二次根式基础专题教学提纲.docx
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二次根式基础专题教学提纲
二次根式基础专题
二次根式
知识梳理
二次根式：
形如的式子叫二次根式，其中叫被开方数，只有当是一个非负数时，才有意义．
二次根式的性质
1.非负性：
是一个非负数．
2、．
3.
4.公式与的区别与联系
（1）表示求一个数的平方的算术根，a的范围是一切实数．
（2）表示一个数的算术平方根的平方，a的范围是非负数．
（3）和的运算结果都是非负的．
最简二次根式：
①被开方数是整数，因式是整式；②被开方数中不含能开得尽方的数或因式．
同类二次根式（可合并根式）：
几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式，即可以合并的两个根式。
分母有理化：
把分母中的根号化去，叫做分母有理化。
有理化因式：
两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式。
有理化因式确定方法如下：
1单项二次根式：
利用来确定，如：
，，与等分别互为有理化因式。
2②两项二次根式：
利用平方差公式来确定。
如与，，分别互为有理化因式。
例．写出一个无理数，使它与3的积为有理数_____________；
分母有理化的方法与步骤：
先将分子、分母化成最简二次根式；
将分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式；
③最后结果必须化成最简二次根式或有理式。
二次根式的乘除
1．积的算术平方根的性质：
积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积。
=·（a≥0，b≥0）
2．二次根式的乘法法则：
两个因式的算术平方根的积，等于这两个因式积的算术平方根。
·＝．（a≥0，b≥0）
3．商的算术平方根的性质：
商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根=（a≥0，b>0）
4．二次根式的除法法则：
两个数的算术平方根的商，等于这两个数的商的算术平方根。
=（a≥0，b>0）
二次根式的加减
需要先把二次根式化简，然后把被开方数相同的二次根式（即同类二次根式）的系数相加减，被开方数不变。
二次根式的混合计算与求值
1、确定运算顺序；
2、灵活运用运算定律；
3、正确使用乘法公式；
4、大多数分母有理化要及时；
5、在有些简便运算中也许可以约分，不要盲目有理化；
根式比较大小
1、根式变形法当时，①如果，则；②如果，则。
2、平方法当时，①如果，则；②如果，则。
3、分母有理化法通过分母有理化，利用分子的大小来比较。
4、分子有理化法通过分子有理化，利用分母的大小来比较。
5、倒数法
6、媒介传递法适当选择介于两个数之间的媒介值，利用传递性进行比较。
7、作差比较法在对两数比较大小时，经常运用如下性质：
①；②
8、求商比较法 它运用如下性质：
当a>0，b>0时，则：
①；②
例１．比较大小：
-3___________-2；
例２．已知a、b为两个连续整数，且a＜＜b，则a+b=_________；
二次根式的概念
形如（）的式子叫做二次根式。
注：
在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：
因为负数没有平方根，所以是为二次根式的前提条件，如，，等是二次根式，而，等都不是二次根式。
例１．下列各式一定不是二次根式的是（）
A、B、C、D、
例2.下列与是同类二次根式的是（）
A．B．C．D．-1
1．判断下列各式哪些是二次根式（ ）
（1）；
（2）
２．写出下列各等式成立的条件
（1）
（2）
（3）
（4）
（５）
例２．下列式子是最简二次根式的是（）
A、B、C、D、
１.下列根式中不是最简二次根式的是…………………………………………………（）
A．B．C．D．
２.如果最简二次根式与是同类二次根式，那么a的值是________；
取值范围
1. 二次根式有意义的条件：
由二次根式的意义可知，当a≧0时，有意义，是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。
2. 二次根式无意义的条件：
因负数没有算术平方根，所以当a﹤0时，没有意义。
例．若，则x的取值范围是
１．当ｘ 时，有意义。
２．当ｘ＜２时，＝
３．若，则a应是（）
A、负数B、正数C、非零实数D、有理数
４．二次根式中，字母a的取值范围是（）
A、a＜1B、a≤1C、a≥1D、a＞1
５．若使代数式有意义，则x的取值范围是（）
A、x≠2B、x≥2C、x＞2D、x≤4
６．若化简︱1-x︱-的结果为2x-5，则x的取值范围是（）
A、x为任意实数B、1≤x≤4C、x≥1D、x≤4
７．x为何值时，下列各式在实数范围内有意义
（1）
８.二次根式中，字母a的取值范围是…………………………………………（）
A．a＜1B．a≤1C．a≥1D．a＞1
９.已知是正整数，则实数n的最大值为………………………………………（）
A．12B．11C．8D．3
１０.使式子无意义的x取值的是______________；
