中考数学一轮复习20讲第17讲尺规作图.docx

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中考数学一轮复习20讲第17讲尺规作图

【知识归纳】

一）尺规作图

1．定义

只用没有刻度的和作图叫做尺规作图．

2．步骤

①根据给出的条件和求作的图形，写出已知和求作部分；

②分析作图的方法和过程；

③用直尺和圆规进行作图；

④写出作法步骤，即作法．

二）五种基本作图

1．作一条线段等于已知线段；

2．作一个角等于已知角；

3．作已知角的平分线；

4．过一点作已知直线的垂线；

5．作已知线段的垂直平分线．

三）基本作图的应用

1．利用基本作图作三角形

（1）已知三边作三角形；

（2）已知两边及其夹角作三角形；（3）已知两角及其夹边作三角形；（4）已知底边及底边上的高作等腰三角形；（5）已知一直角边和斜边作直角三角形．

2．与圆有关的尺规作图

（1）过不在同一直线上的三点作圆（即三角形的外接圆）．

（2）作三角形的内切圆．

【知识归纳答案】

一）尺规作图

1．定义

只用没有刻度的直尺和圆规作图叫做尺规作图．

2．步骤

①根据给出的条件和求作的图形，写出已知和求作部分；②分析作图的方法和过程；③用直尺和圆规进行作图；④写出作法步骤，即作法．

二）五种基本作图

1．作一条线段等于已知线段；2．作一个角等于已知角；3．作已知角的平分线；4．过一点作已知直线的垂线；5．作已知线段的垂直平分线．

三）基本作图的应用

1．利用基本作图作三角形

（1）已知三边作三角形；

（2）已知两边及其夹角作三角形；（3）已知两角及其夹边作三角形；（4）已知底边及底边上的高作等腰三角形；（5）已知一直角边和斜边作直角三角形．

2．与圆有关的尺规作图

（1）过不在同一直线上的三点作圆（即三角形的外接圆）．

（2）作三角形的内切圆．

真题解析

一．选择题（共8小题）

1．如图，在▱ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG，若AD=5，DE=6，则AG的长是（　　）

A．6B．8C．10D．12

【考点】N2：

作图—基本作图；L5：

平行四边形的性质．

【分析】连接EG，由作图可知AD=AE，根据等腰三角形的性质可知AG是DE的垂直平分线，由平行四边形的性质可得出CD∥AB，故可得出∠2=∠3，据此可知AD=DG，由等腰三角形的性质可知OA=

AG，利用勾股定理求出OA的长即可．

【解答】解：

连接EG，

∵由作图可知AD=AE，AG是∠BAD的平分线，

∴∠1=∠2，

∴AG⊥DE，OD=

DE=3．

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴CD∥AB，

∴∠2=∠3，

∴∠1=∠3，

∴AD=DG．

∵AG⊥DE，

∴OA=

AG．

在Rt△AOD中，OA=

=

=4，

∴AG=2AO=8．

故选B．

2．如图，在△AEF中，尺规作图如下：

分别以点E，点F为圆心，大于

EF的长为半径作弧，两弧相交于G，H两点，作直线GH，交EF于点O，连接AO，则下列结论正确的是（　　）

A．AO平分∠EAFB．AO垂直平分EFC．GH垂直平分EFD．GH平分AF

【考点】N2：

作图—基本作图；KG：

线段垂直平分线的性质．

【分析】直接根据线段垂直平分线的作法即可得出结论．

【解答】解：

由题意可得，GH垂直平分线段EF．

故选C．

3．如图，已知线段AB，分别以A、B为圆心，大于

AB为半径作弧，连接弧的交点得到直线l，在直线l上取一点C，使得∠CAB=25°，延长AC至M，求∠BCM的度数为（　　）

A．40°B．50°C．60°D．70°

【考点】N2：

作图—基本作图；KG：

线段垂直平分线的性质．

【分析】根据作法可知直线l是线段AB的垂直平分线，故可得出AC=BC，再由三角形外角的性质即可得出结论．

【解答】解：

∵由作法可知直线l是线段AB的垂直平分线，

∴AC=BC，

∴∠CAB=∠CBA=25°，

∴∠BCM=∠CAB+∠CBA=25°+25°=50°．

故选B．

4．下列四种基本尺规作图分别表示：

①作一个角等于已知角；②作一个角的平分线；③作一条线段的垂直平分线；④过直线外一点P作已知直线的垂线，则对应选项中作法错误的是（　　）

A．①B．②C．③D．④

【考点】N2：

作图—基本作图．

【分析】利用作一个角等于已知角；作一个角的平分线；作一条线段的垂直平分线；过直线外一点P作已知直线的垂线的作法进而判断得出答案．

【解答】解：

①作一个角等于已知角的方法正确；

②作一个角的平分线的作法正确；

③作一条线段的垂直平分线缺少另一个交点，作法错误；

④过直线外一点P作已知直线的垂线的作法正确．

故选：

C．

5．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=4，以点C为圆心，CB长为半径作弧，交AB于点D；再分别以点B和点D为圆心，大于

