最新3学而思小升初第12讲方程解应用题.docx
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最新3学而思小升初第12讲方程解应用题
小升初名校真题专项测试-----方程解应用题
测试时间：
15分钟姓名_________测试成绩_________
1、10名同学参加数学竞赛，前4名同学平均得分150分，后6名同学平均得分比10人的平均分少20分，这10名同学的平均分是________分.（06年清华附中入学测试题）
【解】：
设10人的平均分为a分，这样后6名同学的平均分为a-20分，所以列方程：
[10a-6×（a-20）]÷4=150解得：
a=120。
2、某商店想进饼干和巧克力共444千克，后又调整了进货量，使饼干增加了20千克，巧克力减少5%，结果总数增加了7千克。
那么实际进饼干多少千克？
（02年人大附中入学测试题）
【解】：
设饼干为a，则巧克力为444-a，列方程：
a+20+（444-a）×（1+5%）-444=7解得：
a=184。
3、某文具店用16000元购进4种练习本共6400本。
每本的单价是：
甲种4元，乙种3元，丙种2元，丁种1．4元。
如果甲、丙两种本数相同，乙、丁两种本数也相同，那么丁种练习本共买了_________本。
（06年试验中学入学测试题）
【解】：
设甲、丙数目各为a，那么乙、丁数目为
，所以列方程
4a+3×
+2a+1．4×
=16000解得：
a=1200。
4、六年级某班学生中有
的学生年龄为13岁，有
的学生年龄为12岁，其余学生年龄为11岁，这个班学生的平均年龄是_________岁。
（03年圆明杯试题）
【解】：
因为是填空题，所以我们直接设这个班有16人，计算比较快。
所以题目变成了：
1个学生年龄为13岁，有12个学生年龄为12岁，3个学生学生年龄为11岁，求平均年龄？
（13×1+12×12+11×3）÷16＝11.875，即平均年龄为11.875岁。
如果是需要写过程的解答题，则可以设这个班的人数为a，则平均年龄为：
＝11.875。
5、某个五位数加上20万并且3倍以后，其结果正好与该五位数的右端增加一个数字2的得数相等，这个五位数是__________。
（06年西城某重点中学入学测试题）
【解】：
设这个五位数为x，则由条件（x+200000）×3＝10x+2，解得x＝85714。
6、大小酒桶共80个，每个大桶可装酒25千克，每个小桶可装酒15千克，大桶比小桶共多装600千克，则大酒桶有__________个。
（02台湾数学竞赛试题）
解：
方法一：
设有大桶x个，于是25x－15（80－x）＝600，解得x＝45个。
方法二：
鸡兔同笼，假设全是大桶，这样就是0个小桶，这样大桶比小桶多装80×25=2000千克，而现在只有多装了600千克，所以多2000-600=1400千克，每个大桶变成小桶大桶比小桶多装的就减少25+15=40千克，所以有1400÷40=35个小桶，所以大桶的数目为45个。
7、某自来水公司水费计算办法如下：
若每户每月用水不超过5立方米，则每立方米收费1.5元，若每户每月用水超过5立方米，则超出部分每立方米收取较高的定额费用，1月份，张家用水量是李家用水量的
，张家当月水费是17.5元，李家当月水费27.5元，超出5立方米的部分每立方米收费多少元？
（06年某中学入学测试题）
【解】：
设出5立方米的部分每立方米收费X，
（17.5-5×1.5）÷X+5=[（27.5-5×1.5）÷X+5]×（2/3）
解得：
X=2。
第十二讲小升初名校真题专项测试-----列方程解应用题
引言：
应用题是数学和实际联系最密切的问题，它的内容丰富，形式多样，是培养学生分析能力和解决问题能力的重要内容。
列方程解应用题就是常用的方法之一。
列方程解应用题的一般步骤是：
1）审题
2）设未知数，一般“问啥设啥”
3）找出相等关系，列方程
4）解方程，检验作答。
其中列方程是关键的一步，其实本质是将同一个量或等量用两种方式表达出来，而要建立这种相等关系必须对题目作细致分析，有些相等关系比较隐蔽，必要时要应用图表或图形进行直观分析。
【典型题目解析】：
【例1】：
（★★）商店在销售二种售价一样的商品时，其中一件盈利25%，另一件亏损25%，卖这两件商品总的是盈利还是亏损.
