浙江大学计算机考博试题计算理论及答案.docx
《浙江大学计算机考博试题计算理论及答案.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《浙江大学计算机考博试题计算理论及答案.docx（17页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
浙江大学计算机考博试题计算理论及答案
浙江大学-计算机-考博试题-计算理论及答案
计算理论
字母表：
一个有穷的符号集合。
字母表上的字符串是该字母表中的符号的有穷序列。
一个字符串的长度是它作为序列的长度。
连接反转Kleene星号L*，连接L中0个或多个字符串得到的所有字符串的集合。
有穷自动机：
描述能力和资源极其有限的计算机模型。
有穷自动机是一个5元组M=（K,∑,
s,F）,其中
1）K是一个有穷的集合，称为状态集
2）∑是一个有穷的集合，称为字母表
3）
是从KX∑→K的函数，称为转移函数
4）s∈K是初始状态
5）F
K是接收状态集
M接收的语言是M接收的所有字符串的集合，记作L（M）.
对于每一台非确定型有穷自动机，有一台等价的确定型有穷自动机
有穷自动机接受的语言在并、连接、Kleene星号、补、交运算下是封闭的。
每一台非确定型有穷自动机都等价于某一台确定型有穷自动机。
一个语言是正则的当且仅当它被有穷自动机接受。
正则表达式：
称R是一个正则表达式，如果R是
1）a，这里a是字母表∑中的一个元素。
2）
，只包含一个字符串空串的语言
3）
，不包含任何字符串的语言
4）（R1∪R2）,这里R1和R2是正则表达式
5）（R10R2）,这里R1和R2是正则表达式
6）（R1*）,这里R1*是正则表达式
一个语言是正则的当且仅当可以用正则表达式描述。
2000年4月
1、根据图灵机理论,说明现代计算机系统的理论基础。
1936年，图灵向伦敦权威的数学杂志投了一篇论文，题为《论数字计算在决断难题中的应用》。
在这篇开创性的论文中，图灵给“可计算性”下了一个严格的数学定义，并提出著名的“图灵机”（TuringMachine）的设想。
“图灵机”不是一种具体的机器，而是一种思想模型，可制造一种十分简单但运算能力极强的计算机装置，用来计算所有能想像得到的可计算函数。
这个装置由下面几个部分组成：
一个无限长的纸带，一个读写头。
（中间那个大盒子），内部状态（盒子上的方块，比如A,B,E,H），另外，还有一个程序对这个盒子进行控制。
这个装置就是根据程序的命令以及它的内部状态进行磁带的读写、移动。
工作带被划分为大小相同的方格，每一格上可书写一个给定字母表上的符号。
控制器可以在带上左右移动，它带有一个读写出一个你期待的结果。
这一理论奠定了整个现代计算机的理论基础。
“图灵机”更在电脑史上与“冯·诺依曼机”齐名，被永远载入计算机的发展史中。
图灵机在理论上能模拟现代数字计算机的一切运算,可视为现代数字计算机的数学模型。
实际上,一切"可计算"函数都等价于图灵机可计算函数,而图灵机可计算函数类又等价于一般递归函数类。
2、说明按乔姆斯基分类，语言、文法、自动机的关系
乔姆斯基将语言定义为，按一定规律构成的句子或符号串string的有限的或无限的集合，记为L。
数目有限的规则叫文法，记为G。
刻画某类语言的有效手段是文法和自动机。
文法与自动机的关系:
形式文法是从生成的角度来描述语言的,而自动机是从识别的角度来描述语言的.文法和自动机是形式语言理论的基本内容。
对某种语言来说,如果存在一个该语言的生成过程,就一定存在一个对于它的识别过程.就描述语言来讲,形式语言和自动机是统一的.文法在形式上定义为四元组：
G＝（VN,VT,S,P）,VN是非终极符号，VT是终极符号，S是VN中的初始符号，P是重写规则。
