离散数学精彩试题及问题详解.docx
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离散数学精彩试题及问题详解
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标准文案一、填空题
1设集合A,B，其中A＝{1,2,3},B={1,2},则A-B＝________{3}____________;
?
（A）-?
（B）＝2,3}}_______.
2.2.设有限集合A,|A|=n,则|?
（A×A）|=__22n
3.设集合A={a,b},B={1,2},则从A到B的所有映射是__?
1={（a,1）,（b,1）},?
2={（a,2）,（b,2）},?
3={（a,1）,（b,2）},?
4={（a,2）,（b,1）};_,其中双射的是____?
3,?
4._
4.已知命题公式G＝?
（P?
Q）∧R，则G的主析取范式是______（P∧?
Q∧R）__________________.
5.设G是完全二叉树，G有7个点，其中4个叶点，则G的总度数为___12_______，分枝点数为_______3_________.
6设A、B为两个集合,A={1,2,4},B={3,4},则从A?
B＝_______{4}__________________;
A?
B＝_____{1,2,3,4}____________;A－B＝____{1,2}_________________.
3.7.设R是集合A上的等价关系，则R所具有的关系的三个特性是__自反性；对称性；传递性_______________________________.
8.设命题公式G＝?
（P?
（Q?
R）），则使公式G为真的解释有____（1,0,0）________，___
_（1,0,1）_________,____（1,1,0）______________________.
9.设集合A＝{1,2,3,4},A上的关系R1={（1,4）,（2,3）,（3,2）},R1={（2,1）,（3,2）,（4,3）},则R1?
R2=_{（1,3）,（2,2）,（3,1）}__________,R2?
R1=___{（2,4）,（3,3）,（4,2）}_______,
R12=_____{（2,2）,（3,3）}__________________.
4.10.设有限集A,B，|A|=m,|B|=n,则||?
（A?
B）|=___2m?
n_____.
11设A,B,R是三个集合，其中R是实数集，A={x|-1≤x≤1,x?
R},B={x|0≤x<2,x?
R},则A-B=_{x|-1≤x<0,x?
R}_______,B-A=__{x|1R}_____,
A∩B=___{x|0≤x≤1,x?
R}_______________________,.
5.13.设集合A＝{2,3,4,5,6}，R是A上的整除，则R以集合形式（列举法）记为__{（2,2）,（2,
4）,（2,6）,（3,3）,（3,6）,（4,4）,（5,5）,（6,6）}_____________________________.
6.14.设一阶逻辑公式G=?
xP（x）?
?
xQ（x），则G的前束范式是__?
x（?
P（x）∨Q（x））_.15.设G是具有8个顶点的树，则G中增加__21_______条边才能把G变成完全图。
16.设谓词的定义域为{a,b},将表达式?
xR（x）→?
xS（x）中量词消除，写成与之对应的命题公式是____（R（a）∧R（b））→（S（a）∨S（b））_______________________.
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标准文案17.设集合A＝{1,2,3,4}，A上的二元关系R＝{（1,1）,（1,2）,（2,3）},S＝{（1,3）,（2,3）,（3,2）}。
则R?
S＝_{（1,3）,（2,2）}_____________________________,
R2＝___{（1,1）,（1,2）,（1,3）}.______________________.
二、选择题
1设集合A={2,{a},3,4}，B={{a},3,4,1}，E为全集，则下列命题正确的是（C）。
（A）{2}?
A（B）{a}?
A（C）?
?
{{a}}?
B?
E（D）{{a},1,3,4}?
B.
2设集合A={1,2,3},A上的关系R＝{（1,1）,（2,2）,（2,3）,（3,2）,（3,3）}，则R不具备（D）.（A）自反性（B）传递性（C）对称性（D）反对称性
3设半序集（A,≤）关系≤的哈斯图如下所示，若A的子集B={2,3,4,5},则元素6为B的（B）。
（A）下界（B）上界（C）最小上界（D）以上答案都不对
4下列语句中，（B）是命题。
（A）请把门关上（B）地球外的星球上也有人
（C）x+5>6（D）下午有会吗？
5设I是如下一个解释：
D＝
{a,b},
0101b）P（b,a）P（b,b）P（a,）,（aaP
则在解释I下取真值为1的公式是（D）.