BD的长为半径作弧，两弧相交于点E，作射线CE交AB于点F，则AF的长为（　　）

A．5B．6C．7D．8

【考点】N2：

作图—基本作图；KO：

含30度角的直角三角形．

【分析】连接CD，根据在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=4可知AB=2BC=8，再由作法可知BC=CD=4，CE是线段BD的垂直平分线，故CD是斜边AB的中线，据此可得出BD的长，进而可得出结论．

【解答】解：

连接CD，

∵在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=4，

∴AB=2BC=8．

∵作法可知BC=CD=4，CE是线段BD的垂直平分线，

∴CD是斜边AB的中线，

∴BD=AD=4，

∴BF=DF=2，

∴AF=AD+DF=4+2=6．

故选B．

6．如图，用尺规作图作∠AOC=∠AOB的第一步是以点O为圆心，以任意长为半径画弧①，分别交OA、OB于点E、F，那么第二步的作图痕迹②的作法是（　　）

A．以点F为圆心，OE长为半径画弧

B．以点F为圆心，EF长为半径画弧

C．以点E为圆心，OE长为半径画弧

D．以点E为圆心，EF长为半径画弧

【考点】N2：

作图—基本作图．

【分析】根据作一个角等于一直角的作法即可得出结论．

【解答】解：

用尺规作图作∠AOC=∠AOB的第一步是以点O为圆心，以任意长为半径画弧①，分别交OA、OB于点E、F，

第二步的作图痕迹②的作法是以点E为圆心，EF长为半径画弧．

故选D．

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7．如图，已知钝角△ABC，依下列步骤尺规作图，并保留作图痕迹．

步骤1：

以C为圆心，CA为半径画弧①；

步骤2：

以B为圆心，BA为半径画弧②，交弧①于点D；

步骤3：

连接AD，交BC延长线于点H．

下列叙述正确的是（　　）

A．BH垂直平分线段ADB．AC平分∠BAD

C．S△ABC=BC•AHD．AB=AD

【考点】N2：

作图—基本作图；KG：

线段垂直平分线的性质．

【分析】根据已知条件可知直线BC是线段AD的垂直平分线，由此一一判定即可．

【解答】解：

A、正确．如图连接CD、BD，

∵CA=CD，BA=BD，

∴点C、点B在线段AD的垂直平分线上，

∴直线BC是线段AD的垂直平分线，

故A正确．

B、错误．CA不一定平分∠BDA．

C、错误．应该是S△ABC=

•BC•AH．

D、错误．根据条件AB不一定等于AD．

故选A．

8．下列尺规作图，能判断AD是△ABC边上的高是（　　）

A．

B．

C．

D．

【考点】N2：

作图—基本作图．

【分析】过点A作BC的垂线，垂足为D，则AD即为所求．

【解答】解：

过点A作BC的垂线，垂足为D，

故选B．

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二．填空题（共5小题）

9．如图，在平行四边形ABCD中，按以下步骤作图：

①以A为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB，AD于点M，N；②分别以M，N为圆心，以大于

MN的长为半径作弧，两弧相交于点P；③作AP射线，交边CD于点Q，若DQ=2QC，BC=3，则平行四边形ABCD周长为　15　．

【考点】N2：

作图—基本作图；L5：

平行四边形的性质．

【分析】根据角平分线的性质可知∠DAQ=∠BAQ，再由平行四边形的性质得出CD∥AB，BC=AD=3，∠BAQ=∠DQA，故可得出△AQD是等腰三角形，据此可得出DQ=AD，进而可得出结论．

