概率论与数理统计理工类第四版吴赣昌主编课后习题答案第七章.docx

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概率论与数理统计理工类第四版吴赣昌主编课后习题答案第七章

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写在前面：

由于答案是一个个复制到word中，比较耗时耗力，故下载收取5分，希望需要的朋友给予理解和支持！

PS：

网上有一些没经我同意就将我的答案整合、转换成pdf，放在文库里的，虽然是免费的，但是窃取了我的劳动成果，希望有心的朋友支持我一下，下载我的原版答案。

第七章假设检验

7.1假设检验的基本概念

习题1

样本容量n确定后，在一个假设检验中，给定显著水平为α，设此第二类错误的概率为β，则必有（）.

（A）α+β=1;      （B）α+β>1;      （C）α+β<1;    （D）α+β<2.

解答：

应选（D）.

当样本容量n确定后，α,β不能同时都很小，即α变小时，β变大；而β变小时，α变大.

理论上，自然希望犯这两类错误的概率都很小，但α,β的大小关系不能确定，并且这两类错误不能同时发生，即α=1且β=1不会发生，故选（D）.

习题2

设总体X∼N（μ,σ2）, 其中σ2已知，若要检验μ, 需用统计量U=X¯-μ0σ/n.

（1）若对单边检验，统计假设为

                  H0:

μ=μ0（μ0已知）, H1:

μ>μ0,

则拒绝区间为               ；

（2）若单边假设为H0:

μ=μ0,H1:

μ<μ0, 则拒绝区间为               （给定显著性水平为α, 样本均值为X¯, 样本容量为n, 且可记u1-α为标准正态分布的（1-α）分位数）.

解答：

应填

（1）U>u1-α;  

（2）U

由单侧检验及拒绝的概念即可得到.

习题3

如何理解假设检验所作出的“拒绝原假设H0”和“接受原假设H0”的判断？

解答：

  拒绝H0是有说服力的，接受H0是没有充分说服力的.因为假设检验的方法是概率性质的反证法，作为反证法就是必然要“推出矛盾”，才能得出“拒绝H0”的结论，这是有说服力的，如果“推不出矛盾”，这时只能说“目前还找不到拒绝H0的充分理由”，因此“不拒绝H0”或“接受H0”，这并没有肯定H0一定成立.由于样本观察值是随机的，因此拒绝H0，不意味着H0是假的，接受H0也不意味着H0是真的，都存在着错误决策的可能.

  当原假设H0为真，而作出了拒绝H0的判断，这类决策错误称为第一类错误，又叫弃真错误，显然犯这类错误的概率为前述的小概率α:

α=P（拒绝H0|H0为真）; 而原假设H0不真，却作出接受H0的判断，称这类错误为第二类错误，又称取伪错误，它发生的概率β为β=P（接受H0|H0不真）.

习题4

犯第一类错误的概率α与犯第二类错误的概率β之间有何关系？

解答：

  一般来说，当样本容量固定时，若减少犯一类错误的概率，则犯另一类错误的概率往往会增大.要它们同时减少,只有增加样本容量n. 在实际问题中,总是控制犯第一类错误的概率α而使犯第二类错误的概率尽可能小.α的大小视具体实际问题而定，通常取α=0.05,0.005等值.

习题5

在假设检验中，如何理解指定的显著水平α?

解答：

  我们希望所作的检验犯两类错误的概率尽可能都小，但实际上这是不可能的.当样本容量n固定时，一般地，减少犯其中一个错误的概率就会增加犯另一个错误的概率.因此，通常的作法是只要求犯第一类错误的概率不大于指定的显著水平α, 因而根据小概率原理，最终结论为拒绝H0较为可靠，而最终判断力接受H0则不大可靠，其原因是不知道犯第二类错误的概率β究竟有多少，且α小，β就大，所以通常用“H0相容”，“不拒绝H0”等词语来代替“接受H0”，而“不拒绝H0”还包含有再进一步作抽样检验的意思.

习题6

在假设检验中，如何确定原假设H0和备择假设H1?

解答：

在实际中，通常把那些需要着重考虑的假设视为原假设H0，而与之对应的假设视为备择假设H1.

（1）如果问题是要决定新方案是否比原方案好，往往将原方案取假设，而将新方案取为备择假设；

（2）若提出一个假设，检验的目的仅仅是为了判断这个假设是否成立，这时直接取此假设为原假设H0即可.

习题7

假设检验的基本步骤有哪些?

解答：

根据反证法的思想和小概率原理，可将假设检验的步骤归纳如下:

（1）根据问题的要求，提出原理假设H0和备择假设H1.

（2）根据检验对象，构造检验统计量T（X1,X2,⋯,Xn）, 使当H0为真时,T有确定的分布.