（A）?
x?
yP（x,y）（B）?
x?
yP（x,y）（C）?
xP（x,x）（D）?
x?
yP（x,y）.
6.若供选择答案中的数值表示一个简单图中各个顶点的度，能画出图的是（C）.（A）（1,2,2,3,4,5）（B）（1,2,3,4,5,5）（C）（1,1,1,2,3）（D）（2,3,3,4,5,6）.
7.设G、H是一阶逻辑公式，P是一个谓词，G＝?
xP（x）,H＝?
xP（x）,则一阶逻辑公式G?
H是（C）.（A）恒真的（B）恒假的（C）可满足的（D）前束范式.
8设命题公式G＝?
（P?
Q），H＝P?
（Q?
?
P），则G与H的关系是（A）。
（A）G?
H（B）H?
G（C）G＝H（D）以上都不是.9设A,B为集合，当（D）时A－B＝B.（A）A＝B（B）A?
B（C）B?
A（D）A＝B＝?
.
10设集合A={1,2,3,4},A上的关系R＝{（1,1）,（2,3）,（2,4）,（3,4）},则R具有（B）。
（A）自反性（B）传递性（C）对称性（D）以上答案都不对
11下列关于集合的表示中正确的为（B）。
（A）{a}?
{a,b,c}（B）{a}?
{a,b,c}（C）?
?
{a,b,c}（D）{a,b}?
{a,b,c}12命题?
xG（x）取真值1的充分必要条件是（）.
（A）对任意x，G（x）都取真值1.（B）有一个x0，使G（x0）取真值1.
（C）有某些x，使G（x0）取真值1.（D）以上答案都不对.
13.设G是连通平面图，有5个顶点，6个面，则G的边数是（A）.（A）9条（B）5条（C）6条（D）11条.
14.设G是5个顶点的完全图，则从G中删去（A）条边可以得到树.（A）6（B）5（C）10（D）4.
15.设图G的相邻矩阵为?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
0110110101110110010111110，则G的顶点数与边数分别为（D）.
1
2345
6
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标准文案（A）4,5（B）5,6（C）4,10（D）5,8.三、计算证明题
1.设集合A＝{1,2,3,4,6,8,9,12}，R为整除关系。
（1）画出半序集（A,R）的哈斯图；
（2）写出A的子集B={3,6,9,12}的上界，下界，最小上界，最大下界；
（3）写出A的最大元，最小元，极大元，极小元。
（1）
124836129
（2）B无上界，也无最小上界。
下界1,3;最大下界是3.（3）A无最大元，最小元是1，极大元8,12,90+;极小元是1.
2.设集合A＝{1,2,3,4}，A上的关系R＝{（x,y）|x,y?
A且x?
y},求
（1）画出R的关系图；
（2）写出R的关系矩阵.R={（1,1）,（2,1）,（2,2）,（3,1）,（3,2）,（3,3）,（4,1）,（4,2）,（4,3）,（4,4）}.
（1）
（2）1000110011101111RM?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
3.设R是实数集合，?
?
?
是R上的三个映射，?
（x）=x+3,?
（x）=2x,?
（x）＝x/4,试求复合映射?
?
?
，?
?
?
?
?
?
?
?
?
，?
?
?
?
?
.
（1）?
?
?
＝?
（?
（x））＝?
（x）+3＝2x+3＝2x+3.
（2）?
?
?
＝?
（?
（x））＝?
（x）+3＝（x+3）+3＝x+6,（3）?
?
?
＝?
（?
（x））＝?
（x）+3＝x/4+3,
（4）?
?
?
＝?
（?
（x））＝?
（x）/4＝2x/4=x/2,
（5）?
?
?
?
?
＝?
?
（?
?
?
）＝?
?
?
+3＝2x/4+3＝x/2+3.
1
234
实用文档
标准文案
4.设I是如下一个解释：
D={2,3},
abf
（2）f（3）P（2,2）P（2,3）P（3,2）P（3,3）3
2
3
2
0
0
1
1
试求
（1）P（a,f（a））∧P（b,f（b））;
（2）?
x?
yP（y,x）.