【解答】解：

∵由题意可知，AQ是∠DAB的平分线，

∴∠DAQ=∠BAQ．

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴CD∥AB，BC=AD=3，∠BAQ=∠DQA，

∴∠DAQ=∠DQA，

∴△AQD是等腰三角形，

∴DQ=AD=3．

∵DQ=2QC，

∴QC=

DQ=

，

∴CD=DQ+CQ=3+

=

，

∴平行四边形ABCD周长=2（DC+AD）=2×（

+3）=15．

故答案为：

15．

10．如图所示，已知∠AOB=40°，现按照以下步骤作图：

①在OA，OB上分别截取线段OD，OE，使OD=OE；

②分别以D，E为圆心，以大于

DE的长为半径画弧，在∠AOB内两弧交于点C；

③作射线OC．

则∠AOC的大小为　20°　．

【考点】N2：

作图—基本作图．

【分析】直接根据角平分线的作法即可得出结论．

【解答】解：

∵由作法可知，OC是∠AOB的平分线，

∴∠AOC=

∠AOB=20°．

故答案为：

20°．

11．如图，依据尺规作图的痕迹，计算∠α=　56　°．

【考点】N2：

作图—基本作图．

【分析】先根据矩形的性质得出AD∥BC，故可得出∠DAC的度数，由角平分线的定义求出∠EAF的度数，再由EF是线段AC的垂直平分线得出∠AEF的度数，根据三角形内角和定理得出∠AFE的度数，进而可得出结论．

【解答】解：

∵四边形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，

∴∠DAC=∠ACB=68°．

∵由作法可知，AF是∠DAC的平分线，

∴∠EAF=

∠DAC=34°．

∵由作法可知，EF是线段AC的垂直平分线，

∴∠AEF=90°，

∴∠AFE=90°﹣34°=56°，

∴∠α=56°．

故答案为：

56．

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12．如图，在平面直角坐标系中，以O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴于点M，交y轴于点N，再分别以点M，N为圆心，大于

MN的长为半径画弧，两弧在第二象限内交于点P（a，b），则a与b的数量关系是　a+b=0　．

【考点】N2：

作图—基本作图；D5：

坐标与图形性质；J5：

点到直线的距离．

【分析】根据作图方法可得点P在第二象限的角平分线上，根据角平分线的性质和第二象限内点的坐标符号，可得a与b的数量关系为互为相反数．

【解答】解：

根据作图方法可得，点P在第二象限角平分线上，

∴点P到x轴、y轴的距离相等，即|b|=|a|，

又∵点P（a，b）第二象限内，

∴b=﹣a，即a+b=0，

故答案为：

a+b=0．

13．图1是“作已知直角三角形的外接圆”的尺规作图过程

已知：

Rt△ABC，∠C=90°，求作Rt△ABC的外接圆．

作法：

如图2．

（1）分别以点A和点B为圆心，大于

的长为半径作弧，两弧相交于P，Q两点；

（2）作直线PQ，交AB于点O；

（3）以O为圆心，OA为半径作⊙O．⊙O即为所求作的圆．

请回答：

该尺规作图的依据是　到线段两端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；两点确定一条直线；90°的圆周角所对的弦是直径；圆的定义．　．

【考点】N3：

作图—复杂作图；MA：

三角形的外接圆与外心．

【分析】由于90°的圆周角所对的弦是直径，所以Rt△ABC的外接圆的圆心为AB的中点，然后作AB的中垂线得到圆心后即可得到Rt△ABC的外接圆．

【解答】解：

该尺规作图的依据是到线段两端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；90°的圆周角所对的弦是直径．

故答案为到线段两端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；两点确定一直线；90°的圆周角所对的弦是直径；圆的定义．