⏹文法是定义语言的一个数学模型，而自动机可看作是语言的识别系统。
⏹对于一个文法产生的语言，可以构造相应自动机接受该语言：
一个自动机接受的语言，可以构造对应的文法产生该语言。
一定类型的自动机和某种类型的文法具有等价性。
2、乔姆斯基根据转换规则将文法分作4类。
每类文法的生成能力与相应的语言自动机（识别语言的装置）的识别能力等价，即4类文法分别与4种语言自动机对应：
类型
文法
自动机
0型
无限制文法
图灵机
1型
上下文有关文法
线性有界自动机
2型
上下文无关文法
后进先出自动机
3型
有限状态的正则文法
有限自动机
最常见文法的分类系统是诺姆·乔姆斯基于1956年发展的乔姆斯基谱系，这个分类谱系把所有的文法分成四类型：
无限制文法、上下文相关文法、上下文无关文法和正规文法。
四类文法对应的语言类分别是递归可枚举语言、上下文相关语言、上下文无关语言和正规语言。
这四种文法类型依次拥有越来越严的产生式规则，同时文法所能表达的言也越来越少。
尽管表达能力比无限文法和上下文相关文法要弱，但由于高效率的实现，四类文法中最重要的上下文无关文法和正规文法。
例如对下文无关语言存在算法可以生成高效的LL分析器和LR分析器。
3、证明HALT（XR,X）不是可计算的。
4、
（1）、证明递归集都是递归可枚举集。
（2）、举例属于递归可枚举集但不是递归集的集合，并证明之。
5、
（1）、证明L＝{（a,b）*|a,b的个数相同}为上下文无关语言。
（2）、并证明其不是正则的。
P56
假设L是正则的，则根据在交下的封闭性，L∩a*b*也是封闭的，而后者正好是L1={aibi:
i≧0},假设L1是正则的，则存在满足泵引理的整数n。
考虑字符串w=anbn∈L。
根据定理可以写成w=xyz使得|xy|≦n，且y≠e，即y=ai，其中i＞0.但是xz=an-ibn
L，与定理矛盾。
2000年10月
1、
（1）给出图灵机的格局、计算及图灵机μ计算函数f的精确定义。
（2）对图灵机模型而言，church论题是什么？
（3）当x是完全平方时值为3x，否则为3x+1证明其是原始递归函数。
2、证明φ（X，X）是不可计算的。
3、证明L={ambn|m,n>0,m≠n}是上下文无关的，但不是正则的。
利用上下文无关语言在并、连接、Kleene星号下是封闭的。
正则语言在交运算下封闭。
4、A为有穷字母表，L是A*的无穷子集，
（1）证明存在无穷序列ω0,ω1,ω2…，它由L的所有字组成，每个字恰好在其中只出现一次。
（2）是否存在从L构造序列ω0,ω1,ω2…,的算法（即i由计算ωi），为什么？
2001年4月
1、
（1）当x是完全平方时值为2x，否则为2x+1证明其是原始递归函数。
（2）对图灵机模型而言，church论题是什么？
（3）通用图灵机的描述。
2、
（1）用有穷自动机构造正则语言，以a2b结尾的字符串组成的正则语言L
（2）L={a3nbn |n>0}为上下文无关,但不是正则。
3、A为字母表，L为A*上任意的语言。
阐述其乔姆斯基层次及用可计算性表述它们的关系。
4、证明不存在可计算函数h（x），使φ（x,x）↓时h（x,x）=φ（x,x）+a,a∈N,φ（x,y）是编号为y输入为x时的程序。
2001年10月
1、{a，b}上递归枚举语言是否可数？
证明
2、L={a，b，c数目相同的语言}是否CFL（上下文无关）证明p95
证：
不是上下文无关的。
假设L是上下文无关的，则它与正则语言a*b*c* 的交也是上下文无关的。
令L1={anbncn:
n≧0}
假设L1是上下文无关语言。
取常数p，ω＝apbpcp,∣ω∣＝3p≥p
将ω写成ω＝uvxyz使得v或y不是空串且uvixyiz∈L1
I=0,1,2……其中∣xy∣≥1且∣xuy∣≤p.
