第11章《三角形》全章教案12页含反思.docx

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第11章《三角形》全章教案12页含反思

11．1　与三角形有关的线段

11．1.1　三角形的边

1．结合具体的实例，进一步认识三角形的概念及其基本要素．

2．会用符号、字母表示三角形，并了解按边的相等关系对三角形进行分类．

3．理解三角形任何两边之和大于第三边与任意两边之差小于第三边的性质，并会初步运用这些性质来解决问题．

重点

三角形的三边关系．

难点

三角形的三边关系．

一、创设情境，引入新课

老师出示一个用硬纸板剪好的三角形，并提出问题；

小学中我们已经认识了三角形，那么你能不能给三角形下一个完整的定义？

老师出示教具，提出问题．让学生观察教具，然后给出三角形的定义．

由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．

二、探究问题，形成概念

（一）探究三角形的有关概念

1．三角形的顶点及符号表示方法．

2．三角形的内角．

3．三角形的边．

教师继续利用教具向学生直接指明相关的概念．

学生注意记忆相关的概念．

教师再出示另外剪好的三角形，各顶点字母与原来不同，然后通过新三角形让学生巩固刚才的有关概念．

（二）探究三角形的分类

问题1：

小学中已经学过，如何将三角形进行分类？

问题2：

如何将三角形按边分类？

教师提出问题，学生举手回答．

教师提示，分类的标准是什么？

学生回答：

有两边相等和有三边相等，以及三条边均不相等．

教师进一步提出新的问题，并进一步讲解等边三角形、等腰三角形的有关概念，然后给出三角形按边分类的方法：

三角形

之后师生共同归纳三角形的分类方法．按不同的标准分类，可以有不同的分法．

（三）探究三角形的三边关系

探究：

画出一个△ABC，假设有一只小虫要从B点出发，沿三角形的边爬到C点，它有几种路线可以选择？

各条路线的长一样吗？

教师提出问题，学生先画图然后进行讨论，并思考问题，然后教师指定学生回答问题．

（1）小虫从点B出发沿三角形的边爬到点C有如下几条路线：

a．从B→C

b．从B→A→C

（2）从B→C路线最短．

然后老师进一步提出问题：

这条路线为什么是最短的？

学生举手回答：

“两点之间，线段最短．”

然后师生共同归纳得出：

AC＋BC＞AB　①

AB＋AC＞BC　②

AB＋BC＞AC　③

即三角形两边的和大于第三边．

教师提问：

（1）由不等式①②③移项，你能得到怎样的不等式？

（2）通过刚才得到的不等式，你有什么发现？

学生回答，师生共同归纳：

三角形两边的差小于第三边．

教师出示教材第3页例题．

分析：

（1）“用一条长18cm的细绳围成一个等腰三角形”，这句话有什么含义？

（2）有一边长为4cm是什么意思，哪一边的长度是4cm?

三、练习巩固

练习：

教材第4页练习第1，2题．

老师布置练习，学生举手回答即可．第2题注意让学生说明理由．

解决完以后，教师利用投影出示补充练习，学生独立完成．

补充练习：

一个三角形有两条边相等，周长为20cm，一条边长是6cm，求其他两条边长．

四、小结与作业

小结：

谈谈本节课的收获．

老师引导学生主要从对三角形的分类和三边关系的认识方面进行小结．

布置作业：

习题11.1第1，2，7题．

三角形的三边关系是在学生了解了三角形的一些基本特征的基础上学习的，学生虽然知道了三角形有三条边，但三角形“边”的研究却是学生首次接触，让学生自己动手操作，初步感知三条边之间的关系，接着重点研究“能围成三角形的三条边之间到底有什么关系？

