著名不等式公式供知识拓展.docx
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著名不等式公式供知识拓展
三角形角的嵌入不等式
三角形角的嵌入不等式,在不至于引起歧义的情况下简称嵌入不等式。
该不等式指出,若A、B、C是一个三角形的三个角,则对任意实数x、y、z,有:
算术-几平均值不等式
在数学中,算术-几平均值不等式是一个常见而基本的不等式,表现了两类平均数:
算术平均数和几平均数之间恒定的不等关系。
设
为n个正实数,它们的算术平均数是
,它们的几平均数是
。
算术-几平均值不等式表明,对任意的正实数
,总有:
等号成立当且仅当
。
算术-几平均值不等式仅适用于正实数,是对数函数之凹性的体现,在数学、自然科学、工程科学以及经济学等其它学科都有应用。
算术-几平均值不等式经常被简称为平均值不等式(或均值不等式),尽管后者是一组包括它的不等式的合称。
例子
在n=4的情况,设:
,那么
.
可见
。
历史上的证明
历史上,算术-几平均值不等式拥有众多证明。
n=2的情况很早就为人所知,但对于一般的n,不等式并不容易证明。
1729年,英国数学家麦克劳林最早给出了一般情况的证明,用的是调整法,然而这个证明并不谨,是错误的。
柯西的证明
1821年,法国数学家柯西在他的著作《分析教程》中给出了一个使用逆向归纳法的证明[1]:
命题Pn:
对任意的n个正实数
,
1.当n=2时,P2显然成立。
2.假设Pn成立,那么P2n成立。
证明:
对于2n个正实数
,
3.假设Pn成立,那么Pn−1成立。
证明:
对于n-1个正实数
,设
,
,那么由于Pn成立,
。
但是
,
,因此上式正好变成
综合以上三点,就可以得到结论:
对任意的自然数
,命题Pn都成立。
这是因为由前两条可以得到:
对任意的自然数k,命题
都成立。
因此对任意的
,可以先找k使得
,再结合第三条就可以得到命题Pn成立了。
归纳法的证明
使用常规数学归纳法的证明则有乔治·克里斯托(GeorgeChrystal)在其著作《代数论》(algebra)的第二卷中给出的[2]:
由对称性不妨设xn+1是
中最大的,由于
,设
,则
,并且有
。
根据二项式定理,
于是完成了从n到n+1的证明。
此外还有更简洁的归纳法证明[3]:
在n的情况下有不等式
和
成立,于是:
所以
,从而有
。
基于琴生不等式的证明
注意到几平均数
实际上等于
,因此算术-几平均不等式等价于:
。
由于对数函数是一个凹函数,由琴生不等式可知上式成立。
此外还有基于排序不等式、伯努利不等式或借助调整法、辅助函数求导和加强命题的证明。
推广
算术-几平均不等式有很多不同形式的推广。
加权算术-几平均不等式
不仅“均匀”的算术平均数和几平均数之间有不等式,加权的算术平均数和几平均数之间也有不等式。
设
和
为正实数,并且
,那么:
。
加权算术-几平均不等式可以由琴生不等式得到。
矩阵形式
算术-几平均不等式可以看成是一维向量的系数的平均数不等式。
对于二维的矩阵,一样有类似的不等式:
对于系数都是正实数的矩阵
设
,
,那么有:
也就是说:
对k个纵列取算术平均数,它们的几平均大于等于对n个横行取的n个几平均数的算术平均。
极限形式
也称为积分形式:
对任意在区间[0,1]上可积的正值函数f,都有
这实际上是在算术-几平均值不等式取成
后,将两边的黎曼和中的n趋于无穷大后得到的形式。
伯努利不等式
数学中的伯努利不等式是说:
对任意整数
,和任意实数
,
;
如果
是偶数,则不等式对任意实数x成立。
可以看到在n=0,1,或x=0时等号成立,而对任意正整数
和任意实数
,
,有格不等式:
。
伯努利不等式经常用作证明其他不等式的关键步骤。
[编辑]证明和推广
伯努利不等式可以用数学归纳法证明:
当n=0,1,不等式明显成立。
假设不等式对正整数n,实数
时成立,那么
。
下面是推广到实数幂的版本:
如果x>−1,那么:
若
或
,有
;
若
,有
。
这不等式可以用导数比较来证明:
当r=0,1时,等式显然成立。
在
上定义f(x)=(1+x)r−(1+rx),其中
,对x微分得f'(x)=r(1+x)r−1−r,则f'(x)=0当且仅当x=0。
分情况讨论:
100,f'(x)<0;对−10。
因此f(x)在x=0时取最大值0,故得
。
2r<0或r>1,则对x>0,f'(x)>0;对−1因此f(x)在x=0时取最小值0,故得
。
在这两种情况,等号成立当且仅当x=0。
[编辑]相关不等式
下述不等式从另一边估计(1+x)r:
对任意x,r>0,都有
。
佩多不等式
几学的佩多不等式,是关连两个三角形的不等式,以唐·佩多(DonPedoe)命名。