有两种可能他们都导致矛盾。
如果vy中a、b、c三个符号都出现，则v和y中必有一个至少含有abc中的两个符号。
于是uv2xy2z中abc的排列顺序不对，有的b在a前或c在a或b前。
如果vy中只出现a、b、c中的一个或两个符号，则uv2xy2z中a、b、c的个数不相等。
∴与L1是上下文无关语言假设矛盾。
综上，L不是2型语言。
3、被2，3整除的非负整数的十进制表示的集合是否正则。
∑={1，2，……9}，L
∑*，令L1是非负整数十进制表示的集合，容易看到
L1=0∪{1，2，……9}∑*，由于L1是用正则表达式表示的，故它是一个正则语言。
令L2是可以被2整除的非负整数的十进制表示的集合。
L2正好是以0，2，4，6，8结尾的L1的成员组成的集合，即L2=L1∩∑*{0，2，4，6，8}，根据正则语言在交运算下封闭原则，故L2也是一个正则语言。
令是可以被3整除的非负整数的十进制表示的集合.一个数可以被3整除当且仅当它的数字之和可以被3整除。
构造一台有穷自动机，用它的有穷控制器保存输入数字的模3和。
L3是这台有穷自动机接受的语言与L1的交。
最后L=L2∪L3，它一定是个正则语言。
4、NonSelfAccepting是否递归集合
2002年4月
1． 能被5整除的字符串是正则集吗
2． 用图灵机表示下列字符串。
Φ，e，{a},{a}*
3． s->ss,s->asb,s->abs,证明由s推得的字符串不可能以abb开头。
（可能记忆有误，具体形式就是这样）。
4证明不是所有的递归可枚举集都是递归的。
定理：
语言
不是递归的；所以，递归语言类是递归可枚举语言类的真子集。
2002年10月
1、 什么是计算计算理论研究的内容和意义是什么为什么要使用计算的抽象模型
2、 请写出一个正则表达式，描述下面的语言：
在字母表{0,1}上，不包含00子串且以1结尾。
4、语言L={an:
n是素数}是不是正则语言，是不是上下文无关的？
5、一个succ（n+1）的组合Turing机描述，说出它的作用。
P127
6、什么是Turing机的停机问题它是可判定的么为什么
H={“M”“w”：
Turing机M在输入w上停机}，
ATM＝{|M是一个TM，且M接受ω}
证明：
假设ATM是可判定的，下面将由之导出矛盾。
设H是ATM的判定器。
令M是一个TM，ω是一个串。
在输入上，如果M接受ω，则H就停机且接受ω；如果M不接受ω，则H也会停机，但拒绝ω。
换句话说，H是一个TM使得：
接受如果M接受ω
H（）=
拒绝如果M不接受ω
现在来构造一个新的图灵机D，它以H作为子程序。
当M被输入
它自己的描述是，TMD就调用H，以了解M将做什么。
一旦
得到这个信息，D就反着做，即：
如果M接受，它就拒绝；如果M
不接受，它就接受。
下面是D的描述。
D＝”对于输入，其中M是一个TM：
1）在输入>上运行H。
2）输出H输出的相反结论，即，如果H接受，就拒绝；
如果H拒绝，就接受。
”
总而言之，接受如果M不接受
D（）=
拒绝如果M接受
当以D的描述作为输入来运行D自身时，结果会怎样呢？
我们得到：
接受如果D不接受
D（）=
拒绝如果D接受
不论D做什么，它都被迫相反地做，这显然是一个矛盾。
所以，TMD和
TMH都不存在。
它是不可判定的。
假设H是递归的，那么H1={“M”：
Turing机M在输入字符串“M”上停机}也是递归的。
H1表示对角化程序的halts（X，X）部分。
假设存在判定H的Turing机M0，那么判定H1的TuringM1只需要把输入字符串
检查一个图灵机是否接受一个给定的串问题。
在证明之前，先来证明ATM是图灵可识别的。
这样，定理5.9表面识别器
确实比判定器更强大。
要求TM在所以输入上都停机限制了它能够识别
的语言种类。
下面的图灵机U识别ATM.