（3）由给定的显著水平α, 查统计量T所服从的分布表，定出临界值λ, 使

        P（∣T∣>λ）=α, 或  P（T>λ1）=P（T<λ2）=α/2,

从而求出H0的拒绝域:

∣T∣>λ或T>λ1,T<λ2.

（4）由样本观察值计算统计量T的观察值t.

（5）作出判断，将t的值与临界值比较大小作出结论:

当t∈拒绝域量时，则拒绝H0，否则，不拒绝H0，即认为在显著水平α下，H0与实际情况差异不显著.

习题8

假设检验与区间估计有何异同?

解答：

  假设检验与区间估计的提法虽不同，但解决问题的途径是相通的.参数θ的置信水平为1-α的置信区间对应于双边假设检验在显著性水平α下的接受域；参数θ的置信水平为1-α的单侧置信区对应于单边假设检验在显著性水平α下的接受域.

  在总体的分布已知的条件下，假设检验与区间估计是从不同的角度回答同一个问题.假设检验是判别原假设H0是否成立，而区间估计解决的是“多少”（或范围）, 前者是定性的，后者是定量的.

习题9

某天开工时，需检验自动包装工作是否正常.根据以往的经验，其装包的质量在正常情况下服从正态分布N（100,1.52）（单位:

kg）. 现抽测了9包，其质量为:

   99.3，98.7，100.5，101.2，98.3，99.7，99.5，102.0，100.5.

问这天包装机工作是否正常？

将这一问题化为假设检验问题.写出假设检验的步骤（α=0.05）.

解答：

（1）提出假设检验问题H0:

μ=100,  H1:

μ≠100;

（2）选取检验统计量U:

U=X¯-1001.59, H0成立时, U∼N（0,1）;

（3）α=0.05,uα/2=1.96, 拒绝域W={∣u∣>1.96};

（4）x¯≈99.97,∣u∣=0.06. 因∣u∣

习题10

设总体X∼N（μ,1）,X1,X2,⋯,Xn是取自X的样本.对于假设检验

                            H0:

μ=0,H1:

μ≠0,

取显著水平α, 拒绝域为W={∣u∣>uα/2}, 其中u=nX¯, 求:

（1）当H0成立时,犯第一类错误的概率α0;

（2）当H0不成立时（若μ≠0）, 犯第二类错误的概率β.

解答：

（1）X∼N（μ,1）,X¯∼N（μ,1/n）, 故nX¯=u∼N（0,1）.   α0=P{∣u∣>uα/2∣μ=0}=1-P{-uα/2≤u≤uα/2}

       =1-[Φ（uα/2）-Φ（-uα/2）]=1-[（1-α2）-α2]=α,

即犯第一类错误的概率是显著水平α.

（2）当H0不成立，即μ≠0时，犯第二类错误的概率为

     β=P{∣u∣≤uα/2∣E（X）=μ}

       =P{-uα/2≤u≤uα/2∣E（X）=μ}

       =P{-uα/2≤nX¯≤uα/2∣E（X）=μ}

       =P{-uα/2-nμ≤n（X¯-μ）≤uα/2-nμ∣E（X）=μ}

       =Φ（uα/2-nμ）-Φ（-uα/2-nμ）.

注1当μ→+∞或μ→-∞时，β→0. 由此可见，当实际均值μ偏离原假设较大时，犯第二类错误的概率很小，检验效果较好.

注2当μ≠0但接近于0时，β≈1-α. 因α很小，故犯第二类错误的概率很大，检验效果较差.

7.2单正态总体的假设检验

习题1

已知某炼铁厂铁水含碳量服从正态分布N（4.55,0.1082）. 现在测定了9炉铁水，其平均含碳量为4.484. 如果估计方差没有变化，可否认为现在生产的铁水平均含碳量仍为4.55（α=0.05）?

解答：

本问题是在α=0.05下检验假设

                      H0:

μ=4.55,   H1:

μ≠4.55.

由于σ2=0.1082已知，所以可选取统计量

                           U=X¯-4.550.108/9,

在H0成立的条件下，U∼N（0,1）, 且此检验问题的拒绝域为

                       ∣U∣=∣X¯-4.550.108/9∣>uα/2,

这里             u=4.484-4.550.108/9≈-1.833,uα/2=1.96.

显然                     ∣u∣=1.833<1.96=uα/2.

说明U没有落在拒绝域中，从而接受H0, 即认为现在生产之铁水平均含碳量仍为4.55.

习题2

要求一种元件平均使用寿命不得低于1000小时，生产者从一批这种元件中随机抽取25件，测得其寿命的平均值为950小时.已知该种元件寿命服从标准差为σ=100小时的正态分布，试在显著性水平α=0.05下确定这批元件是否合格？

设总体均值为μ,μ未知，即需检验假设H0:

μ≥1000,H1:

μ<1000.

