棱的中点，，
所以B为棱AE的中点，
∴DC在长方体中，
且，
所以且，
所以四边形BECD是平行四边形，
所以，即；
（2）
解：
以D为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
在长方体中，平面，
所以是平面的一个法向量，
设为平面的法向量，
因为，，
由，，得，，，
取，所以为平面的一个法向量，
记一面角的平面角为，
因
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