（1）P（a,f（a））∧P（b,f（b））=P（3,f（3））∧P（2,f
（2））=P（3,2）∧P（2,3）=1∧0=0.
（2）?
x?
yP（y,x）=?
x（P（2,x）∨P（3,x））
=（P（2,2）∨P（3,2））∧（P（2,3）∨P（3,3））=（0∨1）∧（0∨1）=1∧1=1.
5.设集合A＝{1,2,4,6,8,12}，R为A上整除关系。
（1）画出半序集（A,R）的哈斯图；
（2）写出A的最大元，最小元，极大元，极小元；
（3）写出A的子集B={4,6,8,12}的上界，下界，最小上界，最大下界.1）
（2）
无最大元，最小元1，极大元8,12;极小元是1.（3）B无上界，无最小上界。
下界1,2;最大下界2.
6.设命题公式G=?
（P→Q）∨（Q∧（?
P→R））,求G的主析取范式。
G=?
（P→Q）∨（Q∧（?
P→R））=?
（?
P∨Q）∨（Q∧（P∨R））
2416812．
实用文档
标准文案=（P∧?
Q）∨（Q∧（P∨R））=（P∧?
Q）∨（Q∧P）∨（Q∧R）
=（P∧?
Q∧R）∨（P∧?
Q∧?
R）∨（P∧Q∧R）∨（P∧Q∧?
R）∨（P∧Q∧R）∨（?
P∧Q∧R）=（P∧?
Q∧R）∨（P∧?
Q∧?
R）∨（P∧Q∧R）∨（P∧Q∧?
R）∨（?
P∧Q∧R）=m3∨m4∨m5∨m6∨m7=?
（3,4,5,6,7）.
7.（9分）设一阶逻辑公式：
G=（?
xP（x）∨?
yQ（y））→?
xR（x），把G化成前束范式.G=（?
xP（x）∨?
yQ（y））→?
xR（x）=?
（?
xP（x）∨?
yQ（y））∨?
xR（x）=（?
?
xP（x）∧?
?
yQ（y））∨?
xR（x）=（?
x?
P（x）∧?
y?
Q（y））∨?
zR（z）=?
x?
y?
z（（?
P（x）∧?
Q（y））∨R（z））
9.设R是集合A={a,b,c,d}.R是A上的二元关系,R={（a,b）,（b,a）,（b,c）,（c,d）},
（1）求出r（R）,s（R）,t（R）；
（2）画出r（R）,s（R）,t（R）的关系图.
（1）r（R）＝R∪IA＝{（a,b）,（b,a）,（b,c）,（c,d）,（a,a）,（b,b）,（c,c）,（d,d）},
s（R）＝R∪R－1＝{（a,b）,（b,a）,（b,c）,（c,b）（c,d）,（d,c）},
t（R）＝R∪R2∪R3∪R4＝{（a,a）,（a,b）,（a,c）,（a,d）,（b,a）,（b,b）,（b,c）,（b,d）,（c,d）}；
（2）关系图:
11.通过求主析取范式判断下列命题公式是否等价：
（1）G=（P∧Q）∨（?
P∧Q∧R）
（2）H=（P∨（Q∧R））∧（Q∨（?
P∧R））G＝（P∧Q）∨（?
P∧Q∧R）
＝（P∧Q∧?
R）∨（P∧Q∧R）∨（?
P∧Q∧R）＝m6∨m7∨m3
bacdr（R）bacds（R）bacdt（R）
实用文档
标准文案＝?
（3,6,7）
H=（P∨（Q∧R））∧（Q∨（?
P∧R））＝（P∧Q）∨（Q∧R））∨（?
P∧Q∧R）
＝（P∧Q∧?
R）∨（P∧Q∧R）∨（?
P∧Q∧R）∨（P∧Q∧R）∨（?
P∧Q∧R）＝（P∧Q∧?
R）∨（?
P∧Q∧R）∨（P∧Q∧R）＝m6∨m3∨m7＝?
（3,6,7）
G,H的主析取范式相同，所以G=H.
