【解】设
表每次掷的点数,则
从而
又X1,X2,X3,X4独立同分布.
从而
所以
2.假设一条生产线生产的产品合格率是0.8.要使一批产品的合格率达到在76%与84%之间的概率不小于90%,问这批产品至少要生产多少件?
【解】令
供应15m单位电能就可满足要求.令X表同时开动机床数目,则X~B(200,0.7),
查表知
m=151.
所以供电能151×15=2265(单位).
4.一加法器同时收到20个噪声电压Vk(k=1,2,…,20),设它们是相互独立的随机变量,且都在区间(0,10)上服从均匀分布.记V=
,求P{V>105}的近似值.
【解】易知:
E(Vk)=5,D(Vk)=
k=1,2,…,20
由中心极限定理知,随机变量
于是
即有P{V>105}≈0.348
5.有一批建筑房屋用的木柱,其中80%的长度不小于3m.现从这批木柱中随机地取出100根,问其中至少有30根短于3m的概率是多少?
【解】设100根中有X根短于3m,则X~B(100,0.2)
从而
6.某药厂断言,该厂生产的某种药品对于医治一种疑难的血液病的治愈率为0.8.医院检验员任意抽查100个服用此药品的病人,如果其中多于75人治愈,就接受这一断言,否则就拒绝这一断言.
(1)若实际上此药品对这种疾病的治愈率是0.8,问接受这一断言的概率是多少?
(2)若实际上此药品对这种疾病的治愈率是0.7,问接受这一断言的概率是多少?
【解】
令
(1)X~B(100,0.8),
(2)X~B(100,0.7),
7.用拉普拉斯中心极限定理近似计算从一批废品率为0.05的产品中,任取1000件,其中有20件废品的概率.
【解】令1000件中废品数X,则
p=0.05,n=1000,X~B(1000,0.05),
E(X)=50,D(X)=47.5.
故
8.设有30个电子器件.它们的使用寿命T1,…,T30服从参数λ=0.1[单位:
]的指数分布,其使用情况是第一个损坏第二个立即使用,以此类推.令T为30个器件使用的总计时间,求T超过350小时的概率.
【解】
故
9.上题中的电子器件若每件为a元,那么在年计划中一年至少需多少元才能以95%的概率保证够用(假定一年有306个工作日,每个工作日为8小时).
【解】设至少需n件才够用.则E(Ti)=10,D(Ti)=100,
E(T)=10n,D(T)=100n.
从而
即
故
所以需272a元.
10.对于一个学生而言,来参加家长会的家长人数是一个随机变量,设一个学生无家长、1名家长、2名家长来参加会议的概率分别为0.05,0.8,0.15.若学校共有400名学生,设各学生参加会议的家长数相与独立,且服从同一分布.
(1)求参加会议的家长数X超过450的概率?
(2)求有1名家长来参加会议的学生数不多于340的概率.
【解】
(1)以Xi(i=1,2,…,400)记第i个学生来参加会议的家长数.则Xi的分布律为
Xi
0
1
2
P
0.05
0.8
0.15
易知E(Xi=1.1),D(Xi)=0.19,i=1,2,…,400.
而
由中心极限定理得
于是
(2)以Y记有一名家长来参加会议的学生数.则Y~B(400,0.8)由拉普拉斯中心极限定理得
11.设男孩出生率为0.515,求在10000个新生婴儿中女孩不少于男孩的概率?
【解】用X表10000个婴儿中男孩的个数,则X~B(10000,0.515)要求女孩个数不少于男孩个数的概率,即求
P{X≤5000}.由中心极限定理有
12.设有1000个人独立行动,每个人能够按时进入掩蔽体的概率为0.9.以95%概率估计,在一次行动中:
(1)至少有多少个人能够进入?
(2)至多有多少人能够进入?
【解】用Xi表第i个人能够按时进入掩蔽体(i=1,2,…,1000).
令Sn=X1+X2+…+X1000.
(1)设至少有m人能够进入掩蔽体,要求P{m≤Sn≤1000}≥0.95,事件
由中心极限定理知:
从而
故
所以m=900-15.65=884.35≈884人
(2)设至多有M人能进入掩蔽体,要求P{0≤Sn≤M}≥0.95.
查表知
=1.65,M=900+15.65=915.65≈916人.
13.在一定保险公司里有10000人参加保险,每人每年付12元保险费,在一年内一个人死亡的概率为0.006,死亡者其家属可向保险公司领得1000元赔偿费.求:
(1)保险公司没有利润的概率为多大;
(2)保险公司一年的利润不少于60000元的概率为多大?
【解】设X为在一年中参加保险者的死亡人数,则X~B(10000,0.006).
(1)公司没有利润当且仅当“1000X=10000×12”即“X=120”.
于是所求概率为
(2)因为“公司利润≥60000”当且仅当“0≤X≤60”于是所求概率为
14.设随机变量X和Y的数学期望都是2,方差分别为1和4,而相关系数为0.5试根据契比雪夫不等式给出P{|X-Y|≥6}的估计.(2001研考)
【解】令Z=X-Y,有
所以
15.某保险公司多年统计资料表明,在索赔户中,被盗索赔户占20%,以X表示在随机抽查的100个索赔户中,因被盗向保险公司索赔的户数.
(1)写出X的概率分布;
(2)利用中心极限定理,求被盗索赔户不少于14户且不多于30户的概率近似值.
(1988研考)
【解】
(1)X可看作100次重复独立试验中,被盗户数出现的次数,而在每次试验中被盗户出现的概率是0.2,因此,X~B(100,0.2),故X的概率分布是
(2)被盗索赔户不少于14户且不多于30户的概率即为事件{14≤X≤30}的概率.由中心极限定理,得
16.一生产线生产的产品成箱包装,每箱的重量是随机的.假设每箱平均重50千克,标准差为5千克,若用最大载重量为5吨的汽车承运,试利用中心极限定理说明每辆车最多可以装多少箱,才能保障不超载的概率大于0.977.
【解】设Xi(i=1,2,…,n)是装运i箱的重量(单位:
千克),n为所求的箱数,由条件知,可把X1,X2,…,Xn视为独立同分布的随机变量,而n箱的总重量Tn=X1+X2+…+Xn是独立同分布随机变量之和,由条件知:
依中心极限定理,当n较大时,
故箱数n取决于条件
因此可从
解出n<98.0199,
即最多可装98箱.