直线与椭圆位置关系经典.docx
《直线与椭圆位置关系经典.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《直线与椭圆位置关系经典.docx（32页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
直线与椭圆位置关系经典
直线与椭圆（教师版）
知识与归纳：
1..点与椭圆的位置关系
点P（x0，y0）在椭圆x2
y2
1内部的充要条件是
x02
y02
1；在椭圆外部的充要条件是
x02
y02
1；
a2
b2
a2
b2
a2
b2
x02
y02
1.
在椭圆上的充要条件是
2
b2
a
2.直线与椭圆的位置关系.
设直线l：
Ax+By+C=0，椭圆C：
x2
y2
1，联立l
与C，消去某一变量（x或y）得到关于另一个变量的一元二
a2
b2
次方程，此一元二次方程的判别式为
，
则l
与C相离的
<0；
l与C相切
=0；
l
与C相交于不同两点
>0.
3.
计算椭圆被直线截得的弦长，往往是设而不求，即设弦两端坐标为1（
1，
y
1）
，2（
x
2，
P
x
P
y
2）
|
12|=
（x1
x2）
2
（y1
y
2）
2
1
k
2
x1
x2
1
y1
y2（k为直线斜率）形式
（利用根与
PP
1
2
k
系数关系
（推导过程：
若点
A（x1,y1），B（x2,y2）在直线y
kx
b（k
0）上，
则y1
kx1
b，y2
kx2
b，这是同点纵横坐标变换，是两大坐标变换技巧之一，
AB
（x1
x2）2
（y1
y2）2
（x1
x2）2
（kx1
kx2）2
（1k2）（x1
x2）2
（1
k2）[（x1x2）2
4x1x2]
或者AB
（x1
x2）2
（y1
y2）2
（1x1
1x2）2
（y1
y2）2
（1
12）（y1y2）2
k
k
k
（1
1）[（y1
y2）2
4y1y2]。
）
k2
一，直线与椭圆的位置关系
例题1、判断直线kx
y
30与椭圆x2
y2
1的位置关系
16
4
y
kx
3
可得（4k2
1）x2
16（16k2
解：
由
x2
y2
24kx
20
0
5）
16
4
1
（1）当
16（16k2
5）
0即k
5或k
5
时，直线kxy
3
0与椭圆x2
y2
1
相交
4
4
16
4
..
（2）当
16（16k2
5）
0即k
5或k
5
时，直线kx
y
3
0与椭圆x2
y2
1相切
4
4
16
4
（3）当
16（16k2
5）
0即
5
k
5
时，直线kxy
3
0与椭圆x2
y2
1相离
4
4
16
4
例题2、若直线ykx
1（k
R）与椭圆x2
y2
1恒有公共点，求实数
m的取值范围
5
m
解法一：
y
kx
1
由x2
y2
可得（5k2
m）x2
10kx
55m
0，
m5k2
10即m5k2
11
5
m
1
m1且m5
解法二：
直线恒过一定点（0,1）
当m5时，椭圆焦点在x轴上，短半轴长bm
当m5时，椭圆焦点在y轴上，长半轴长a5
综述：
m1且m5
，要使直线与椭圆恒有交点则m1即1m5
可保证直线与椭圆恒有交点即m5
解法三：
直线恒过一定点
（0,1）
要使直线与椭圆恒有交点，即要保证定点
（0,1）在椭圆内部02
12
1即m1
5
m
m1且m5
[评述]由直线方程与椭圆方程联立的方程组解的情况直接导致两曲线的交点状况，
而方程解的情况由判别式来决
定，直线与椭圆有相交、相切、相离三种关系，直线方程与椭圆方程联立，消去
y或x得到关于x或y的一元二
次方程，则
（1）直线与椭圆相交
0
（2）直线与椭圆相切
0（3）直线与椭圆相离
0，所
以判定直线与椭圆的位置关系，方程及其判别式是最基本的工具。
或者可首先判断直线是否过定点，并且初定定
点在椭圆内、外还是干脆就在椭圆上，然后借助曲线特征判断：
如例
2中法二是根据两曲线的特征观察所至；法
三则紧抓定点在椭圆内部这一特征：
点
xo
2
yo2
1
M（xo,yo）在椭圆内部或在椭圆上则
b2
a2
二、弦长问题
例3、已知椭圆x2
y2
1的左右焦点分别为F1,F2，若过点P（0，-2）及F1的直线交椭圆于
A,B两点，求⊿
21
ABF2的面积
解法一：
由题可知：
直线
lAB方程为2xy
2
0
y
2x
2
2
）2
410
由
x
2
y
2
可得9y
4y
40，y
y
2
（y
y
4yy
1
1
1
2
1
2
2
1
9
..
