教师1份第5 讲利用相似三角形测高.docx
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教师1份第5讲利用相似三角形测高
第5讲利用相似三角形测高
【学习目标】
1、掌握几种测量旗杆高度的方法与原理,解决一些相关的生活实际问题。
2、通过设计测量旗杆高度的方案,学会将实物图形抽象成几何图形的方法,体会将实际问题转化成数学模型的转化思想。
【相关知识链接】
1、相似三角形的定义:
三角相等,三边的两个三角形叫做相似三角形。
2、三角形相似的判定:
、、
。
【学习引入】
一、探索:
问题1:
学校操场上的国旗旗杆的高度是多少?
你有什么办法测量?
问题2:
世界现存规模最大的金字塔位于哪个国家,叫什么金字塔?
胡夫金字塔是埃及现存规模最大的金字塔,被喻为“世界古代七大奇观之一”.塔的4个斜面正对东南西北四个方向,塔基呈正方形,每边长约230多米.据考证,为建成大金字塔,共动用了10万人花了20年时间.原高146.59米,但由于经过几千年的风吹雨打,顶端被风化吹蚀,所以高度有所降低.
在古希腊,有一位伟大的科学家叫泰勒斯.一天,希腊国王阿马西斯对他说:
“听说你什么都知道,那就请你测量一下埃及金字塔的高度吧!
”,这在当时条件下是个大难题,因为是很难爬到塔顶的.你知道泰勒斯是怎样测量大金字塔的高度的吗?
知识点1、利用阳光下的影子测量旗杆的高度:
让一名同学恰好站在旗杆影子的顶端,然后一部分同学测量该同学的影长,另一部分同学测量同一时刻旗杆的影长。
原理:
∵太阳是平行光线
∴AB∥CD,∠B=∠DCE
∵∠ACB=∠DEC=90°
∴△ACB∽△DEC
∴
结论:
同一时刻,
据史料记载,古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾经利用相似三角形的原理,在金字塔影子的顶部立一根木杆,借助太阳光线构成的两个相似三角形来测量金字塔的高度.
如图,如果木杆EF长2m,它的影长FD为3m,测得OA为201m,求金字塔的高度BO.
分析:
根据太阳光的光线是互相平行的特点,可知在同一时刻的阳光下,竖直的两个物体的影子互相平行,从而构造相似三角形,再利用相似三角形的判定和性质,根据已知条件,求出金字塔的高度.
解:
知识点2、利用标杆测量旗杆的高度
工具:
皮尺、标杆
步骤:
(1)测量出标杆CD的长度,测出观测者眼部以下高度EF;
(2)让标杆竖直立于地面,调整观测者EF的位置,当旗杆顶部、标杆顶端、观测者的眼睛三者在同一条直线上,测出观测者距标杆底端的距离FD和距旗杆底部的距离FB;
(3)根据
求得AH的长,再加上EF的长即为旗杆AB的高度。
依据:
如图,过点E作EH⊥AB于点H,交CD于点G
∵CD∥AB∴∠ECG=∠EAH
∵∠CEG=∠AEH∴△ECG∽△EAH
∴
∵EG=FD,EH=FB,CG=CD-GD=CD-EF,
且FD,FB,CD,EF可测
∴可求AH的长度
∴AB=AH+HB=AH+EF
知识点3、利用镜子的反射杆测量旗杆的高度
工具:
皮尺、镜子
步骤:
(1)在观测者与旗杆之间放一面镜子,在镜子上做一个标记;
(2)测出观测者眼睛到地面的距离;
(3)观测者看着镜子来回移动,直至看到旗杆顶端在镜子中的像与镜子上的标记重合,此时测出镜子上标记O到人脚底D的距离OD及镜子上的标记O到旗杆底部的距离OB;
(4)把测得的数据代入
即可求得旗杆的高度AB。
依据:
在△COD与△AOB中
∵∠COD=∠AOB,∠CDO=∠ABO=90°
∴△COD∽△AOB∴
∵CD,OD,OB皆可测得∴AB可求。
【例题解析】
例1、如图所示,从点A(0,2)发出的一束光,经x轴反射,过点B(4,3),则这束光从点A到点B所经过路径的长为。
如图,从点A(0,2)发出一束光,经x轴反射,过点B(4,3),则这束光从点A到点B所经过的路径的长为________.
