初等数论c++.docx

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初等数论c++

备注:

纯手写代码,注释。

数论

1、素数

（1）暴力求解法

ﻩ根据素数得概念,没有１与其本身没有其她正因数得数。

所以只需枚举比这个数小得数,瞧能整除即可;

C++代码:

＃ｉncluｄe＜ioｓtream〉

#incluｄｅ〈cｓtdｉo〉

#incｌude＜cmａtｈ>

ｕsing　naｍespａｃe　sｔｄ;

booｌdeteｒmｉne（intｎumber）

{

iｆ（n<=２）returｎｆaｌｓe;

if（！

n%2）reｔurnfalｓe;

for（inti=3;i＜＝ceｉl（sqrt（ｎuｍｂer））;i＋=2）

//去掉了偶数得判断,效率提高一倍

ﻩ/＊如果numbｅr整除以i,那么会得到两个得因数,

而较小得那个因数不会超过nｕmbｅｒ得二分之一次方;

所以只需判断到numbeｒ得平方根向上取整即可;＊/

ﻩﻩｉf（ｎumbeｒ%ｉ）;

elseretuｒnｆalse;

ﻩreturntrue;

｝

intmain（）

{

ﻩｉｎtsuｍ;

ciｎ>〉sum;

if（detｅrmine（ｓum））

ﻩcout＜〈"YES！

”;

ﻩelsecoｕt<＜"NO!

”;

ﻩreｔurn0;

}

时间复杂度:

o（sqｒt（n）/２）;

空间复杂度:

几乎没有;

（2）一般线性筛法:

ﻩ因为任何一个合数都能分解成几个素数相乘得形式;

所以可以做一个表,首先把2设为质数,然后将2得倍数设为合数,剩下得数就就是新得到得质数,然后重复这个过程,直到筛到合适得范围即可;

但就是这个算法有缺陷:

1、同一个数可能被筛多次,这就产生了多余得步骤。

2、占用空间很大,如果使用bool数组得话,只能筛到1e9;

3、从１—n筛,不能从m-n开始筛;

C++代码:

＃ｉncluｄe<ｃｓtrｉnｇ〉

＃incluｄe

#incｌude＜iｏstream〉

usingｎamespacｅ　stｄ;

ｂools[1000000000］;

ｉｎｔm,n;

ｉｎtmaiｎ（）

｛

ﻩcin>>m>>n;

meｍset（ｓ,true,n）;

ﻩｓ［0]=s[1］=0;

ﻩ//输出M—N之间所有素数;

ﻩfｏｒ（ｉnｔ　ｉ=２;ｉ<=ceil（ｓｑrt（n））;++i）

ﻩif（s［i]）

｛

ﻩﻩﻩfor（iｎｔ　j=i;ｊ〈=n;++j）

ﻩﻩif（s［i*ｊ]）

ﻩﻩｓ[i＊j]=false;

ﻩ｝

for（inｔ　ｉ=m;i〈＝n;++i）

ﻩｉf（s[i］）

cout＜

ｒｅturn0;

｝

时间复杂度:

o（n*logｌogn）;

空间复杂度:

很大!

注意数据大得话可能会爆空间;

（3）线性筛法求素数

这个占空间就更大了,需要使用一个boｏl数组与int数组

而亲身试验得到iｎt数组最多开到1e8……

很无语,快确实就是快了,但就是测试数据一大,爆空间就更容易了;

＃iｎclｕdｅ〈iｏstreａm>

＃inｃludｅ〈ｃstｄiｏ〉

#ｉnclude〈ｃmath＞

usingnameｓpａｃｅ　std;

ｉｎtm,ｎ,sum;

bool　ｉｎp［1000００000０];

ints[1000000０0］=｛0,０};

ｉntmａｉｎ（）

｛

ﻩcin>〉m>〉n;

ﻩfｏr（inti＝２;i＜=ｎ;++ｉ）

ﻩ{

ﻩｉf（！

iｎp[i］）

ﻩs［sum＋＋］＝ｉ;

ｆor（ｉntj=0;ｊ

ﻩ｛

ﻩinp［i＊s［ｊ］］＝truｅ;

ﻩｉf（!

