在职研究生数值分析复习资料及答案.docx
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在职研究生数值分析复习资料及答案
在职研究生数值分析复习资料
考试时间：
120分钟
、单项选择题（每小题4分，共20分）
1.用3.1415作为n的近似值时具有（B）位有效数字。
（A）3（B）4（C）5
2.下列条件中，不是分段线性插值函数
（A）P（x）在各节点处可导
（C）P（x）在各子区间上是线性函数
6
（D）P（x）必须满足的条件为（A）。
（B）P（x）在[a，b]上连续
（D）P（Xk）=yk,（k=0,1,…，n）
f[X-!
X2,Xn]f[X0,X1,Xn1]
3.n阶差商递推定义为：
f[x°X1,Xn]-----
XnX-
差商表如下：
序号
Xi
f（Xi）
一阶差商
二阶差商
三阶差商
0
1
0
1
3
2
1
2
4
15
13
4
3
7
12
—1
—7/2
—5/4
那么差商f[1,3,4:
=（A）
A.（15—0）/（4—1）=5
B.（13—1）/（4—
3）=12
C.4
D.—5/4
24和xln（4x）/ln2的形式，对
两者相应迭代公式求所给方程在
（A）前者收敛，后者发散
（B）前者发散，后者收敛
（C）
5.区间［a,b］上的三次样条插值函数是
两者均收敛发散（D）两者均发散
（A）。
A.
3次的多项式
在［a,b:
上2阶可导，节点的函数值已知，子区间上为
B.在区间［a,b:
上连续的函数
C.在区间［a,b:
上每点可微的函数
D.在每个子区间上可微的多项式
二、填空题（每空2分，共20分）
1.当x=1,-1,2时，对应的函数值分别为f（-1）=0,f（0）=2,f（4）=10，则f（x）的拉格朗日插值多项式是
F2（x）—X22（题目有问题，或许应该是：
x=-1，0,4时…）
5555
2.求解非线性方程xeX10的牛顿迭代公式是
XkXk
-,（k0,1,2...）
Xk1
3.对任意初始向量X（0）和常数项N,有迭代公式x（k1）序列X（k）Mx（k）N产生的向量
收敛的充分必要条件是limX（k）X*。
k
3
2
2
4.设A
X
2
1
3,
IIAIIx=
5,
IIAII仁
5
IX
3
5.已知a=3.201,b=0.57是经过四舍五入后得到的近似值，则ab有2—位
有效数字，a+b有1位有效数字。
6.
若f（x）=x7-x3+1,贝Uf[20,2II,22,23,24,25,26,27]=1。
三、利用100,121,144的平方根，试用二次拉格朗日插值多项式求.115的近
似值。
要求保留4位有效数字，并写出其拉格朗日插值多项式
四、已知：
已知有数据表如下，用n=8的复合梯形公式
h[f（a）2f（xQf（b）]），计算积分
2k1
X
0
0.125
0.25
0.375
0.5
0.625
0.75
0.875
1
xe
1
1.133148
1.284025
1.454991
1.648721
1.868246
2.117000
2.398875
2.718282
（Rn（f）
bah2f"（）,
12
（a,b））
II35
a21为1
五、已知方程组2a2X22
12ax31
（1）写出解此方程组的雅可比法迭代公式
（2）证明当a4时，雅可比迭代法收敛
⑶取a5,X（0）（总却，求出X"
六、用改进的欧拉公式求解以下初值问题（取步长为0.1,只要求给出x=0.1
至0.5处的y值，保留小数点后四位）
2x
（0X1）
7
y'y
y
y（0）1
七.用列主元高斯消元法解线性方程组。
（计算时小数点后保留5位）
XX2
1
X3
4
!
5x14X2
3X3
12
2x!
x2x3
11
八、用高斯赛德尔方法求下列方程组的解，计算结果保留4位小数
10x12x2x33
2x110x2x315
人2x25x310
十、设有线性方程组Axb，其中A31015,b
51530
（1）求ALU分解；
（2）求方程组的解（3）判断矩阵A的正定性
I八一、用牛顿迭代法求方程xex0的根。
（迭代三步即可）
十二、已知单调连续函数y=f（x）的如下数据，若用插值法计算,x约为多少时
f（x）=0.5，要求计算结果保留小数点后
4位。
Xi
-10
23
f（Xi）
-4-1
03
参考答案
二、解利用抛物插值，这里
y2=12,
xO=1OO,yO=1O,x1=121,y仁11,x2=144,
令x=115代入抛物插值多项式求得.115近似值为10.7228
四、解
解
（1）
对i
1,2,3,
从第i个方程解出
（m1）
%
1-（1
2x2m）
（m）
X3）
（m1）
X2
a
丄（2
2XT
2x3m））,m0,1,
X3m°
a
丄（1
X1m）
2x2m））
a
人，得雅可比法迭代公式
为：
（2）当a4时，A
（3）取a5,X（O）
为严格对角占优矩阵，所以雅可比迭代法收敛。
111
（
1O'5‘1O
由迭代公式计算得
25,
x3
10
旦
X（）
13
25,
x3
250
813）t
250
25
六、解改进的欧拉公式为
yn1ynhf（Xn,yn）
yn1yn畀区，*）八皿1）]
Xn
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
yn
1.0959
1.1841
1.2662
1.3434
1.4164
1.4860
1.5525
1.6153
1.6782
1.7321
七、解
（1,5,2）最大元5在第二行，交换第一与第二行
5x14X23X312
NX2X34
2x1X2X311
L2i=1/5=0.2」3i=2/5=0.4方程化为：
5x14x23x312
0.2x20.4x31.6
2.6X20.2x315.8
（-022.6）最大元在第三行，交换第二与第三行:
5x14x23x312
0.2x20.4X31.6
L32=-0.2/2.6=-0.076923，方程化为:
5x14x23x312
2.6X20.2x3
15.
0.38462X3
0.38466
回代得：
X13.00005
X25.99999
X31.00010
八?
解答：
xk1
1
—（32xk
102
xk）
k1
X2
—（152xk
10\
1k、
x3）
k1
x
3
〔（10xk1
51
2xk1）
k1
x1
0.30.2x:
0.1x:
）
xk1
2
1.50.2xk1
1
0.1xk）
k1
x
20.2xk1
1
0.4xk1）
/2
3
取x0=（0,0,0）
x1=（0.3,1.56,2.684）
x2=（0.8804,1.9445,2.9539）
x3=（0.9843,1.9923,2.9938）
x4=（0.9978,1.9989,2.9991）
x5=（0.9997,1.9999,2.9999）x6=（1.0000,2.0000,3.0000）
simpson公式计算由公式得
x7=（1.0000,2.0000,3.0000）
九、根据给定数据点的个数应该用复化
2h
47
6
R（f0）
0f（x）dxh3（f（0）4（?
5）心5））2f
（1）f
（2））
h丄
2
bah；
2880
20M
Mjh12h
28801440
1
3
5
2
1
3
5
2
十、因为[A,b]
3
10
15
8
3l
1
0
2
5
15
30
5
5
0l
5
5
十二、
1（0.5）=2.91667
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