【解】：
设这两件商品售价都为x元
因为进价为,x/（1+25%）+x/（1-25%）=4/5x+4/3x=32/15x
售价为，x+x=2x
32/15x>2x即进价>售价
所以亏损
【例2】：
（★★★）高中学生的人数是初中学生人数的5/6，高中毕业生的人数是初中毕业生人数的12/17。
高、初中的毕业生离校后，高、初中留下的人数都是520。
那么，高、初毕业生共有多少人？
[思路]：
要想求出高、初中毕业生共有的人数，可以先分别求出高中毕业生与初中毕业生各是多少．已知条件中高中毕业生是初中毕业生人数的12/17，又知高、初中毕业生离校后都留下520人．如果设初中毕业生为x人，则原初中生有（x+520）人，高中毕业生为（12/17）x人，原高中生有（12/17x+520）人。
根据高中学生人数是初中学生人数的5/6找出等量关系．
【解】：
设初中毕业生有x人，依题意，有
（
x+520）=
（x+520）
x=
x=680
高中毕业生共有
x=
×680=480（人）
高、初中毕业生共有：
680+480=1160（人）．
【例3】、（★★）某商店原来将一批苹果按100%的利润（即利润是成本的100%）定价出售，由于定价过高，无人购买，后来不得不按38%的利润重新定价，这样售出了其中的40%。
此时，因害怕剩余水果腐烂变质，不得不再次降价，售出了剩余的全部水果。
结果，实际获得的总利润是原定利润的30.2%。
那么，第二次降价后的价格是原定价的百分之多少？
[方法一]：
列方程
[思路]：
根据“实际获得的总利润是原定利润的30.2%”列方程。
解：
设成本为单位1。
原定价是按100%的利润定价的，则原定价是200%。
第一次降价是按38%的利润定价的，则第一次降价后的定价是138%。
设第二次降价是按x%的利润定价的，则第二次降价后的定价是x%+1.
根据题意列方程：
38%×40%+x%×（1-40%）=30.2%×1
解得：
x%=25%。
则第二次降价后的定价是25%+1=125%。
125%÷200%=62.5%。
所以第二次降价后的价格是原定价的62.5%。
[方法二]：
[思路]：
设份数，通过利润关系求解。
解：
设成本为100，总共有货物100。
第一次降价后卖出：
40×138=5520，
最后总利润：
100×100×130.2%=13020
第二次降价后价格：
（13020-5520）÷60=125
所以第二次降价后的价格是原定价：
125÷（100+100）=62.5%
[总结]：
此题也可以通过设未知数来求解，经济问题可以大胆的设未知数，一般到最后跟未知数都没有关系。
【例4】.（★★★）参加迎春杯数学竞赛的人数共有2000多人。
其中光明区占1/3，中心区占2/7，朝阳区占1/5，剩下的全是远郊区的学生。
比赛结果，光明区有1/24的学生得奖，中心区有1/16的学生得奖，朝阳区有1/18的学生得奖，全部获奖者的1/7是远郊区的学生。
那么参赛学生有多少名？
获奖学生有多少名？
[思路]：
通过整除性质和估算求解
解：
获奖人数占总人数的比例是：
光明区（1/3）×（1/24）=
，中心区（2/7）×（1/16）=
，朝阳区（1/5）×（1/18）=
。
人数是整数，总数就是9×8、7×8、5×2×9的公倍数，最小公倍数是2520，符合人数2000多人。
获奖人数=2525×（
+
+
）/（1-1/7）=126（名）
答：
参赛学生有2520名，获奖学生有126名。
[拓展]：
某中学初中共780人，该校去数学奥校学习的学生中，恰好有8/17是初一学生，有9/23是初二学生。
那么该校初中学生中，没有进奥校学习的有多少人？
【例5】、（★★★）某商品76件，出售给33位顾客，每位顾客最多买3件。
如果买1件按原定价，买2件降价10%，买3件降价20%，最后结算，平均每件恰好按原定价的85%出售。
那么买3件的顾客有多少人？
[方法一]：
不定方程
[思路]：
通过已知条件我们可以求出原定的总价，而后来时总价的85%，这样减少的就是打折减少的。
解：