”通过观察、验证、再操作，最终发现三角形任意两边之和大于第三边这一结论。

这样教学符合学生的认知特点，既增加了兴趣，又增强学生的动手能力．

11．1.2　三角形的高、中线与角平分线

11．1.3　三角形的稳定性

1．掌握三角形的高、中线、角平分线、重心的定义中体现出来的性质．

2．会画三角形的高、中线、角平分线．

3．了解三角形的稳定性．

重点

了解三角形的高、中线与角平分线的概念，会用工具准确画出三角形的高、中线与角平分线，了解三角形具有稳定性这一性质．

难点

1．三角形的角平分线与角的平分线的区别，三角形的高与垂线的区别．

2．钝角三角形高的画法．

3．不同的三角形三条高的位置关系．

一、情境导入

生活实例演示：

人字型屋顶钢架、风筝骨架，并从中抽象出数学图形，引出三角形中的特殊线段．

二、探究新知

（一）三角形的高

问题1：

如何求三角形的面积？

问题2：

什么是三角形的高，怎样画三角形的高？

教师首先提出问题1，学生举手回答，然后教师进一步提出来问题2.引入本节课的第一个概念．

从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高．如图，AD是△ABC的边BC上高．

想一想，一个三角形有几条高？

然后教师要求学生举手画三个不同的三角形，即锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，之后要求学生作出它们的高，然后同学进行交流．

观察：

每一个三角形的三条高有什么位置关系？

三条高交于一点．

教师提出问题：

各种三角形的高都分别交于一点吗？

学生讨论，交流，然后归纳结果．

练习：

教材第5页练习第1题．

学生独立观察，然后交流，归纳．

（二）三角形的中线与角平分线的概念及画法

1．三角形的中线及其画法．

2．三角形的角平分线及其画法．

教师指出三角形中线的定义及角平分线的定义，然后仿照三角形的高的教学过程，安排学生画一画，并相应地提出类似的问题．

学生动手操作，然后交流，探讨，师生共同归纳总结．

三角形的三条中线都在三角形的内部，且它们交于一点．三角形三条中线的交点叫做三角形的重心．

三角形的三条角平分线都在三角形的内部，且它们交于一点．

三角形的三条高不一定在三角形的内部，它们也相交于一点．

三角形的高、中线、角平分线都是线段．

（三）三角形的稳定性

教师利用折尺让学生先折成三角形的样子，然后拆成四边形的样子，认识三角形的稳定性．

学生认识到三角形的稳定性以后，让学生找出几个生活中利用三角形的稳定性的例子，并完成教材第7页练习．

三、练习巩固

练习：

教材第5页练习第2题．

思考：

如下图，AD是△ABC的边BC上的中线，△ABD和△ADC的面积有何关系，为什么？

教师布置练习，学生独立完成，然后举手回答．

教师利用投影出示思考题，学生进行讨论后，再进行归纳．

归纳：

三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．

思考：

高和角平分线是否也有这样的性质呢？

四、小结与作业

小结：

谈谈你对三角形的高、中线、角平分线的认识．

教师引导学生归纳三角形的高、中线、角平分线的相关性质．

布置作业：

习题11.1第3，4，8题，选做题：

第9题．

以学生为本，充分调动学生的学习兴趣，主动参与到新课堂的实践活动．例如：

学生在学习了三角形的角平分线、中线后，引导学生及时比较它们的异同点，以免混淆，建立了求同存异的思想。

学生在得到了任意三角形的三条角平分线、中线交于一点，且在三角形的内部，这一规律后，就轻易认为三条高线也适用此规律．教师抓住学生的惯性心理，引导学生通过动手发现新问题，从而解决它．在教学三角形的稳定性时，尽可能利用多媒体引导学生探寻三角形稳定性的数学含义，进而用三角形的稳定性解释“为什么不易变形”，再回归生活，运用三角形的稳定性解释为什么要用上三角形和用三角形解决生活中的问题．

11．2　与三角形有关的角

11．2.1　三角形的内角

1．理解三角形内角和定理的内容，能应用三角形内角和定理解决一些简单的实际问题．

2．掌握直角三角形的两个锐角互余，能用有两个角互余的三角形是直角三角形对三角形进行判定．

重点

三角形内角和定理

难点

三角形内角和定理的推理过程．

一、情境导入

我们知道，任意一个三角形的内角和等于180°，怎样证明这个结论的正确性呢？

小学中我们通过测量的方法进行过验证，但我们不可能对所有的三角形进行验证，有没有一种能证明任意三角形的内角和等于180°的方法呢？

二、探究新知

（一）探究三角形的内角和

1．在所准备的三角形硬纸上标出三个内角的编码．

2．让学生动手把一个三角形的两个剪下拼在第三个角的顶点处（如上图），用量角器量出∠BCD的度数，可得到∠A＋∠B＋∠ACB＝180°.