分析:
首先过点B作BD⊥x轴于D,由A(0,2),B(4,3),即可得OA=2,BD=3,OD=4,由题意易证得△AOC∽△BDC,根据相似三角形的对应边成比例,即可得OA:
BD=OC:
DC=AC:
BC=2:
3,又由勾股定理即可求得这束光从点A到点B所经过的路径的长.
解:
如图,过点B作BD⊥x轴于D,
∵A(0,2),B(4,3),
∴OA=2,BD=3,OD=4,
根据题意得:
∠ACO=∠BCD,
∵∠AOC=∠BDC=90°,
∴△AOC∽△BDC,
∴OA:
BD=OC:
DC=AC:
BC=2:
3,
∴OC=OD=×4=,
∴AC==,
∴BC=,
∴AC+BC=.
即这束光从点A到点B所经过的路径的长为:
.
故答案为:
例2、如图,王华晚上由路灯A下的B处走到C处时,测得影子CD的长为1米,继续往前走3米到达E处时,测得影子EF的长为2米,已知王华的身高是1.5米。
(1)求路灯A的高度;
(2)当王华再向前走2米,到达F处时,他的影长是多少?
解:
(1)由题可知AB//MC//NE,
∴ ,而MC=NE
∴
∵CD=1米,EF=2米,BF=BD+4,∴BD=4米,∴AB==6米
所以路灯A有6米高
(2) 依题意,设影长为x,则解得米
答:
王华的影子长米。
例3、学校的围墙外的服装厂有一旗杆AB,甲在操场上直立3m高的竹竿CD,乙从C处退到E处恰好看到竹竿顶端D与旗杆顶部B重合,量的CE=3m,乙的眼睛到地面距离为FE=1.5m,丙在C1处直立3m高的竹竿C1D1,乙从E处退后6m到E1处,恰好看到竹竿顶端D1与旗杆顶端B也重合,量的C1E1=4m,求旗杆AB的高度。
设BO=x,GO=y.
∵GD∥OB,
∴△DGF∽△BOF,
∴1.5:
x=3:
(3+y)
同理1.5:
x=4:
(y+6+3)
解上面2个方程得x=9,y=15
经检验x=9,y=15均是原方程的解,
∴旗杆AB的高为9+1.5=10.5(米).
例4、如图,一圆柱形油桶,高1.5米,用一根长2米的木棒从桶盖小口A处斜插桶内另一端的B处,抽出木棒后,量得上面没浸油的部分为1.2米,求桶内油面的高度.
解:
根据题意建立数学模型,如右图,AD=1.2米,AB=2米,AC=1.5米,DE∥BC.
∵DE∥BC,∴∠ADE=
∠B
∠AED=∠C.
∴△ADE∽△ABC.
∴
.∴
∴AE=0.9(米).
∴EC=AC-AE=1.5-0.9=0.6(米).
二、强化训练
1.如图27-2-2-2所示,ABCD是正方形,E是CD的中点,P是
BC边上的一点,下列条件:
(1)∠APB=∠E
PC;
(2)∠APE=90°;(3)P是BC的中点;(4)BP∶BC=2∶3.
其中能推出△ABP∽△ECP的有()
A.4个B.3个C.2个D.1个
图27-2-2-2
解析:
①中因为∠B=∠C,∠
APB=∠EPC,
所以△ABP∽△ECP;
④中因为BP∶BC=2∶3,
所以BP=
BC,PC=
BC.
所以
=2,且∠B=∠C=90°.
所以△ABP∽△ECP.故选C.
