初中数学竞赛标准教程及练习54整数解 2docx.docx

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初中数学竞赛精品标准教程及练习（54）

整数解

一、内容提要

1.求方程或不等式的整数解，就是求适合等式或不等式的未知数的整数值，包括判断无整数解.

求整数解常用的性质、法则：

1•数的运•算性质:

整数+整数=整数，整数一整数=整数，

整数X整数=整数，整数的自然数次幕=整数，

整数三（这个整数的约数）=整数.

2.整系数的方程ax2+bx+c=o（a^o）只有当b2-4ac是完全平方数时，才有整数根.有时用韦达定理X】+X2与X|X|都是整数，来确定整数解，但必须检验（因为它们只是整数解必要条件）.

3.运用二元一次方程求整数解（见第10讲）.

4.用列举法.

3.判定方程或不等式没有整数解，常用反证法.即设有整数解之后，把整数按某一模m分类，逐一推出矛盾.

二、例题

例1•求下列方程的正整数解：

1xy+x+y=5；②x2+y2=!

991.

解：

①先写成关于x的方程，

（y+1）x=5—y.

当y+l取6的约数±1,±2,±3,±6时,x的值是整数.

J-1+-^―>0,且x>0,y>0y+l

又解：

把左边写成积的形式：

x（y+1）+y+1=5+1,（y+l）（x+1）=6.

76=1X6=2X3,而正整数y+l>l,x+l>l.

2要等式成立，x,y必须是一奇一偶，设x=2a,y=2b—l（a,b都是正整数）.左边x2+y2=（2a）2+（2b—1）2=4（a2+a+b2—b）+1.

・・・a,b不论取什么整数值，左边的数都是除以4余1,而右边1991是除以4余3.・•・等式永远不能成立.

・••原方程没有正整数解.

例2.—个正整数加上38或129都是完全平方数，求这个正整数.若把止整数改为整数呢?

解：

设这个正整数为x,根据题意，得

（2）-

（1）：

b2-a2=91.

（b+a）（b—a）=91,

V91=lX91=7X13且b+a>b-a.

或心3

[b-a=7

\a=3

戈.

\b=\0

由方程⑴知a>738,由方程

（2）知b>V129.

[a=45•I只有彳适合.

[b=46

・・・x=a2-38=1987.答（略）.

如果改为整数，则两组的解都适合.另一个解是：

x=a2-38=9-38=-29.

例3•—个自然数与3的和是5的倍数，与3的差是6的倍数，则这个自然数的最小值

是多少？

解法一：

用列举法

与3的和是5的倍数的自然数有：

2,7,12,17,22,27,…

与3的差是6的倍数的自然数有：

3,9,15,22,27,…

・•・符合条件的最小自然数是27.

解法二：

设所求自然数为X,

\x=5a—3=6b+3,

.6b+6.（b+1

•a==b+l+,

55

・•a,b都是自然数,

•・b+1是5的倍数，其最小值是b=4.

x=6b+3=27<

例4.m取什么整数值时，方程mx2+（m2-2）x-（m+2）=0有整数解?

解：

设方程两个整数根为X】,X2•那么它们的和、积都是整数.根据韦达定理：

2

=-mH——in

加+22

x}x2==-m

mm

・・・X|和X2都是整数,

.■.m是2的约数，即m二±1,±2.

•・•这只是整数解的必要条件，而不是充分条件，故要代入检验.

当时，原方程为x2-x-3=0,没有整数解；

当m=—1时，原方程为一X，—x—1二0,没有实数根；

当m=2或2吋，方程有整数解.

答：

当m=2或m=-2时,方程mx2+（m2-2）x-（m+2）=0有整数解.例5.己知：

n是正整数，且9r?

+5n+26的值是两个相邻正整数的积.

求：

n的值.

解：

设9iF+5n+26=m（m+1）,m为正整数.

m2+m-（9n2+5n）=26.（把左边化为积的形式，先配方再分解因式）

1.5o125

（m+—）（3n+—）=26+,

26436

15155

（m+—+3n+—）（m+——3n——）=25—、

26269

去分母并整理得：

（3m+9n+4）（3m—9n—1）=230.

7230=1X230=2X115=5X46=10X23,且3m+9n>3m-9n..

3/72+9/?

+4=230

3m-9/?

-1=1

、3m+9^+4=115

或13m-9/?

-l=2

[3m+9h+4=46f3m+9/?

+4=23

或v；或<■

[m-9/?

-1=5[3m-9/?

-l=10

解方程组，正整数的值只有n=2或n=6.

例6.已知:

方程x2—2（m+1）x+m2=0有两个整数根，且12

求：

m的整数值.

解：

要使一元二次方程有整数解，必须△为完全平方数.

△=[—2（m+1）]2—4m2=8m+4=4（2m+1）.

即当2m+l是完全平方数时，方程有整数解.

*.*12

・・・25v2m+lvl21,

完全平方数.2m+l=36,49,64,81,100.

则2m=35,4&63,80,99.

・•・m的整数值,只有24,40.

检验：

当m=24时，有整数解32,18；当m二40时，有整数解50,32.答：

当m=24或m=40时，方程x2—2（m4-l）x4-m2=0有两个整数根.

三、练习54

1.已知X?

—y2=l991,则x,y的正整数解是•

2.方程x2+（y4-l）2=5的整数解有・

3.己知X],X2,X3.……，X2000都是正整数，写出下列方程的一组整数解：

1X]+X2=X]X2的_组解为：

.

2X|十X2+X3二X1X2X3的_组解为：

.