不妨设每件原价100元，全部都是买1件的，共计100×76=7600元，实际是7600×85%=6460元，
少1140元；买2件少200×10%=20元，买3件少300×20%=60元；
设买2件的M人，买3件的N人，
有：
20M+60N=1140得：
M+3N=57（根据倍数原理，3N是3的倍数，这样M也为3的倍数，N最大为19人）
N=19时，M=0,这样买1件的14人，共有19×3+14×1=71件， 比76少5件；
N=18时，M=3,这样买1件的12人，共有18×3+3×2+12×1=72件，比76少4件；
N=17时，M=6,这样买1件的10人，共有17×3+6×2+10×1=73件，比76少3件；
……
这样当N=14时，符合条件。
答：
买3件的有14人。
[方法二]：
[思路]：
解：
平均每件恰好按原定价的85%，那么，有一个买3件的，就比平均多降了3×（85%-80%）=15%，正好可以和1个买一件的平衡，因为买一件高出平均1-85%=15%；那么，这样的2个人可以为一组，件数为4件；买2件降价10%，买3件降价20%，分别比平均高5%和底5%，即1件降价10%的和1件降价20%的也正好是平均价，也即2个买3件的和3个买2件的也达成平衡；那么，这样的5个人也可以为一组，件数为12件；
假设76件都有第一组构成，则：
76÷4=19组，共有19×2=38人，与实际相差38-33=5人，因此其中必有第二组的人；第一组每12件和第二组每12件相差2×（12/4）-5=1人，因此需要用5个第二组去换3×5=15个第一组，所以，实际共有第一组19-15=4组，第二组5组；第一组每组有1个买3件的，第二组每组有2个买3件的，所以，买3件的共有4×1+5×2=14人。
[方法三]：
列方程
[思路]：
解：
设买一件商品的有x人，买两件商品的有y人，买三件商品的有z人。
根据题意列方程组：
x+y+z=33
x+2y+3z=76
x×100%+2y×（1-10%）+3z×（1-20%）=76×85%
解得：
x=4，y=15，z=14。
所以买三件商品的有14人。
[总结]：
三原一次方程思想最简单，但要求学生先前接触。
【例6】、（★★★）甲容器中有纯酒精11立方分米，乙容器中有水15立方分米。
第一次将甲容容器中的一部分纯酒精倒入乙容器，使酒精与水混合；第二次将乙容器中的一部分混合液倒入甲容器。
这样甲容器中的纯酒精含量为62.5%，乙容器中的纯酒精含量为25%。
那么，第二次从乙容器倒入甲容器的混合液是多少立方分米？
[方法一]：
倒三角
[思路]：
浓度问题，知道浓度，所以考虑倒三角的运用。
解：
将两种容液混合，则两种容液的浓度与混合后容液的浓度差的比是两种容液容量的反比。
第一次将容器中的一部分纯酒精倒入乙容器中。
混合后的浓度是25%。
原来甲容器中的浓度是100%，乙容器中的浓度是0。
则从甲容器中倒入乙容器中的容量是：
15×（25%-0）÷（100%-25%）=5立方分米。
甲容器中还的11-5=6立方分米。
乙容器是有15+5=20立方分米。
第二次将乙容器中的一部分倒入甲容器中。
混合后的浓度是62.5%。
则从乙容器倒入甲容器中的容量是6×（62.5%-25%）/（100%-62.5%）=6立方分米。
所以第二次从乙容器倒入甲容器的混合液是6立方分米。
[方法二]：
[思路]：
解：
乙容器中的纯酒精含量为25%。
可知第一次从甲倒入乙5立方分米的酒精，这时甲剩有酒精11-5=6，（100-62.5）：
（62.5-25）=1：
1
可知第二次从乙倒入甲的同样是6立方分米。
【例7】、（★★★）某一出租车的计价方式为：
起价是2千米5元，往后每增加1千米（最后不足1千米按1千米计算）增加2元。
现在从甲地到乙地乘出租车共支出车费35元，如果从甲地到乙先步行800米，然后再乘出租车也要35元。
问从甲、乙两地中点乘出租车到乙地需支付多少元钱？
[方法]：
[思路]：
从题目所给的四个条件可推得甲、乙两间距离在怎样的范围内，欲求中点至乙地的出租车费便轻而易举了.