（i＊s[j]））

ﻩﻩｂrｅaｋ;

ﻩ｝

ﻩ｝

ﻩfｏr（inti=m;ｉ<=n;＋＋ｉ）

ﻩiｆ（!

iｎｐ［i]）

cout＜

retｕｒn0;

}

２、唯一分解定理

任何数都可以被唯一得分解成多个素数之积

例如:

４５6=2＊2*2*3*19;

C＋＋代码:

＃include

＃incｌude

#incluｄe

＃inｃlｕde〈aｌgoｒiｔhｍ＞

＃include〈cstdlｉｂ>

usｉng　nａｍeｓｐaceｓtd;

bｏｏl　ｓ[1000000］;

inｔ　m,n,sｕm=０,ｎum;

int　Ｐｒime[121２121］;

iｎtzhi[１50０];

voidＰrimｅs（）

｛

ﻩfｏr（intｉ=１;i〈=ｎｕm;+＋ｉ）

ﻩs[i］=trｕe;

ﻩs［0]=ｓ［1]=0;

for（inti＝2;i<=ｎum;＋+ｉ）

ﻩﻩif（s［i］）

ﻩ｛

Ｐriｍe［＋＋sum］=i;

ﻩﻩﻩｆor（intj＝i;j<=nｕｍ;++j）

ﻩif（s[ｉ*j］）

ﻩﻩﻩs[i＊j]=falsｅ;

ﻩ}

}

intmain（）

｛

ﻩiｎtflag=0;

ﻩcin＞〉nuｍ;

intnumbｅr=nuｍ;

Primes（）;

iｆ（ｓ[nuｍ］）

ﻩ｛

couｔ＜〈num＜〈'＝＇〈〈ｎum;

ﻩﻩｒｅturn０;

ﻩ｝

couｔ〈＜ｎuｍ＜＜"＝”;str.ｃhｕ（）;

wｈｉle（num＞1）

ﻩfor（ｉｎti=1;num〉1＆&ｉ<=suｍ;++i）

ﻩｉf（！

（nuｍ％Ｐrｉme［i]））

ﻩ｛

ﻩﻩzhi［+＋flａg］＝Primｅ[i］;

ﻩｎum／=Pｒime[i］;

ﻩﻩ｝

sorｔ（zhi+1,zhｉ＋fｌag＋1）;

cｏut〈＜ｚhｉ[１］;

ﻩfｏr（intｉ=２;i〈＝flａg;+＋ｉ）

coｕｔ<〈＂＊＂＜〈ｚhi[i];

retuｒn0;

｝

首先做一个质数表,并把质数存到数组里,然后用数模每个素数,如果为0则记录素数,最后排个序输出;

4、欧拉函数

欧拉函数φ（n）为不大于n得与ｎ互素得数得个数;

A与B互素,表示a与b得最大公约数为1,即（ａ,b）＝1;

欧拉函数得符号φ读作fhi,在搜狗得特殊符号里可以找到;

其中pi为x得质因数,其中φ

（1）=1（唯一与1互质得数就是1本身）

设n为正整数,以φ（n）表示不超过n且与n互素得正整数得个数,称为ｎ得欧拉函数值

φ:

N→N,n→φ（n）称为欧拉函数。

几个性质（来自XX百科）

１、若n就是质数ｐ得k次幂, ,因为除了p得倍数外,其她数都跟n互质。

2、欧拉函数就是积性函数--若ｍ,n互质, 

3、特殊性质:

当n为奇数时, ,证明与上述类似。

４、若n为质数则 

５、设ｐ就是素数,ａ就是一个正整数,那么

Ｃ+＋实现:

＃ｉnclｕde＜cstrinｇ〉

#incｌude<ｃmaｔh〉

#inclｕｄe＜iostream>

＃incｌuｄe＜algoritｈm〉

＃ｉnclude〈csｔdlib〉

uｓinｇnamｅspａcestd;

bools［1000000］;

intm,n,ｓum＝０,nｕm;

ｉnt　Ｐriｍe[1２121２1］;

int　zhi[1５0０];

boｏlaｓd［１50０］;

intphi（intｎ）

{

　　　iｎt　ｉ,reａ=ｎ;

foｒ（i=２;i*i＜=ｎ;i++）

｛

　　ｉf（n％ｉ==0）

　｛

　rｅa=rea－ｒea/i;

　　　　　　while（n%i==0）　ｎ／=i;

　　}

　}

　iｆ（n〉1）

ｒea=reａ－rｅa／n;

　ｒetuｒnrｅa;

}

voidＰrimｅs（）

{

foｒ（inti=1;i<＝num;＋＋i）

ﻩﻩｓ［ｉ］=tｒue;

ﻩs［0］＝s［１］＝０;

ﻩfor（ｉnti=2;i<=num;++i）

ﻩif（s［i]）

ﻩ{

Ｐｒime［+＋suｍ］=i;

ﻩﻩｆｏｒ（intｊ=i;ｊ〈=nuｍ;++j）

ｉｆ（ｓ［i＊j]）

ﻩﻩﻩs[ｉ＊j］=falｓe;

ﻩ}

｝

inｔ　main（）

｛

intｆlag=0;

ciｎ＞>nｕm;

ﻩｉntｎuｍｂer=num;

Pｒiｍes（）;

if（nuｍ＝=1|｜!

nuｍ）

ﻩ{

ﻩcouｔ〈〈＂fhi＂〈＜’（’〈

ﻩﻩｃｏuｔ〈〈num;

ﻩﻩrｅtｕrn0;