U=“对于输入,其中M是一个TM，ω是一个串：
1）在输入ω上模拟M；
2）如果M进入接受状态，则接受；如果M进入拒绝状态，则拒绝。
”
注意，如果M在ω上循环，则机器U在输入上循环，这就是U不判定
ATM的原因。
假如M知道自己在ω上不停机，它能拒绝ω，但事实上，它不
知道。
所以ATM有时被称为停机问题。
7、证明这个问题不可判定：
一个Turing机半判定的语言等于这样的一个语言，这个语言是w和w的转置的连接。
定理：
任何递归或递归可枚举语言，以及任何递归函数，分别可用随机存取Turing判定、半可判定和计算。
1、判定下述语言是否正则：
包含aaaaa子串的语言L。
2、画出判定下述语言的图灵机：
空集，e，a。
3、用数学归纳法证明一个上下文无关语言不包含ab子串，语言的描述忘记啦。
4、证明H是非递归的。
2003年4月
1、判断题目，好像有二十分左右，都是书上的概念，譬如：
递归语言是递归可枚举语言（错），一个语言如果是正则的，那么它一定是上下文无关语言（对），如果一个语言是图灵可识别的，那么、、、.（）。
后面的记不住了。
2、证明题，第1个是要证某种语言是正则语言，第2个是证该语言是上下文无关语言，中间还有一个是要证明某种语言是非上下文无关语言（有可能是非正则语言）。
最后一个是证明该语言是图灵可判语言。
该题在上几届的考题中都曾变换个样式出现过。
3、识图题，画了一个图，让写出该图所识别的语言是什么。
我记得它是英文参考书上的一个例题，所识别的是：
不全包含{a,b,c}中所有字符的字符串。
该题6分。
4、我没做，给出了一个式子，好像是y=a+b,让构造出计算该式的图灵机。
这个题目好像也是6分。
2003年10月
1、5个判断，比如
例如：
1. 也为正则语言。
2.对于两个任意的正则表达式R1和R2，判断L（R1）=L（R2）为不可判定问题。
3、｛xy|x属于正则语言L，y属于其补｝是正则语言；
4、存在非递归的递归可枚举语言。
2、｛（a^m）（b^m）c（a^2n）（b^2n），m，n∈N∩m、n≧1｝，写出产生它的上下文无关文法和识别它的确定下推自动机。
3、判断谓词是否递归;设P（x,y）为原始递归谓词，请证明也是原始递归谓词。
4、写出识别｛（0^n）（1^n）（2^n）n≧0｝的图灵机，和a^nb^nc^n类似，参考书的答案有问题！
5）L={a2n+1|n>=0} 不是上下文无关语言，用泵引理证明（其中，2为平方）
⏹在字母表T={a}上，L={a2n+1|n>=0}
⏹表示任意一对aa（包括0对）后跟一个a的字符串。
（即含有奇数个a的字符串。
）
6）L是一上下文无关文法，任给一正规文法R，L∈R可以判定吗，说明理由。
2004年4月
1、8个判断题
2、证明
（1）L1是正则语言，L2是非正则语言，若L1和L2的交为有限语言，则L1与L2的并为非正则语言。
（2）L1是正则语言，L2是非正则语言，若L1和L2的交为无限语言，则L1与L2的并为正则语言。
举例说明符合条件的L1和L2
3、有n个自然数x1,x2,...,xn，问是否存在素数p
使得[x（p）]^p=x
（1）+x
（2）+...+x（p-1）+x（p+1）+...+x（n）（式子类似这样的）
给出算法的描述,复杂度,并证明属于P类
4、给出图灵机的符号表示：
该图灵机计算函数f（x）;x为偶数f（x）=x/2,x为奇数f（x）=x+1
5、用泵定理证明语言L不是上下文无关的L={w∈（a,b）*:
w不同于WR}
2004年10月
1、构造上下文无关文法来生成语言
L1={ambncp:
m不等于n，且m、n、p>1}
L2={ambncp:
n不等于p，且m、n、p>1},并证明{{a,b,c}*-（L1∪L2）}不是上下文无关的
2、给出一个Turing包括转移关系等
根据给定的Turing的计算过程求出它所接受的语言L（M）;并构造一个文法来生成L（M）
3、一个有关递归的判断题，并说出理由，有3句话。
4、一个根据语言描述来判定两个语言之间关系的选择题。
如1是2的真子集，2是1的真子集，1=2，1、2无任何关系。
2005年4月
1、判断题