注意三角形的对应顺序.
答案:
C
2.如图27-2-2-3,在△ABC中,DE∥BC,DE分别与AB,AC相交于点D,E,若AD=4,DB=2,则DE∶BC的值为()
图27-2-2-3
A.
B.
C.
D.
解析:
因△ADE∽△ABC,故
.
答案:
A
3.图27-2-2-4所示是用杠杆撬石头的示意图,C是支点,当用力压杠杆的A端时,杠杆绕C点转动,另一端B向上翘起,石头就会被撬动.现有一块石头,要使其滚动,杠杆的B端必须向上翘起10cm,已知杠杆的动力
臂AC与阻力臂BC之比为5∶1,则要使这块石头滚动,至少要将杠杆的A端下压()
图27-2-2-4
A.100cmB.60cmC.50cmD.10cm
解析:
杠杆运动过程中构成的三角形相似.
答案:
C
4.如图27-2-2-5所示,要测量河两岸相对的两点A,B的距离,先从B处出发与AB成90°角方向,向前走80米到C处立一标杆,然后方向不变向前走50米至D处,在D处转90°,沿DE方向走30米,到E处,使A(目标物),C(标杆)与E在同一条直线上,那么可测得A,B间的距离是_______.
图27-2-2-5
解析:
因为△ABC∽△EDC,所以
.
答案:
48米
5.如图27-2-2-6,为了测量一棵树CD的高度,测量者在B点立一高为2米的标杆,观测者从E处可以看到杆顶A,树顶C在同一条直线上.若测得BD=23.6米,FB=3.2米,EF=1.6米,求树高.
图27-2-2-6
解:
由题意得△AEM∽△CEN,
∴
.而AM=0.4,EM=3.2,
EN
=26.8,
∴CN=3.35.
∴CD=4.95(米).
答:
树高4.95米.
三、巩固训练
1.如图1,电灯P在横杆AB的正上方,AB在灯光下的影子为CD,AB∥CD,AB=2m,CD=5m,点P到CD的距离是3m,则P到AB的距离是()
图1
A.
mB.
mC.
mD.
m
解:
设P到AB的距离为x米,则有
.x=1.2(m).答案:
C
2.如图2,BE⊥AC于B,CD⊥AC于C,AE∥BD,若BE=1.7米,AB=3米,BC=12米,求CD的长.
图2
解:
∵BE⊥AC于B,CD⊥AC于C,
∴∠ABE
=∠BCD=90°.∵AE∥BD,∴∠A=∠CBD.
∴△ABE∽△BCD.∴
即
.∴CD=6.8(米).
∴CD的长为6.8米.
3.如图3,射击瞄准时,要求枪的标尺缺口上沿中央A,准星尖B和瞄准点C在
一条直线上,这样才能命中目标.已知某种冲锋枪基线AB长38.5cm,如果射击距离AC=100m,当准星尖在缺口内偏差BB′为1mm时,弹着偏差CC′是多少?
(BB′∥CC′)
图3
解:
∵BB′∥CC′,∴△ABB′∽△ACC′.
∴
.∴CC′=
(m).
即弹着偏差
m.
4.如图4,AB是斜靠在墙壁上的长梯,梯脚B距墙80cm,梯上点D距墙70cm,BD长55cm,求梯子的长.
图4
解:
∵△ADE∽△ABF,
∴
.
设梯子长为xcm,则有
解得x=440.
经检验x=440为所列方程的根,所以梯长为440cm.
5.如图,一条河的两岸有一段是平行的,在河的南岸边每隔5米有一棵树,在北岸边每隔50米有一根电线杆.小丽站在离南岸边15米的点P处看北岸,发现北岸相邻的两根电线杆恰好被南岸的两棵树遮住,并且在这两棵树之间还有三棵树,则河宽为 米.
根据题意画出图形,构造出△PCD∽△PAB,利用相似三角形的性质解题.