3．把∠B和∠C剪下按下图拼在一起，用量角器量一量∠MAN的度数，会得到什么结果？

教师在学生完成后，提出问题：

在图

（2）中直线CM与AB是什么关系？

在图（3）中直线MN与BC是什么关系？

你能从中找到三角形内角和定理的证明方法吗？

（二）证明三角形内角和定理

三角形内角和定理：

三角形三个内角的和等于180°.

已知：

△ABC，如图．

求证：

∠A＋∠B＋∠C＝180°.

教师引导学生从上面的操作中得到证明三角形内角和定理的方法，然后规范地写出证明过程．注意向学生提示辅助线要用虚线．

这一过程中教师应当注意，必须要写出规范的证明过程．教师可以采用示范一个，练习一个的方式．用如上图的方法进行教师示范，用如下图的方法让学生进行练习．

想一想，还有没有其他的方法？

（利用同旁内角互补）

三、举例分析

教师用多媒体出示例1，要求学生独立完成．

学生说出解题过程，教师讲评，规范格式．

老师利用多媒体出示例2，学生先读题，弄懂题意，然后师生共同分析解题．

之后教师可进一步向学生提问：

“还有没有其他的方法来解决．”

教师指导学生尝试探究直角三角形的两个锐角之间的关系，要求写出推理过程．

学生汇报结果，师生总结得到“直角三角形的两个锐角互余”．

教师多媒体出示例3，指名板演，集体讲评，注重讲题说理．接着让学生思考：

有两个角互余的三角形是否是直角三角形？

（简单说明理由）

四、课堂练习

练习：

教材练习．

补充练习：

1．三角形中最大的角是70°，那么这个三角形是锐角三角形．（　　）

2．一个三角形中最多只有一个钝角或直角．（　　）

3．一个等腰三角形一定是锐角三角形．（　　）

4．一个三角形最少有一个角不大于60°.（　　）

5．一个三角形中有两个角分别是40°，50°，则这个三角形是直角三角形．（　　）

五、小结与作业

小结：

谈谈本节课的收获．

教师引导学生从定理的证明过程和对例题中解题的思路方法的角度进行小结．

布置作业：

习题11.2第1，2，3，7题，选做题：

第9题．

在教学中，当引出课题后，先引导学生积极讨论交流探究三角形内角和的方法，再引导学生通过探究活动来得出结论．当学生有困难时，教师也参与学生的研究，适当进行点拨，并充分进行交流反馈，给学生创造了一个宽松和谐的探究氛围．

11．2.2　三角形的外角

1．了解三角形的外角．

2．知道三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．

3．学会运用简单的说理来计算三角形相关的角．

重点

三角形外角的性质．

难点

运用三角形外角性质进行有关计算时能准确地推理．

一、复习引入

什么是三角形的内角？

它是由什么组成的？

三角形内角和定理的内容是什么？

教师提出问题，学生举手回答问题．

二、探究新知

1．探究三角形外角的概念．

教师布置学生自学教材第14页最后一段话的内容，然后完成以下问题：

（1）举例说明什么是三角形的外角．（上黑板画图说明）

（2）如图，∠ADB，∠BPC，∠BDC，∠DPC分别是哪个三角形的外角？

2．探究三角形外角的性质．

老师布置学生自学教材第15页思考的内容，然后同学间进行交流、讨论，归纳三角形的外角有什么性质，并提出以下问题：

你能否用证明的方法说明你所归纳的性质？

学生归纳得出三角形外角的性质：

三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和

三、举例分析

例1　如图，∠BAE，∠CBF，∠ACD是△ABC的三个外角，它们的和是多少？

教师出示教材例4，先让学生进行分析，教师可以适当加以引导学生，将三角形的外角转化为三角形的内角，然后师生共同写出规范的解答过程．

解：

由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得∠BAE＝∠2＋∠3，∠CBF＝∠1＋∠3，∠ACD＝∠1＋∠2.