解：
由甲到乙地出租车费35元，知两地间的距离应不多于：
1×[（35—5）÷2]+2=17（千米）.
又先步行800米，仍需出租费35元，所以两地间距离应不少于16+0.8=16.8（千米）.
中点到乙地距离应在16.8÷2=8.4（千米）与17÷2=8.5（千米）之间.
故需出租车费：
5+2×（9—2）=19（元）.
【例8】、（★★★★）要生产某种产品100吨，需用A种原料200吨，或B种原料200.5吨，或C种原料195.5吨，或D种原料192吨，或E原料180吨。
现知用A种原料及另外一种（指B、C、D、E中的一种）原料共19吨生产此种产品10吨。
试分析所用另外一种原料是哪一种，这两种原料各用了多少吨？
[方法一]：
[思路]：
根据配制率求解
解：
配制比如下：
A：
100：
200=200：
400；
B：
100：
200.5=200：
401；
C：
100：
195.5=200：
391
D：
100：
192=200：
384；
E：
100：
180=200：
360
如果19全来自A,则可配出19×1÷2=9.5，比实际少10-9.5=0.5
这样我们可以说，19吨中必须有一种大于A的配制率才行，所以不能是B；
设另外有M,A有19-M,下面分C、D、E来讨论：
C：
（19-M）×1÷2+M×200÷391=10，M=391/9，大于19，不符；
D：
（19-M）×1÷2+M×200÷384=10，M=384/16，大于19，不符；
E：
（19-M）×1÷2+M×200÷360=10，M=360/40=9，可以；
计：
E有9吨，A有19-9=10吨。
[方法二]：
[思路]：
鸡兔同笼
解：
要生产某种产品10吨，单用一种原料，需要A种20吨，B种20.05吨，C种19.55吨，E种18吨。
现用A种和另一种原料19吨生产此种产品10吨。
则只能选用A种和E种原料。
如果全用A种原料，则可生产此种产品19÷20×10=9.5吨。
与10吨差10-9.5=0.5吨。
因每吨A种原料比每吨E种原料少生产此种产品100÷180-100÷200=1/18吨。
则实际用E种原料0.5÷（1/18）=9吨。
实际用A种原料19-9=10吨。
【例9】、（★★★★）4只同样的瓶子内分别装有一定数量的油。
每瓶和其他各瓶分别合称一次，所得重量的千克数如下：
8、9、10、11、12、13。
已知这4只空瓶的重量之和以及油的重量之和均为质数。
那么最重的两瓶内共有油多少千克？
[方法一]：
[思路]：
因为每个都合在一起称过一次，所以每只瓶子都被称过3次，从而可以求出四只瓶子的总重量.再根据空瓶总质量与油的总质量均为质数，确定油与瓶应分别重多少.
解：
四个瓶子总质量为：
（8+9+10+11+12+13）÷3=63÷3=21（千克）.
由于四个空瓶与油的总质量均为质数，所以一个为2千克，另一个为19千克.
因为8+13=9+12=10+11=21（千克），所以最重的两瓶与最轻的两个瓶分别重13千克与8千克.13—8=5（千克），这表明最重的两瓶比最轻的两瓶重5千克，瓶子都相同，也就是瓶内油的质量之差为5千克.油的总重量多于5千克，这样一来瓶子总重2千克，油总重19千克，两个空瓶共重1千克，
最重的两瓶内有油13—1=12（千克）.