三．解答题（共8小题）

14．如图，△ABC中，∠ACB＞∠ABC．

（1）用直尺和圆规在∠ACB的内部作射线CM，使∠ACM=∠ABC（不要求写作法，保留作图痕迹）；

（2）若

（1）中的射线CM交AB于点D，AB=9，AC=6，求AD的长．

【考点】N2：

作图—基本作图；S9：

相似三角形的判定与性质．

【分析】

（1）根据尺规作图的方法，以AC为一边，在∠ACB的内部作∠ACM=∠ABC即可；

（2）根据△ACD与△ABC相似，运用相似三角形的对应边成比例进行计算即可．

【解答】解：

（1）如图所示，射线CM即为所求；

（2）∵∠ACD=∠ABC，∠CAD=∠BAC，

∴△ACD∽△ABC，

∴

=

，即

=

，

∴AD=4．

15．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，AC=2

．

（1）利用尺规作线段AC的垂直平分线DE，垂足为E，交AB于点D，（保留作图痕迹，不写作法）

（2）若△ADE的周长为a，先化简T=（a+1）2﹣a（a﹣1），再求T的值．

【考点】N2：

作图—基本作图；KO：

含30度角的直角三角形．

【分析】

（1）根据作已知线段的垂直平分线的方法，即可得到线段AC的垂直平分线DE；

（2）根据Rt△ADE中，∠A=30°，AE=

，即可求得a的值，最后化简T=（a+1）2﹣a（a﹣1），再求T的值．

【解答】解：

（1）如图所示，DE即为所求；

（2）由题可得，AE=

AC=

，∠A=30°，

∴Rt△ADE中，DE=

AD，

设DE=x，则AD=2x，

∴Rt△ADE中，x2+（

）2=（2x）2，

解得x=1，

∴△ADE的周长a=1+2+

=3+

，

∵T=（a+1）2﹣a（a﹣1）=3a+1，

∴当a=3+

时，T=3（3+

）+1=10+3

．

16．如图，已知△ABC，请用圆规和直尺作出△ABC的一条中位线EF（不写作法，保留作图痕迹）．

【考点】N3：

作图—复杂作图；KX：

三角形中位线定理．

【分析】作线段AB的垂直平分线得到AB的中点E，作AC的垂直平分线得到线段AC的中点F．线段EF即为所求．

【解答】解：

如图，△ABC的一条中位线EF如图所示，

方法：

作线段AB的垂直平分线得到AB的中点E，作AC的垂直平分线得到线段AC的中点F．线段EF即为所求．

17．如图，已知△ABC，∠B=40°．

（1）在图中，用尺规作出△ABC的内切圆O，并标出⊙O与边AB，BC，AC的切点D，E，F（保留痕迹，不必写作法）；

（2）连接EF，DF，求∠EFD的度数．

【考点】N3：

作图—复杂作图；MI：

三角形的内切圆与内心．

【分析】

（1）直接利用基本作图即可得出结论；

（2）利用四边形的性质，三角形的内切圆的性质即可得出结论．

【解答】解：

（1）如图1，

⊙O即为所求．

（2）如图2，

连接OD，OE，

∴OD⊥AB，OE⊥BC，

∴∠ODB=∠OEB=90°，

∵∠B=40°，

∴∠DOE=140°，

∴∠EFD=70°．

18．在数学课本上，同学们已经探究过“经过已知直线外一点作这条直线的垂线“的尺规作图过程：

已知：

直线l和l外一点P

求作：

直线l的垂线，使它经过点P．

作法：

如图：

（1）在直线l上任取两点A、B；

（2）分别以点A、B为圆心，AP，BP长为半径画弧，两弧相交于点Q；

（3）作直线PQ．

参考以上材料作图的方法，解决以下问题：

（1）以上材料作图的依据是：

　线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等　

（3）已知，直线l和l外一点P，

求作：

⊙P，使它与直线l相切．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，并把作图痕迹用黑色签字笔描黑）

【考点】N3：

作图—复杂作图；MD：

切线的判定．

【分析】

（1）根据线段垂直平分线的性质，可得答案；

（2）根据线段垂直平分线的性质，切线的性质，可得答案．

【解答】解：

（1）以上材料作图的依据是：

线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，

故答案为：

线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等；

（2）如图

．

19．“直角”在初中几何学习中无处不在．

如图，已知∠AOB，请仿照小丽的方式，再用两种不同的方法判断∠AOB是否为直角（仅限用直尺和圆规）．

【考点】N3：

作图—复杂作图；KS：

勾股定理的逆定理；M5：

圆周角定理．

【分析】

（1）根据勾股定理的逆定理，可得答案；

（2）根据圆周角定理，可得答案．

【解答】解：

（1）如图1

，

在OA，OB上分别，截取OC=4，OD=3，若CD的长为5，则∠AOB=90°

（2）如图2

，

在OA，OB上分别取点C，D，以CD为直径画圆，若点O在圆上，则∠AOB=90°．

20．如图，已知正七边形ABCDEFG，请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求画图．

（1）在图1中，画出一个以AB为边的平行四边形；

（2）在图2中，画出一个以AF为边的菱形．

【考点】N3：

作图—复杂作图；L5：

平行四边形的性质；L8：

菱形的性质．

【分析】

（1）连接AF、BE、CG，CG交AF于M，交BE于N．四边形ABNM是平行四边形．

（2）连接AF、DF，延长DC交AB的延长线于M，四边形AFDM是菱形．

【解答】解：

（1）连接AF、BE、CG，CG交AF于M，交BE于N．四边形ABNM是平行四边形．

（2）连接AF、DF，∠延长DC交AB的延长线于M，四边形AFDM是菱形．

21．图①、图②、图③都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个小等边三角形的顶点称为格点．线段AB的端点在格点上．

（1）在图①、图2中，以AB为边各画一个等腰三角形，且第三个顶点在格点上；（所画图形不全等）

（2）在图③中，以AB为边画一个平行四边形，且另外两个顶点在格点上．

【考点】N4：

作图—应用与设计作图；KI：

等腰三角形的判定；KK：

等边三角形的性质；L6：

平行四边形的判定．

【分析】

（1）根据等腰三角形的定义作图可得；

（2）根据平行四边形的判定作图可得．

【解答】解：

（1）如图①、②所示，△ABC和△ABD即为所求；

（2）如图③所示，▱ABCD即为所求．