解:
过P作PF⊥AB,交CD于E,交AB于F,如图所示
设河宽为x米.
∵AB∥CD,
∴∠PDC=∠PBF,∠PCD=∠PAB,
∴△PDC∽△PBA,
∴,
∴,
依题意CD=20米,AB=50米,
∴,
解得:
x=22.5(米).
答:
河的宽度为22.5米.
6.一位同学想利用树影测量树高AB,他在某一时刻测得小树高为1米,树影长0.9米,但当他马上测量树影时,因树靠近建筑物,影子不全落在地上,有一部分落在
墙上,如图6,他先测得地面部分的影子长2.7米,又测得墙上的影高CD为1.2米,试问树有多高?
图6
解法一:
如图,延长AD,BE相交于点C,则CE就是树影长的一部分,
即
.∴CE=1.08(m).
∴BC=BE+EC=2.7+
1.08=3.78(m).
∴
即
.
∴AB=4.2(m).
解法二:
过E作EF∥AD,交AB于F.
即
.∴BF=3m.
AB=AF+BF=3+1.2=4.2(m)
7.如图7所示,大江的一侧有甲,乙两个工厂,它们有垂直于江边的小路,长度分别为m千米及n千米,设两条小路相距l千米.现在要在江边建立一个抽水站,把水送到甲,乙两厂去,欲使供水管路最短,抽水站应建在哪里?
图7
解:
如图所示,AD垂直于江边于D,BE垂直于江边于E,则AD=m千米,BE=n千米,DE=l千米.延长BE至F,使EF=BE.连结AF交DE于C,则在C点建抽水站,到甲,乙两厂的供水管路AC+CB为最短.
设CD=x千米,因为Rt△ADC∽Rt△FEC,
所以
即
解得x=
(米).
8.图8,一人拿着一个刻有厘米分度的小尺,站在距离电线杆约30米的地方,把手臂向前伸直,小尺竖直,看到尺上的12个分度恰好遮住电线杆,已知手臂长约60厘米,求电线杆的高.
图8
解:
设电线杆高xm,因为两三角形相似,则有
解得x=6,经检验x=6为原分式方程的根,所以电线杆高6m.
9.晨晓想用镜子测量一棵古松树的高,但因树旁有一条小河,不能测量镜子与树之间的距离,于是他两次利用镜子,如图9,第一次他把镜子放在C点,人在F点正好看到树尖A;第二次他把镜子放在C′处,人在F′处正好看到树尖A,已知晨晓眼睛距地面1.70m,量得CC′为12m,CF长1.8m,C′F′为3.84m,求这棵古松树的高.
图9
解:
设BC=ym,AB=xm,作CM⊥BF,C′M′⊥BF′.
由物理学中光的反射定理,得∠ACM=∠ECM,∠AC′M′=∠E′C′M′,
所以∠ACB=∠ECF,∠AC′B=∠E′C′F′.
因为∠ABC=∠EFC=90°,∠ABC=∠E′F′C′=90°,
所以△ABC∽△EFC,△ABC′∽△E′F′C′.所以
.
所以
①
.②
解①②组成的方程组,得
所以这棵古松树的高为10米.
10.如图10,河边有一条笔直的公路l,公路两侧是平坦的草地,在数学活动课上,老师要求测量对岸B点到公路的距离,请你设计一个测量方案.要求:
图10
①列出你测量所使用的工具;
②画出测量的示意图,写出测量的步骤;
③用字母表示的测量的数据,求点B与公路之间的距离.
解:
(1)皮尺;
(2)具体步骤如下:
①在公路上任取两个不同点A,C,在草地上取两点D,E,使BAD在一条直线上,且BCE在一条直线上,DE∥AC.
②测量AC,AD,DE的长.
③∵△BAC∽△BDE,
∴
.
∴BA=
.