[方法二]：
[思路]：
通过“已知这4只空瓶的重量之和以及油的重量之和均为质数”分析质数的可能性。
解：
全部重量=最轻的2个+最重的2个=8+13=21
因为“已知这4只空瓶的重量之和以及油的重量之和均为质数”而21=2+19是唯一情况，
这样4个空瓶重2千克，每个重2÷4=0.5千克，最重的两瓶内共有油：
13-0.5×2=12千克。
[总结]：
像这种称很多次的时候一定要注意总重量一般是可求的，通过总重量再求解来的相对简单。
【例10】、（★★★★★）有4位朋友的体重都是整千克数，他们两两合称体重，共称了5次，称得的千克数分别是99、113、125、130、144，其中有两人没有一起称过，那么这两人中体重较重的人的体重是多少千克？
[方法一]：
[思路]：
根据总重量找关系。
解：
如果每两人都合称，则共称6次。
6次所称的总重是这四个人的总体重的3倍。
这6次的体重数可分成三组，每组是这四个人的总体重。
实际只称了5次，则其中必有两组体重数的和相等，且等于这四个人的总体重。
这个总体重减去另一个数就是没有合称的两个人的体重之和。
99+144=113+130=243。
则这个人的总体重是243千克。
没有合称的两个人的体重和是243-125=118千克。
设这四个人的体重分别是A，B，C，D。
得方程组：
A+B=99
C+D=144
A+C=113
B+D=130
A+D=125
B+C=118
解得：
A=47，B=52，C=66，D=78。
B、C是没有合称的两个人的体重，较重的一个人的体重是66千克。
[方法二]：
[思路]：
解：
已知5个数的和是611，加上未称的M,4人共重（611+M）/3
1、当M最轻时：
（611+M）/3=M+144，M=89.5，不是整数，不符；
2、当M最重时：
（611+M）/3=99+M，M=157，这样4人共重99+157=256，256-113=143，与144不符；综上所述，M为中间一个数，（611+M）/3=99+144，M=118；设有A＜B＜C＜D,
则A+B=99，C+D=144，A+C=113，B+D=130，得C-B=14，根据两数和、差奇偶同性，所以C+B=118
由C-B=14，C+B=118得C=（118+14）÷2=66
【例11】、（★★★）甲、乙两人参加同一场考试，又同时在上午10时离开考场，同时午餐。
但甲说：
“我是在午饭前2小时与考试开始后1.5小时这两个时间中较早的一时间离开考场的。
”乙说：
“我是在午饭前2.5小时与考试后1小时这两个时间中较晚的一个时间离开考场的。
”求考试开始和午饭开始的时间。
[方法]：
[思路]：
解：
甲、乙两人参加同一场考试，又同时在上午10时离开考场，同时午餐。
甲说：
“我是在午饭前2小时与考试开始后1.5小时这两个时间中较早的一个时间离开考场的。
”
由甲的话可知午饭可能是12时，考试开考时间可能是8时半。
乙说：
“我是在午饭前2.5小时与考试后1小时这两个时间中较晚的一个时间离开考场的。
”
由乙的话可知午饭可能是12时半，考试开考时间可能是9时。
如果午饭是12时，由乙的话可知：
午饭前2.5小时是9时半，比实际离开的10时早。
则乙是开考后1小时离开的。
开考时间是9时。
符合甲说的话。
如果开考时间是8时半，由乙的话可知：
考试后1小时是9时半，比实际离开的10时早。
则乙是午饭前2.5小时离开的。
午饭时间是12时半。
符合甲说的话。
所本题有两个答案：
1，开考时间是8时半，午饭时间是12时半；
开考时间是9时，午饭时间是12时。
【例12】：
（★★★）三角形ABC被分割成6个大小不等的三角形，如图，求这三角形的总面积？
【解】：
设其他两个小三角形的面积分别为X和Y，则
解得X=120Y=140