2、判定下列语言是否为正则语言，请具体说出理由
L1={w1|w∈{a,b}*,Na（w）-Nb（w）mod3≠0}
L2={w1|w∈{a,b}*,Na（w）-Nb（w）≠0}这里Na（w）、Nb（w）分别表示字符串w中a,b的个数
3、给出上下文无关文法生成语言 L3=｛xcy|2|x|=|y|,x,y∈{a,b}*｝
证明L4={aibjcidj:
i,j∈N,i,j≧1}不是上下文无关语言。
4、证明语言L5={“M”|Turing在空串e上停机}是非递归的，其中M表示TuringM的编码。
5、给定n个数，x1,x2,……xn,判定是否存在不同的i1,i2……ik,使满足下列两个条件：
（1）Xi1+Xi2+……Xik=（X1+X2+……Xn）/2
（2）Xi1+Xi2+……Xik不是素数，给出一个算法，并估计其计算时间，说明这个问题属于NP类，是给算法描述即可。
2006年4月
1、设上下文无关语言L={a}*
（1）假设L为无限语言，且上下文无关文法G生成该语言，即L=L（G）。
设K〉1为相对于文法G的泵定理常数，设r=k。
证明下列结论：
对于任意w∈L，如果|w|≧k，则{wam|n≧0}
L
（2）对于每个i（0≦i（3）证明如果L
{a}*为上下文无关语言，则L为正则语言
2、设语言L1={u
v}，u、v∈{a，b}*则，|v|≦|u|≦2|v|
（1）给出一个上下文无关的文法生成语言L1
（2）给出一个下推自动机产生语言L1
3、分别给出满足条件的语言的例子，或说明其不存在
（1）该语言是递归的，但是它的补语言非递归
（2）该语言是递归可枚举的，但是它的补语言是递归
（3）该语言是递归可枚举的，它的补语言也是递归可枚举不存在
（4）该语言是递归可枚举的，它的补语言却非递归可枚举
若语言是递归的，则它是递归可枚举的。
如：
L={anbncn:
n≧0}
若L是递归语言则它的补也是递归的。
若L是递归可枚举语言，则它的补是非递归可枚举的。
4、语言L称为前缀封闭（Prefixclosed）定义如下：
对于任意w∈L都有w的所有前缀均属于Ｌ。
利用停机问题的规约证明下列语言。
Ｈ＝｛“Ｍ”｜Ｌ（Ｍ）为前缀封闭的｝
５、说明如下问题：
ＩＳＯ＝{|无向图Ｇi=（Vi,Ei）（i=1,2）同构}是ＮＰ的。
（只需要给出一个非形式化的描述）
下面是ISO的验证机V
V=“对输入
”
2007年4月
1、判断题（简单）
如：
字母表E上的语言是递归可枚举语言（）
2、证明题
给定关系u~v的定义
（1）证明uv当且仅当vu
（2）证明具有这个关系的语言是正规的。
3、给出一个语言，（ww*，其中w*和w的转置至少有一个字母不一样）
（1）证明该语言是CFL
（2）给出PDA
4、给出一个问题（）
（1）给出该问题的图灵算法
（2）证明该问题是NPC（规约到顶点覆盖问题）
200８年4月
１、Ｌ１和Ｌ２如果Ｌ１交Ｌ２正则，Ｌ１和Ｌ２是否均正则
２、设Ｍ是上下文无关语言，Ｎ为正则语言，Ｍ属于Ｎ是否可判定
３、存在能被图灵机计算的非原始递归函数
４、ＮＰ类问题 Ｌ＝{aibjck|i+k≧j},写出该语言的上下文无关文法和下推自动机
５、判断下列语言是否是正则的
（１）语言Ｌ＝（ａ，ｂ），其中ａ至少出现Ｋ次
（２）语言Ｌ＝（ａ，ｂ），其中ａ至多出现Ｋ次
６、判断一些语言是否是递归语言，还是递归可枚举
７、一个图的问题ＳＡＴ多项式时间规约
图灵机 TuringMachine
图灵机的模型
掌握ＴＭ机器的构造方法：
识别语言的装置，用上下文无关语言表示不了的语言，可以用图灵机来表示；用有限自动机和下推自动机表示的语言，可以改造成用图灵机表示
递归&递归可枚举
判定&半判定
通用图灵机UTM
文法及分类
不可判定性，可判定，不可判定，停机问题，证明方法，关于TM的不可判定问题，
关于文法的不可判定问题，Rice定理
19、用归约说明{L（M）=e}不是递归的。
20、
21、找到一个数Pn;满足PnXn（Xn的M次方，不会表达）＝P0X0＋P1X1＋…＋
P（n－1）X（n－1）＋P（n＋1）X（n+1）+…+PmXm;
a） 计算时间复杂度；
b） 证明这是个P问题。
注：
括号里表示下标。
升级会员 