所以∠BAE＋∠CBF＋∠ACD＝2（∠1＋∠2＋∠3）．

由∠1＋∠2＋∠3＝180°，得∠BAE＋∠CBF＋∠ACD＝2×180°＝360°.

四、练习与小结

练习：

教材练习．

教师布置练习，学生举手回答．

小结：

谈谈你对三角形外角的认识．

教师引导学生谈谈对三角形外角的认识．主要从定义和性质两个方面入手．

五、布置作业

习题11.2第5，6，8题，选做题：

第11题．

通过三角形的内角和回顾引入，然后通过学生的预习，在他们的理解基础上，去学习三角形的外角的定义，这样能够加深他们对外角定义的理解，在探索三角形外角定理的时候，我也是采取了学生去探索的思想，让他们自己大胆猜想，然后同学们在老师的引导下去证明自己的猜想，这样以后才能运用自如．

11．3　多边形及其内角和

11．3.1　多边形

了解多边形及有关概念，理解正多边形及其有关概念．

重点

多边形及有关概念．

难点

区分凹凸多边形．

一、情境导入

问题：

什么是三角形，什么是三角形的边、内角？

老师提出问题，学生举手回答．

二、探究新知

（一）多边形的有关概念

问题1：

观察下列图片，它们由哪些基本图形组成？

问题2：

你能说出生活中的多边形吗？

教师利用投影出示图片，学生观察图片，并进行讨论、交流．之后学生自由发言．

然后教师指出相关的概念．

多边形：

在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形．按组成多边形线段的条数分为三角形、四边形、五边形……如果一个多边形由n条线段组成，这个多边形叫做n边形．

根据三角形的内角、外角的概念，你能说出多边形的内角和外角的概念吗？

之后教师提出问题2让学生多举几个例子，然后教师给出凸、凹多边形、正多边形的概念．

要点：

（1）多边形的概念与三角形相比，多了“在平面内”．

（2）正多边形是各边相等，各角也相等，二者缺一不可．

（3）凸、凹多边形的区别．

（二）多边形的对角线的条数

问题：

什么是多边形的对角线？

三角形有几条对角线，四边形呢？

五边形、六边形、n边形呢？

教师给出多边形对角线的概念，然后提出问题，组织学生进行讨论、探究．

教师可以根据图形适当向学生提示：

过四边形的一个顶点可以画几条对角线，四边形一共有几条对角线？

过五边形的一个顶点可以画几条对角线，五边形一共有几条对角线？

六边形呢？

这里有什么规律吗？

归纳：

多边形的对角线的条数是：

，

这里n是多边形的边数．

（三）探究凸、凹多边形及正多边形的概念

如图

（1），画出四边形ABCD的任何一条边（例如CD）所在直线，整个四边形都在这条直线的同一侧，这样的四边形叫做凸四边形．而图

（2）中的四边形ABCD就不是凸四边形，因为画出边CD（或BC）所在直线，整个四边形不都在这条直线的同一侧．类似地，画出多边形的任何一条边所在直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，那么这个多边形就是凸多边形．本节只讨论凸多边形．

我们知道，正方形的各个角都相等，各条边都相等，像正方形这样，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形．下图是正多边形的一些例子．

教师要求学生自己去解决这两个问题，可以通过讨论、交流的形式去解决，完成以后，教师可以随机地画几个多边形让学生进行凸、凹多边形的区分．对于正多边形的概念，关键让学生掌握住各边都相等，各角都相等，二者缺一不可．

三、练习与小结

教师布置练习，学生完成后举手回答．

小结：

谈谈你本节课的收获．

教师引导学生从概念、相关知识等方面进行小结．

四、布置作业

习题11.3第1题．

教学过程中采用与三角形类比的方式进行教学，有利于学生理解概念。

在对角线的教学中，先让学生动手探索从一个顶点出发的对角线的条线的规律，并让其观察分成三角形个数的规律；进而才进行探究对角线的总条线．使学生经历了一次自主获取新知的成功体验，正好体现了“重学习过程，轻学习结果”的新理念．