总面积为160+60+70+80+120+140=630
【例13】（★★★）购买10种货物：
A1，A2，A3，……，A10如果在这10种中购买的件数依次是1，3，4，5，6，7，8，9，10，11件，共需人民币1992元；如果购买的件数依次是1，5，7，9，11，13，15，17，19，21件，共需人民币3000元。
那么在这10种货物中各买一件时，共需人民币多少元？
[思路]：
题中给出了十种货物以及两种组合搭配的价格，显然不可能求出每种货物的单价．因此我们需从所求的十种货物各一样为整体出发，观察数字的特点来求得答案
解：
设十种货物的单价分别为x1、x2、．x3、x4……x10元．依题意，有
将
（1）式乘以2，得
（3）
（3）式减
（2）式，得
=984．
【课外知识】
哥德巴赫猜想
哥德巴赫（GoldbachC.，1690.3.18~1764.11.20）是德国数学家；在1742年6月7日给欧拉的信中，哥德巴赫提出了一个命题：
任何大于5的奇数都是三个素数之和。
但这怎样证明呢？
虽然做过的每一次试验都得到了上述结果，但是不可能把所有的奇数都拿来检验，需要的是一般的证明，而不是个别的检验。
"
欧拉回信又提出了另一个命题：
任何一个大于2的偶数都是两个素数之和。
但是这个命题他也没能给予证明。
现在通常把这两个命题统称为哥德巴赫猜想
二百多年来，尽管许许多多的数学家为解决这个猜想付出了艰辛的劳动，迄今为止它仍然是一个既没有得到正面证明也没有被推翻的命题。
小升初专项模拟测试题---列方程解应用题
1、（★★★）小刚和小明参加一个会议，在会议室中小刚看到不戴眼镜的同学是戴眼镜同学的2倍，小明看到戴眼镜的同学是不戴眼镜的
，会议室中共有多少名同学？
【解】：
由题意知，小刚戴眼镜，小明不戴眼镜。
设戴眼镜的有x人，由小刚看到的情况知不戴眼镜的有2（x-1）人。
再由小明看到的情况可列方程X=
[2（X-1）]。
解得X=6，即戴眼镜的有6人，不戴眼镜镜的有10人，共16人。
2、（★★★）A城有化肥200吨，B城有化肥300吨，现要将化肥运往C，D两村，其中运往C村220吨，D村280吨。
已知从A城运往C，D两村的运价分别是每吨20元和25元，从B城运往C，D两村的运价分别是每吨15元和22元。
某个体户承包了这项运输任务，请你帮他算一算，如何调运才能使运费最省？
【解】：
设A城化肥运往C村x吨，则运往D村（200-x）吨；B城化肥运往C村（220-x）吨，运往D村（80+x）吨，总运费y元，则y=20x+25（200-x）+15（220-x）+22（80+x）=2x+10060。
又易知0≤x≤200，故当x=0时，运费最省，为10060元。
运输方案如下：
A城化肥运往C村0吨，运往D村200吨；B城化肥运往C村220吨，运往D村80吨。
3、（★★★）有两个学生参加4次数学测验，他们的平均分数不同，但都是低于90分的整数。
他们又参加了第5次测验，这样5次的平均分数都提高到了90分，求第5次测验二人的得分（满分为100分）。
【解】：
设某一学生前4次的平均分为x分，第5次的得分为y分，则其5次总分为4x+y=5×90=450。
于是y=450-4x。
显然90＜y≤100，故 90＜450-4x≤100，
解得87.5≤x＜90。
于是两个学生前4次的平均分分别为88分和89分。
第5次得分分别为450-4×88=98（分）和450-4×89=94（分）。
4、（★★★）在一次团体知识竞赛中，某学校的平均分是88分，其中女生的平均成绩比男生高10﹪，而男生的人数比女生多10﹪。
问男女生的平均成绩各多少
【解】：
男生的平均成绩为X，女生的平均成绩为（1+10﹪）X
女生
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