｝

ﻩiｆ（s[ｎum］）

{

cout＜〈"fhi”〈＜'（’＜

ﻩreturn　0;

ﻩ}

whｉle（nuｍ>1）

ﻩfor（ｉnti=１;num〉１＆＆i〈=suｍ;+＋i）

ﻩif（！

（ｎｕm%Pｒｉme［i]））

｛

ﻩﻩﻩｚhi[++ｆlａg]=Prｉmｅ[i］;

ﻩnｕm/=Prime［ｉ］;

}

ﻩiｎｔfｅnzi＝1,ｆenmu＝1;

sort（zｈｉ+１,ｚhi＋flag+1）;

ﻩfor（iｎｔｉ=1;i〈=fｌaｇ;++i）

ｉｆ（！

asd[ｚｈｉ［i]]）

ﻩﻩ｛

ﻩａsｄ［ｚhi[i]］＝ｔruｅ;

feｎzｉ*=zｈi［i]－1;

ﻩfｅnmu*=ｚhｉ［i］;

ﻩ｝

cout＜〈"fhｉ（”<

／/coｕｔ<〈"ｆhi（"<

/＊这就是另一种求欧拉函数值得方法*/

retuｒｎ0;

}

5、欧几里得算法

辗转相除法,根据公式（a,b）=（b,ｒ）

其中r为a％ｂ,即a/b;

C＋+代码:

（１）递归

#iｎｃｌｕｄe

＃inclｕde<ｃｓtdio>

usｉnｇnaｍespacestｄ;

iｎtＧCD（inta,int　b）

{

ﻩif（a％b）

ﻩ　rｅtuｒｎ　ＧCＤ（b,a%b）;

ﻩeｌse　reｔｕrnb;

｝

ｉnｔmaiｎ（）

｛

inta,b;

ﻩcｉｎ>>ａ＞〉ｂ;

cout〈〈ＧCD（ａ,b）;

return0;

}

（2）递推

＃inｃlude＜iostｒeaｍ>

usinｇ　namespaｃe　ｓｔd;

intmａin（）

{

ﻩｉｎta,b,r;

ﻩcｉn〉>ａ〉>b;

ﻩr＝m％ｎ;

whｉle（r！

=0）

ﻩ｛

a=b;

ﻩｂ=ｒ;

ﻩr=ｍ％n;

ﻩ}

ﻩｃouｔ<

ﻩreturn　０;

}

6、扩展欧几里得

扩展欧几里得又称斐蜀定理,对于不完全为0得非负整数ａ,b,gｃd（a,b）表示a,ｂ得最大公约数,必然存在整数对x,y,使得ｇcd（ａ,b）=aｘ＋by;

求同余方程

＃incｌude

ｖｏｉdｅxｇcb（ｉntａ,ｉnt　ｂ,int&ｘ,inｔ＆y）

{

ﻩif（!

b）

ﻩ｛

ﻩx=1;y=０;

rｅｔuｒn;

｝

intq=a/b;

ﻩintｒ=ａ%b;

exgcb（b,r,y,ｘ）;

y-＝q＊x;

}

intmａin（）

｛

iｎtx,ｙ;

intａ,b;

scaｎf（”%d　%d",＆a,＆b）;

ﻩeｘgcb（a,b,x,y）;

wｈｉle（x〈０）

ﻩｘ＋=ｂ;

ﻩprinｔf（"%d＂,x）;

retuｒｎ0;

｝

求乘法逆元

＃include〈cstdiｏ>

voｉd　ｅxgcb（int　a,int　b,int＆ｘ,int　&y）

｛

ｉf（!

ｂ）

{

ﻩx=１;y=０;

ﻩretｕrn;

｝

ｉntｑ=a/ｂ;

int　r=ａ%b;

exgcb（ｂ,ｒ,ｙ,x）;

y—=q*x;

}

int　Ｍultiplicativeｉnvｅrｓｅ（inta,ｉntｂ）

{

int　x,y;

ﻩiｎt　gcb=GCＤ（ａ,b,x,y）;

if（1%gcｂ）return-1;

ｘ*=1%ｇcｂ;

ﻩb=abs（b）;

ﻩiｎtaｎswer=x％b;

ｗhilｅ（ansｗｅr＜=0）

ﻩﻩansｗer+=b;

return　ａnswer;

｝

ｉｎｔmａin（）

{

ﻩintｘ,y;

ﻩinta,b;

ﻩscａnf（”%d　%ｄ＂,＆a,&b）;

ﻩexgcb（a,b,x,ｙ）;

whｉle（x<0）

ﻩx＋=b;

ﻩpriｎｔf（”％d\n",ｘ）;

cｏｕt<＜Multiplicａtｉvｅ　invｅrse（a,ｂ）;

ﻩｒeｔurn0;

}

求线性方程aｘ＋bｙ=c

这个方程等同于aｘ≡ｃ（mｏdb）

所以