S
1F1F2
y1
y2
410
2
9
解法二：
F2
4
5
到直线AB的距离h
5
y
2x
2
可得9x2
0，又AB1k2x1x2
102
由x2
y2
1
16x6
2
1
9
S
1
ABh
4
10
2
9
[评述]在利用弦长公式
AB
1
k2
x1
x2
1
12y1
y2（k为直线斜率）或焦（左）半径公式
k
AB
PF1
PF2
a
ex1
a
ex2
2a
2e（x1
x2）时，应结合韦达定理解决问题。
例题4、已知长轴为
12，短轴长为
6，焦点在x轴上的椭圆，过它对的左焦点
F1作倾斜解为
的直线交椭圆于
A，B两点，求弦AB的长．
3
分析：
可以利用弦长公式
AB
1
k2
x1x2
（1
k2）[（x1
x2）2
4x1x2]求得，
也可以利用椭圆定义及余弦定理，还可以利用焦点半径来求．
解：
（法1）利用直线与椭圆相交的弦长公式求解．
AB
1
k2x1x2
（1
k2）[（x1x2）2
4x1x2]．因为a
6，b
3，所以c
33．因为焦点在
x轴上，
所以椭圆方程为
x2
y2
1，左焦点F（3
3,0），从而直线方程为
y
3x9
．
36
9
由直线方程与椭圆方程联立得：
13x2
72
3x
36
8
0．设x1，x2为方程两根，所以
x1
x2
723
，
13
x1x2
36
8
，k
3，
从而AB
1
k2
x1
x2
（1k2）[（x1
x2）2
4x1x2]
48
．
13
13
（法2）利用椭圆的定义及余弦定理求解．
x2
y
2
m，BF1
n，则AF212m，BF2
12
n．
由题意可知椭圆方程为
36
1，设AF1
9
2
2
2
2AF1
F1F2
cos
，即（12
m）2
m2
363
2m63
1
在AF1F2中，AF2
AF1
F1F2
；
3
2
所以m
6
BF1F2中，用余弦定理得
n
6
，所以AB
m
48
．同理在
4
n
．
4
3
3
13
..
一、求中点弦所在直线方程问题
例1过椭圆x2
y2
1内一点M（2，1）引一条弦，使弦被点
M平分，求这条弦所在的直线方程。
16
4
y-1=k（x-2）
解法一：
设所求直线方程为
，代入椭圆方程并整理得：
（4k2
1）x2
8（2k2
k）x
4（2k1）2
160
又设直线与椭圆的交点为
A（x1,y1），B（x2,y2），则x1,x2是方程的两个根，于是
x1
8（2k2
k）
x2
4k2
，
1
4（2k2
又M为AB的中点，所以
x1
x2
k）
2
4k2
2，
1
1
解得k
，
2
故所求直线方程为x2y40。
解法二：
设直线与椭圆的交点为A（x1,y1），B（x2,y2），M（2，1）为AB的中点，
所以x1
x2
4，y1
y2
2，
又A、B两点在椭圆上，则
x2
4y
2
16，
x
2
4y
2
16
，
1
1
2
2
两式相减得（x1
2
x2
2）
4（y1
2
y2
2）
0，
y1
y2
x1
x2
1
，即kAB
1
，
所以
x2
4（y1
y2）
2
2
x1
故所求直线方程为
x2y40。
解法三：
设所求直线与椭圆的一个交点为
A（x
y
），由于中点为
M（2，1），
则另一个交点为
B（4-
x,2
y
），
因为A、B两点在椭圆上，所以有
x2
4y2
16
，
（4
x）2
4（2
y）2
16
两式相减得x
2y
4
0
，
由于过A、B的直线只有一条，
故所求直线方程为x2y40。
二、求弦中点的轨迹方程问题
例2过椭圆x2
y2
1上一点P（-8，0）作直线交椭圆于
Q点，求PQ中点的轨迹方程。
64
36
解法一：
设弦
PQ中点
M（
x,y
），弦端点P（
），（
），
x1,y1
Qx2,y2
则有9x1
2
2
576，两式相减得
16y1
9（x2
x
2）
16（y
2
y
2）
0，
9x2
2
2
576
1
2
1
2
16y2
又因为x1
x2
2x，y1
y2
2y，所以9
2x（x1
x2）
16
2y（y1
y2）0，
所以y1
y2
9x，而kPQ
y0，故9x
y
。
x1
x2
16y
x（8）
16yx8
化简可得9x2
72x
16y2
0
（x
8）。
..
解法二：
设弦中点M（x,y），Q（x1,y1），由x
x1
8
，y
y1可得x1
2x8，y1
2y，
2
2
又因为Q在椭圆上，所以
x1
2
y1
2
1，即4（x
64
4）2
4y2
1，
64
36
36
所以PQ中点M的轨迹方程为（x
4）2
y2
1
（x
8）。
169
三、弦中点的坐标问题
例3
求直线y
x
1被抛物线y2
4x截得线段的中点坐标。
解：
解法一：
设直线
y
x
1与抛物线y2
4x交于A（x1,y1），B（x2,y2），其中点P（x0,y0），由题意
得
y
x1
，
y2
4x
消去y得（x
1）2
4x，即x2
6x
10，
所以x0
x1
x2
3，y0
x0
1
2，即中点坐标为（3,2）。
2
解法二：
设直线y
x1与抛物线y2
4x
交于A（x1,y1），B（x2,y2），其中点P（x0,y0），由题意得
y1
2
4x1，两式相减得
y
2
y2
4（x
2
x
），
y2
2
4x2
2
1
1
所以（y2y1）（y2
y1）
4，
x2
x1
所以y1
y2
4，即y0
2，x0
y01
3，即中点坐标为（3,2）。
例题5、已知P（4,2）是直线l被椭圆x2
y2
1所截得的线段的中点，求直线
l的方程．
36
9
分析：
本题考查直线与椭圆的位置关系问题．通常将直线方程与椭圆方程联立消去
y（或x），得到关于x（或y）
的一元二次方程，再由根与系数的关系，直接求出
x1x2，x1x2（或y1
y2，y1y2）的值代入计算即得．
并不需要求出直线与椭圆的交点坐标，这种“设而不求”的方法，在解析几何中是经常采用的．
解：
方法一：
设所求直线方程为y2k（x4）．代入椭圆
升级会员 