作业
1、在同一时刻同一个地点物体的高度与自身的影长的关系是()
A.成反比例B.成正比例C.相等D.不成比例
2、如图,DE⊥EB,AB⊥EB,∠DCE=∠ACB,DE=12m,EC=15m,BC=30m,则AB
=____m.
3.如图,大正方形中有2个小正方形,如果它们的面积分别是S1,S2,那么S1,S2的比值是( )
A.1:
1B.8:
9C.9:
8D.
设正方形的边长为x,根据等腰直角三角形的性质知AC、BC的长,进而可求得S2的边长,由面积的求法可得答案.
如图,设正方形的边长为x,
根据等腰直角三角形的性质知,AC=BC,BC=CE=CD,
∴AC=2CD,CD=,
∴S2的边长为,S2的面积为x2,S1的边长为,S1的面积为x2,
∴S1,S2的比值为9:
8,故选C.
4、如图,铁道口的栏杆短臂长1m,长臂长16m.当短臂端点下降0.5m时,长臂端点升高______m(杆的宽度忽略不计).
5、如图所示是用杠杆撬石头的示意图,C是支点,当用力压杠杆的A端时,杠杆绕C点转动,另一端B向上翘起,石头就会被撬动.现有一块石头,要使其滚动,杠杆的B端必须向上翘起10cm,已知杠杆的动力
臂AC与阻力臂BC之比为5∶1,则要使这块石头滚动,至少要将杠杆的A端下压()
A.100cmB.60cmC.50cmD.10cm
假设向下下压x厘米,则x10=ACBC=5,解得x=50故选C.
6、如图所示,要测量河两岸相对的两点A,B的距离,先从B处出发与AB成90°角方向,向前走80米到C处立一标杆,然后方向不变向前走50米至D处,在D处转90°,沿DE方向走30米,到E处,使A(目标物),C(标杆)与E在同一条直线上,那么可测得A,B间的距离_______.
7、如图,为了测量一棵树CD的高度,测量者在B点立一高为2米的标杆,观测者从E处可以看到杆顶A,树顶C在同一条直线上.若测得BD=23.6米,FB=3.2米,EF=1.6米,求树高.
解:
设树高x米
根据线段成比例的性质
因为EF//AB//CD
所以EF:
CD=BF:
DF
即1.6:
x=3.2:
(3.2+23.6)
解得x=13.4
所以树高13.4米
8、如图,零件的外径为16cm,要求它的壁厚x,需要先求出内径AB,现用一个交叉钳(AD与BC相等)去量,若测得OA:
OD=OB:
OC=3:
1,CD=5cm,你能求零件的壁厚x吗?
9.如图,一天早上,小张正向着教学楼AB走去,他发现教学楼后面有一水塔DC,可过了一会抬头一看:
“怎么看不到水塔了?
”心里很是纳闷。
经过了解,教学楼、水塔的高分别为20m和30m,它们之间的距离为30m,小张身高为1.6m。
小张要想看到水塔,他与教学楼的距离至少应有多少米?
解:
如图,设小张身高为EF,
∵AB⊥MC DC⊥MC
∴∠ABM=∠DCM=90°
∵∠DMC=∠DMC
∴△MBA∽△MCD
∴,即MB=60
同理可得△MFE∽△MBA.∴即
∴MF=4.8
∴FB=MB-MF=60-4.8=55.2
10、如图,梯形ABCD中,AD∥BC,E、F分别在AB、CD上,且EF∥BC,EF分别交BD、AC于M、N。
(1)求证:
ME=NF;
(2)当EF向上平移至②③④各个位置时,其他条件不变,
(1)的结论是否还成立?
请分别证明你的判断。
1,∵AD∥EF∥BC,
∴ME∶AD=BM∶BD=CN∶CA=NF∶AD,
∴ME=NF.
2,当EF向上平移到图2、图3、图4位置时,ME=NF仍成立。
图2、图3的证明同图1.
图4证明如下:
(ME+EF)∶AD=CM∶CA=BN∶BD=(NF+EF)∶AD,
∴ME=NF.