解答：

检验假设H0:

μ≥1000,H1:

μ<1000.

这是单边假设检验问题.由于方差σ2=0.05, 故用u检验法.对于显著性水平α=0.05, 拒绝域为

                           W={X¯-1000σ/n<-uα.

查标准正态分布表，得u0.05=1.645.

又知n=25,x¯=950, 故可计算出

                       x¯-1000σ/n=950-1000100/25=-2.5.

因为-2.5<-1.645, 故在α=0.05下拒绝H0, 认为这批元件不合格.

习题3

打包机装糖入包，每包标准重为100kg. 每天开工后，要检验所装糖包的总体期望值是否合乎标准（100kg）. 某日开工后，测得9包糖重如下（单位：

kg）:

      99.3  98.7  100.5  101.2  98.3  99.7  99.5  102.1  100.5

打包机装糖的包得服从正态分布，问该天打包机工作是否正常（α=0.05）?

解答：

本问题是在α=0.05下检验假设

                        H0:

μ=100,H1:

μ≠100.

由于σ2未知，所以可选取统计量T=X¯-100S/n, 在H0成立的条件下，T∼t（n-1）, 且此检验问题的拒绝域为

                       ∣T∣=∣X¯-100S/n∣>tα/2（n-1）,

这里              t=x¯-100s/n≈99.978-1001.2122/9≈-0.0544,

                              t0.025（8）=2.306.

显然                ∣t∣=0.0544<2.306=t0.025（8）,

即t未落在拒绝域中，从而接受H0, 即可以认为该天打包工作正常.

习题4

机器包装食盐，假设每袋盐的净重服从正态分布，规定每袋标准含量为500g, 标准差不得超过10g. 某天开工后，随机抽取9袋，测得净重如下（单位：

g）:

      497,  507,  510,  475,  515,  484,  488,  524,  491,

试在显著性水平α=0.05下检验假设：

                     H0:

μ=500,H1:

μ≠500.

解答：

                       x¯=499,s≈16.031,n=9,

               t=（x¯-μ0）sn=499-50016.0319=-0.1871,

                       α=0.05, t0.025（8）=2.306.

因∣t∣

习题5

从清凉饮料自动售货机，随机抽样36杯，其平均含量为219（mL）, 标准差为14.2mL, 在α=0.05的显著性水平下，试检验假设：

H0:

μ=μ0=222,H1:

μ<μ0=222.

解答：

设总体X∼N（μ,σ2）,X代表自动售货机售出的清凉饮料含量，检验假设

                     H0:

μ=μ0=222（mL）,  H1:

μ<222（mL）.

由α=0.05,n=36, 查表得t0.05（36-1）=1.6896, 拒绝域为

                       W={t=x¯-μ0s/n<-tα（n-1）.

计算t值并判断：

                    t=219-22214.2/36≈-1.27>-1.6896,

习题6

某种导线的电阻服从正态分布N（μ,0.0052）. 今从新生产的一批导线中抽取9根，测其电阻，得s=0.008Ω, 对于α=0.05, 能否认为这批导线电阻的标准差仍为0.005?

解答：

本问题是在α=0.05下检验假设

                      H0:

σ2=0.0052,  H1:

σ2≠0.0052.

选取统计量χ2=n-1σ2S2, 在H0成立的条件下，

                               χ2∼χ2（n-1）,

且此检验问题的拒绝域为

                     χ2>χα/22（n-1）或χ2<χ1-α/22（n-1）.

这里              χ2=9-10.0052s2=80.0052×0.0082=20.48,

                     χ0.9752（8）=2.18,χ0.0252（8）=17.5.

显然χ2落在拒绝域中，从而拒绝H0, 即不能认为这批导线电阻的标准差仍为0.005.

习题7

某厂生产的铜丝，要求其折断力的方差不超过16N2. 今从某日生产的铜丝中随机抽取容量为9的样本，测得其折断力如下（单位：

N）:

     289,  286,  285,  286,  285,  284,  285,  286,  298,  292

设总体服从正态分布，问该日生产的铜线的折断力的方差是否符合标准（α=0.05）?

解答：

检验问题为

                        H0:

σ2≤16,  H1:

σ2>16,

              n=9,  s2≈20.3611, χ2=8×s216≈10.181,

                       α=0.05,  χ0.052（8）=15.507.

因χ2<χ0.052（8）=15.507, 故接受H0, 可认为铜丝的折断力的方差不超过16N2.

习题8

过去经验显示，高三学生完成标准考试的时间为一正态变量，其标准差为6min. 若随机样本为20位学生，其标准差为s=4.51, 试在显著性水平α=0.05下，检验假设：

                         H0:

σ≥6,H1:

σ<6.

解答：

                       H0:

σ≥6,H1:

σ<6.