二次根式（）的非负性
（）表示a的算术平方根，也就是说，（）是一个非负数，即0（）。
注：
因为二次根式（）表示a的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0，所以非负数（）的算术平方根是非负数，即0（），这个性质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、偶次方类似。
例．若，则a= ,b=
１．若，则a= ,b=
２.若=成立，则x满足________________；
３.已知x、y是实数，且满足y=++1
（1）求x和y的值；
（2）求的值。
二次根式（）的性质
（）
文字语言叙述为：
一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。
注：
二次根式的性质公式（）是逆用平方根的定义得出的结论。
上面的公式也可以反过来应用：
若，则．
例．如，则 ；
１.已知一个正数的平方根是2x-6和x+3，则这个数是___________；
２.把二次根式3中根号外的因数移到根号内，结果是______________；
二次根式的性质
文字语言叙述为：
一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。
注：
1、化简时，一定要弄明白被开方数的底数a是正数还是负数，若是正数或0，则等于a本身，即；若a是负数，则等于a的相反数-a,即；
例．＝
１．中的a的取值范围可以是任意实数，即不论a取何值，一定有意义；
２．化简时，先将它化成，再根据绝对值的意义来进行化简。
３．如果，求y-2x的算术平方根。
４．已知，求x的取值范围。
５.若=3-b，则（）
A．b＞3B．b＜3C．b≥3D．b≤3
与的异同点
1、不同点：
与表示的意义是不同的，表示一个正数a的算术平方根的平方，而表示一个实数a的平方的算术平方根；在中，而中a可以是正实数，0，负实数。
但与都是非负数，即，。
因而它的运算的结果是有差别的， ，而
2、相同点：
当被开方数都是非负数，即时，=；时，无意义，而
例．若a＜0，则化简为（）
A、B、-C、D、-
１．当ａ 时，
二次根式的乘除法
基础知识
1.计算：
2.
3．计算：
______．
4.使等式成立的条件是。
5.当，时，。
6、若=－x，则x的取值范围是。
7．化简二次根式得（）
A．B．C．D．30
8.若，则（）
A.B.C.D.
9．下列名式中计算正确的是（）
A.B.
C.D.
10.若，则化简后为（）
A.B.C.D.
11.计算:
（1）
（2）3 （3） （4）
12.化简:
（1）
（2）（3）（4）
能力提升
14．当a=时，则______．
15.把的根号外的因式移到根号内等于。
16．已知＝－x，则（ ）
（A）x≤0 （B）x≤－3 （C）x≥－3 （D）－3≤x≤0
17.和的大小关系是（）
A.B.C.D.不能确定
18.计算:
（1）（a≥0）
（2）（x≥0，y≥0）
（3）（x≥0，y≥0）
19.化简:
（1）（a≥0，b≥0）
（2）（x≥0，y≥0） （3）（ab≥0）
能力拓展与探究
20．（2006安徽省）计算2-的结果是（）
A.1B.-1C．-7D.5
21．（2007芜湖市）如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为10cm，正方形A的边长为6cm、B的边长为5cm、C的边长为5cm，则正方形D的边长为（）
A.cmB.4cmC.cmD.3cm
二次根式的加减
基础知识１
1.把下列各式化成最简二次根式：
（1）=
（2）= （3）=
（4）= （5）= （6）=
2.判断正误：
对的画“√”，错的画“×”.
（1）；（）
（2）；（）
（3）；（）
（4）；（）
（5）；（）
（6）.（）
3.计算：
（1）
=
=
（2）
=
=
=
（3）
=
=
=
（4）
=
=
=
基础知识２
1.填空：
二次根式加减法的法则是：
二次根式加减时，可以先将二次根式化成二次根式，再将相同的二次根式进行合并.
2.计算：
（1）
=
=
=
（2）
=
=
=
3.计算：
（1）
=
=
（2）
=
=
（3）
=
=
（4）
=
=
基础知识３
1.计算：
=
=
2.计算：
（1）
=
=
（2）
=
=
=
（3）
=
=
=
（4）
=
=
=
3.计算：
（1）
=
=
=
（2）
=
=
=
（3）
=
=
=
基础知识４
1.计算：
（1）
=
=
=
（2）
=
=
=
2.填空：
（1）平方差公式：
（a+b）（a-b）=；
（2）完全平方公式：
（a+b）2=，
（a-b）2=.
3.计算：
（1）
=
=
=
（2）
=
=
=
（3）
=
=
=
（4）
=
=
=
二次根是综合
１.如图所示，实数a、b在数轴上的位置，化简：
--
２.观察下列等式：
①==-1；
②==-；
③==-；……
解答下列问题：
⑴写出一个无理数，使它与3-的积为有理数。
你认为这样的无理数可以是_______；
⑵利用你观察到的规律，化简：
；
⑶计算：
+++…+。
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