这不等式指出:
如果第一个三角形的边长为a,b,c,面积为f,第二个三角形的边长为A,B,C,面积为F,那么:
,
等式成立当且仅当两个三角形为一对相似三角形,对应边成比例;
也就是a/A=b/B=c/C。
[编辑]证明
▪由海伦公式,两个三角形的面积可用边长表示为
16f2=(a+b+c)(a+b−c)(a−b+c)(b+c−a)=(a2+b2+c2)2−2(a4+b4+c4)
16F2=(A+B+C)(A+B−C)(A−B+C)(B+C−A)=(A2+B2+C2)2−2(A4+B4+C4),
再由柯西不等式,
16Ff+2a2A2+2b2B2+2c2C2
=(a2+b2+c2)(A2+B2+C2)
于是,
=A2(b2+c2−a2)+B2(a2+c2−b2)+C2(a2+b2−c2),命题得证。
等号成立当且仅当
也就是说两个三角形相似。
ABC是第一个三角形,A'B'C'是取相似后的第二个三角形,BC与B'C'重合
▪几证法
三角形的面积与边长的平成正比,因此在要证的式子两边同乘一个系数λ2,使得λA=a,几意义是将第二个三角形取相似(如右图)。
设这时A、B、C变成x、y、z,F变成F'。
考虑AA'的长度。
由余弦公式,
将
代入就变成:
两边化简后同时乘以
,并注意到a=x,就可得到原不等式。
等号成立当且仅当A与A'重合,即两个三角形相似。
斯比特不等式
斯比特不等式是数学的一条不等式,它说对任正实数a,b,c,都有:
[编辑]证明
此不等式证明法很多,例如从平均数不等式我们有:
,
移项得出:
,
整理左式:
,
。
因而不等式得证。
埃尔德什-莫德尔不等式
如图,埃尔德什-莫德尔不等式说明点O到三个顶点的距离之和(绿色线段)大于到三边距离之和(蓝色线段)的两倍
在几学中,埃尔德什-莫德尔不等式是一个二十世纪初期发现的不等式。
埃尔德什-莫德尔不等式说明了:
对于任三角形ABC和其部的一点O,点O到三角形三条边的距离之和总是小于或等于点O到三角形的三个顶点的距离之和的一半。
埃尔德什-莫德尔不等式可以认为是几学中的欧拉定理的一个推广。
欧拉定理声称三角形外接圆的半径总是大于等于切圆半径的两倍。
[编辑]历史
该不等式最早由埃尔德什在1935年在《美国数学月刊》上提出,作为第3740号问题。
两年之后,由路易斯·莫德尔和D.F.巴罗证明。
1957年,卡扎里诺夫提出了一个更简捷的证明[1]。
之后不断有更简洁、更基本的证明出现。
1958年班考夫(Bankoff)给出了运用正交投影和相似三角形的证明,1997年和2004年出现了使用面积不等式的证明,1993年和2001年发现了根据托勒密定理的证明。
[编辑]证明
如右图,O为三角形ABC中的一个点。
O到三角形三边的垂线分别交三条边于D、E、F。
设线段OA、OB、OC的长度分别是x、y、z,线段OD、OE、OF的长度分别是p、q、r,那么埃尔德什-莫德尔不等式为:
一个初等的证明式是使用三角函数以及均值不等式。
首先,由于OF垂直于AF,OE垂直于AE,A、F、O、E四点共圆且OA为直径,因此线段
(角A为顶点A对应的角)。
过点F、E作关于BC的垂线交BC于X、Y。
过O作BC的平行线分别交FX、EY于U、V。
由于OF垂直于AF,OE垂直于AE,
,
。
于是:
另一面,注意到在直角梯形中FUVE中,斜腰EF的长度大于等于直角腰UV。
因此:
类似地,还有:
,
三式相加,得到:
根据均值不等式,
,等等,于是最终得到:
这就是埃尔德什-莫德尔不等式。
外森比克不等式
设三角形的边长为a,b,c,面积为A,则外森比克不等式(Weitzenböck'sinequality)
成立。
当且仅当三角形为等边三角形,等号成立。
佩多不等式是外森比克不等式的推广。
[编辑]证明一
除了“所有平数非负”以外,这个证明不用到其它任不等式。
两边取平根,即得证。
舒尔不等式
舒尔不等式说明,对于所有的非负实数x、y、z和正数t,都有:
当且仅当x=y=z,或其中两个数相等而另外一个为零时,等号“=”成立。
当t是正的偶数时,不等式对所有的实数x、y和z都成立。
[编辑]证明
由于不等式是对称的,我们不妨设
。
则不等式
显然成立,这是因为左边的每一项都是非负的。
把它整理,即得舒尔不等式。
[编辑]推广
舒尔不等式有一个推广:
假设a、b、c是正的实数。
如果(a,b,c)和(x,y,z)是顺序的,则以下的不等式成立:
2007年,罗马尼亚数学家ValentinVornicu证明了一个更一般的形式:
考虑
,其中
,而且要么
,要么
。
设
,并设
要么是凸函数,要么是单调函数。
那么:
当x=a、y=b、z=c、k=1、ƒ(m)=mr时,即化为舒尔不等式。
[1]