          α=0.05,n-1=19,s=4.51,χ0.952（19）=10.117.

拒绝域为W={χ2<10.117}.

计算χ2值

                  χ2=（20-1）×4.51262≈10.74.

因为10.74>10.117, 故接受H0, 认为σ≥6.

习题9

测定某种溶液中的水分，它的10个测定值给出s=0.037%, 设测定值总体服从正态分布，σ2为总体方差，σ2未知，试在α=0.05水平下检验假设：

                      H0:

σ≥0.04%,H1:

σ<0.04%.

解答：

在α=0.05下，拒绝域为

                      W={（n-1）S2σ02<χ1-α2（9）.

查χ2分布表得χ0.952（9）=3.325. 计算得

           （n-1）s2σ02=（10-1）×（0.037\per）2（0.04\per）2≈7.7006>3.325,

未落入拒绝域，故接受H0.

7.3双正态总体的假设检验

习题1

制造厂家宣称，线A的平均张力比线B至少强120N, 为证实其说法，在同样情况下测试两种线各50条.线A的平均张力x¯=867N, 标准差为σ1=62.8N; 而线B的平均张力为y¯=778N, 标准差为σ2=56.1N. 在α=0.05的显著性水平下，试检验此制造厂家的说法.

解答：

                    H0:

μ1-μ2=120,H1:

μ1-μ2<120.

                          α=0.05,u0.05=1.645.

拒绝域为              W={u=x¯-y¯-120σ12n1+σ22n2<-uα.

由x¯=867,y¯=778,n1=n2=50, σ12=（62.8）2,σ22=（56.1）2, 得

                   u=867-778-120（62.8）250+（56.1）250≈-3111.91≈-2.60.

因为-2.60<-1.645, 故拒绝H0, 认为μ1-μ2<120, 即厂家的说法不对.

习题2

欲知某新血清是否能抑制白血球过多症，选择已患该病的老鼠9只，并将其中5只施予此种血清，另外4只则不然.从实验开始，其存活年限表示如下：

接受血清

2.1,5.3,1.4,4.6,0.9

未接受血清

1.9,0.5,2.8,3.1

假设两总体均服从方差相同的正态分布，试在显著性水平α=0.05下检验此种血清是否有效？

解答：

设μ1，μ2分别为老鼠接受和未接受血清的平均存活年限。

则检验假设H0:

μ1-μ2=0,H1:

μ1-μ2>0.

属单边检验问题.对给定的α=0.05, 拒绝域为

                  W={x1¯-x2¯-0sw1n1+1n2>tα（n1+n2-2）.

由x1¯=2.86,x2¯=2.075,s1≈1.971,s2≈1.167, 可计算出

            sw=（5-1）×（1.971）2+（4-1）×（1.167）25+4-2≈1.674.

查表得t0.005（7）=1.895. 算得

                    t=2.86-2.075-01.67415+14≈0.699<1.895.

因为0.699<1.895, 故不拒绝H0, 认为此药无效.

习题3

据现在的推测，矮个子的人比高个子的人寿命要长一些.下面给出美国31个自然死亡的总统的寿命，将他们分为矮个子与高个子2类，列表如下：

矮个子总统  85  79  67  90  80

高个子总统  68  53  63  70  88  74  64  66  60

            60  78  71  67  90  73  71  77  72

            57  78  67  56  63  64  83  65

假设2个寿命总体均服从正态分布且方差相等，试问这些数据是否符合上述推陈出推测（α=0.05）?

解答：

设μ1，μ2分别为矮个子与高个子总统的平均寿命，则检验问题为

H0:

μ1≤μ2,H1:

μ1>μ2,

                  n1=5,x¯=80.2,s1≈8.585,

                  n2=26,y¯≈69.15,s2≈9.315,

        sw=4×8.5852+9.315229≈9.218, n1n2n1+n2≈2.048,

        t=（80.2-69.15）9.218×2.048≈2.455, α=0.05,t0.05（29）=1.6991,

因t>t0.05（29）=1.6991, 故拒绝H0, 认为矮个子总统的寿命比高个子总统寿命长.

习题4

在20世纪70年代后期人们发现，酿造啤酒时，在麦芽干燥过程中形成致癌物质亚硝基二甲胺（NDMA）.到了20世纪80年代初期，人们开发了一种新的麦芽干燥过程，下面给出了分别在新、老两种过程中形成的NDMA含量（以10亿份中的份数计）:

老过程

645565564674

新过程

212210321013

设两样本分别来自正态总体，且两总体的方差相等，但参数均未知.两样本独立.分别以μ1,μ2记对应于老、新过程的总体的均值，试检验假设（取α=0.05）:

                        H0:

μ1-μ2≤2,H1:

μ1-μ2>2.

解答：

检验假设   H0:

μ1-μ2≤2,H1:

μ1-μ2>2.