3XI+X2+X3+X4二XIX2X3X4的—组解为：

.

4X|+X2+X3++X2000=X1X2X3X2Ooo的一组解为：

•

4.己知1OOWx（x+l）W150,则整数x二.

5.己知x200<2300,则正整数x二.

6.如果x,y都是正整数，且0

那么它们的和、差的范围是：

Ovx+yv,—

x+x=A

x-x=B

7.已知<且A+B+C+DROO,贝二.

xx-C

X^rX=D

8.已知被除数是100以内的自然数，在0和（）填上适当的数，使如下带余除法的

（）=4…4

运算成立：

OF（）=5・・・5

（）=6-•-6

9.已知a+2=b-2=cX2=d4-2且a+b+c+d=1989.贝9a二—，b=—,c=—,（1=—.

10.若a,b,c,d是互不相等的整数，且abcd=4.贝!

|a+b+c+d二.

11.求下列方程的整数解：

®2x+2y=xy；②2x+10y=1991.

12.m取什么整数值时，下列方程有正整数解？

①（X—1）=4—x；

（2）m2x2—18mx+72=x2—6x..

13.己知长方形的长和宽都是整数值，且周长与面积的数值相同，求这个长方形的

长和宽.

14.方程（X—a）（x—8）—1=0有两个整数根，求a的值.

15.已知a,b是自然数且互质，试问关于x的方程；一abx+丄（a+b）=O是否有自然数解（两

2

解都是自然数）如果有，把它求出来，如果没有请给予证明.

16.两个自然数的和比积小1000,其中一个是完全平方数，求这两个自然数.

练习54参考答案：

1.x=994,y=9932.有8个解.

3①2,2②1,2,3③1,1,2,4@xi=x2=X3==X|998=1»x1999=2，X2000二2000

4.1011,-11,-125.1,2

6.0

7.98.60,14,11,99.440,444,221,88410.0

11①6个解②12个解12®0,2,-2,4②一213.6和3；4和4

14.815.有自然数1和2（先求出a=l,b=3）16.144和8

赠:

小学五年级数学竞赛题

1.把自然数1.2.3.4的前几项顺次写下得到一个多位数1234567891011已知这个

多位数至少有十位,并且是9和11的倍数.那么它至少有几位？

2.在做两个数的乘法时，甲把被剩数的个位数字看错了，得结果是255,乙把被剩数的十位数字看错了，得结果是365,那么正确的乘积是多少？

3.将23分成三个不同的奇数Z和，共有几种不同的分法?

4、把自然数1、2、3、4的前几项顺次写下得到一个多位数12345678910111213……已

知这个多位数至少有十位，并且是9的倍数，那么它最少有几位数？

5、恰有两位数字相同的三位数共有儿个?

6、有一群小孩，他们中任意5个孩子的年龄之和比50少，所有孩子的年龄之和是202,这群孩子至少有儿人？

7、甲乙两同学按先后顺序摆多米诺骨牌，要求摆成正方形，由于每人手里一次只能拿10块，故每次每人摆10块。

现已知最后一次甲仍然摆了10块，而乙不足10块，如果他们一共摆了3000多块，那么他们摆的准确的数字是多少块？

8、有50个同学，头上分别戴着编号为1、2、3、449、50的帽子。

他们按编号从小到大的顺序，顺时针方向I韦I成一圈做游戏：

从1号同学开始，按顺时针方向1、2、1、2....地报数,接着报1的同学全部退出圆圈，报2的同学仍留在圆圈上。

依次报下去

（1）当圆圈上只剩下一个人时，这位同学帽上的编号是。

（2）如果游戏规则改为：

报2的同学全部退出,报1的同学仍留在圆圈上。

当圆圈上只剩下一个人时，这位同学帽上的编号是。

一生的事业

牢记使命，不忘初心

有人说一辈子很长，可以慢慢的享受成长带来的各种惊喜和喜悦，有的人说一辈子很短，必须要加紧行走的步伐，才能不会错过成长中的每一次惊吓，每一次惊喜，每一次无奈。

但我想说的是无论是从出生到成长的每一个过程都有一个初心，一辈子可能有很多目标，但总归起来就只有一个目的:

要活好，所有的努力和奋斗都是为了能够让自己活得精彩，活的值得。

无论是时光变迁还是年岁的增长，我们要始终不忘初心，牢记使命，永远奋斗，才会活出精彩。

每一个成长时期的不同，要学会和掌握的技能也不同,但最终的目的就是要把自己的工作和学习做到位，做得漂亮，才是我们的初衷，我们现在在学习的岗位上，看似不起眼，但是需要做的却很多，因为我们要比别人更用心，更努力地去学习每一个知识，知识就是我们以后的第二衣食父母，以后我们面对各种问题，需要有不同的方式方法去面对,才能做社会有用的人。

比如：

面对老人我们要伸手去扶一把,因为我们是一个有爱心，有责任心的小学生；看到有孩子摔跤我们要伸手拉一把，因为我们是有道义，有良心的小学生。

牢记使命，不忘初心！

对我感触最深的事就是我们语文老师满满爱心自己掏钱为我们班同学买课外书，我们心里都有一种无限的感动和莫名的崇拜感，老师课上课外的千叮咛万嘱咐，连放学都还要不辞辛劳的带上马路，悉心照顾好我们每一个孩子，让每一位孩子安全回家，并且再三的强调在回家路上注意安全等等。

一连串的关心和不放心，都是出自于老师的真心和热情，这份情不是用钱可以买到的，这