11．3.2　多边形的内角和

1．掌握多边形的外角和及内角和公式．

2．通过把多边形转化为三角形，体会转化思想在几何中的运用，让学生体会从特殊到一般的认识问题的方法．

3．了解平面镶嵌的条件，会用简单的平面图形进行平面镶嵌．

重点

探索多边形的内角和公式及外角和．

难点

如何把多边形转化成三角形，用分割多边形法推导多边形的内角和与外角和．

一、复习引入

问题：

你知道三角形的内角和是多少度吗？

1．教师提问，学生思考作答．

2．教师总结：

三角形的内角和等于180°.

3．引出课题：

你想知道任意一个多边形的内角和吗？

今天我们就来进一步探讨多边形的内角和与外角和．

二、探究新知

（一）四边形的内角和

问题：

你知道任意一个四边形的内角和是多少度吗？

学生展示探究成果．

分割成2个三角形，180°×2＝360°.

分割成4个三角形，180°×4－360°＝360°.

分割成3个三角形，180°×3－180°＝360°.

1．引导学生猜想：

四边形的内角和等于360°.

2．学生分小组交流与探究，进一步来论证自己的猜想．

3．由各小组成员汇报探索的思路与方法，讲明理由．

4．教师汇总学生所探索出的不同方法，除测量与拼凑法外，并提出疑问：

你们添加辅助线的目的是什么？

说一说你的想法．

5．教师在学生回答的基础上小结：

借助辅助线把四边形分割成几个三角形，利用三角形内角和定理求得四边形的内角和．

教师可点拨学生从正方形、长方形这两个特殊的四边形的内角和入手，进而猜测出四边形的内角和等于360°.

（二）五边形的内角和

问题1：

你知道任意一个五边形的内角和是多少度吗？

问题2：

你知道任意一个n边形的内角和是多少度吗？

（n－2）×180°

180°n－360°

180°（n－1）－180°

板书：

多边形内角和公式：

n边形的内角和等于（n－2）×180°

补充例题：

求十五边形内角和的度数．

1．教师提出问题，学生思考后分组活动．

2．教师深入小组，参与小组活动，及时了解学生探索的情况．

3．让学生归纳借助辅助线将五边形分割成三角形的不同分法．

4．探究五边形的边数与所分割的三角形个数间的关系，进而得出五边形内角和与边数的关系．

5．根据以上分割三角形的方法，引导学生归纳n边形内角和公式及不同公式间的联系，指明为了书写整齐，便于记忆，我们选择（n－2）×180°这个公式．

6．通过计算，让学生巩固并掌握n边形内角和公式．

（三）多边形的外角和

问题1：

小明家有一张六边形的地毯，小明绕各顶点走了一圈，回到起点A，并面对他出发时的方向，他的身体旋转了多少度？

例：

六边形外角和等于多少度？

问题2：

n边形外角和等于多少度？

n边形外角和等于360°.

1．学生思考作答，教师作适当点拨．通过课件演示，由学生发现：

六边形的外角和等于360°.

2．教师引导学生利用多边形内角和公式，进一步论证六边形外角和等于360°，即六个平角减去六边形内角和等于六边形外角和．

3．进行类比推理并小结：

n边形外角和等于n个平角减去n边形内角和，与边数无关．

三、练习应用

1．教材练习．

补充：

2．问题：

一个多边形的内角和与外角和相等，它是几边形？

四、小结与作业

问题：

谈谈本节课你有哪些收获？

1．学生反思学习和解决问题的过程．

2．鼓励学生大胆表达，并对学生的进步给予肯定，树立学生学好数学的自信心．

作业：

习题11.3第2，4，5，6，7，8题，选做题：

第9，10题．

这节课通过研究发现由多边形的一个顶点引对角线后原多边形被分成（n－2）三角形，由此可得多边形的内角和公式为：

（n－2）180，这里充分体现由特殊到一般的推理特点．换一个角度看问题，在多边形内任取一点与各个顶点相连得到n个三角形，但是这里多算了一个周角，因此可得到公式为：

180n－360.这样培养了学生从多方面探究问题的能力．