13.设R和S是集合A＝{a,b,c,d}上的关系，其中R＝{（a,a）,（a,c）,（b,c）,（c,d）},
S＝{（a,b）,（b,c）,（b,d）,（d,d）}.
（1）试写出R和S的关系矩阵；
（2）计算R?
S,R∪S,R－1,S－1?
R－1.
（1）?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
0000100001000101RM
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
1000000011000010SM
（2）R?
S＝{（a,b）,（c,d）},
R∪S＝{（a,a）,（a,b）,（a,c）,（b,c）,（b,d）,（c,d）,（d,d）},
R－1＝{（a,a）,（c,a）,（c,b）,（d,c）},
S－1?
R－1＝{（b,a）,（d,c）}.
四、证明题
1.利用形式演绎法证明：
{P→Q,R→S,P∨R}蕴涵Q∨S。
证明：
{P→Q,R→S,P∨R}蕴涵Q∨S
（1）P∨RP
（2）?
R→PQ
（1）（3）P→QP（4）?
R→QQ
（2）（3）（5）?
Q→RQ（4）（6）R→SP
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标准文案（7）?
Q→SQ（5）（6）（8）Q∨SQ（7）
2.设A,B为任意集合，证明：
（A-B）-C=A-（B∪C）.证明：
（A-B）-C=（A∩~B）∩~C
=A∩（~B∩~C）=A∩~（B∪C）=A-（B∪C）
3.（本题10分）利用形式演绎法证明：
{?
A∨B,?
C→?
B,C→D}蕴涵A→D。
证明：
{?
A∨B,?
C→?
B,C→D}蕴涵A→D
（1）A
D（附加）
（2）?
A∨BP（3）B
Q
（1）
（2）（4）?
C→?
BP（5）B→CQ（4）（6）C
Q（3）（5）（7）C→DP（8）D
Q（6）（7）（9）A→D
D
（1）（8）
所以{?
A∨B,?
C→?
B,C→D}蕴涵A→D.
4.（本题10分）A,B为两个任意集合，求证：
A－（A∩B）=（A∪B）－B.4.证明：
A－（A∩B）
=A∩~（A∩B）＝A∩（~A∪~B）＝（A∩~A）∪（A∩~B）＝?
∪（A∩~B）＝（A∩~B）
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标准文案＝A－B而（A∪B）－B
=（A∪B）∩~B=（A∩~B）∪（B∩~B）=（A∩~B）∪?
=A－B
所以：
A－（A∩B）=（A∪B）－B.
参考答案
一、填空题
1.{3};2,3}}.
2.22n.
7.?
1={（a,1）,（b,1）},?
2={（a,2）,（b,2）},?
3={（a,1）,（b,2）},?
4={（a,2）,（b,1）};?
3,?
4.
8.（P∧?
Q∧R）.
9.12,3.
10.{4},{1,2,3,4},{1,2}.
11.自反性；对称性；传递性.
12.（1,0,0）,（1,0,1）,（1,1,0）.
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标准文案13.{（1,3）,（2,2）,（3,1）};{（2,4）,（3,3）,（4,2）};{（2,2）,（3,3）}.
14.2m?
n.
15.{x|-1≤x<0,x?
R};{x|1R};{x|0≤x≤1,x?
R}.16.12;6.
17.{（2,2）,（2,4）,（2,6）,（3,3）,（3,6）,（4,4）,（5,5）,（6,6）}.
18.?
x（?
P（x）∨Q（x））.
19.21.
20.（R（a）∧R（b））→（S（a）∨S（b））.
21.{（1,3）,（2,2）};{（1,1）,（1,2）,（1,3）}.
二、选择题
1.C.2.D.3.B.4.B.5.D.6.C.7.C.
8.A.9.D.10.B.11.B.13.A.14.A.15.D三、计算证明题
1.
（1）
（2）B无上界，也无最小上界。
下界1,3;最大下界是3.（3）A无最大元，最小元是1，极大元8,12,90+;极小元是1.2.R={（1,1）,（2,1）,（2,2）,（3,1）,（3,2）,（3,3）,（4,1）,（4,2）,（4,3）,（4,4）}.
（1）
（2）1000110011101111RM?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
3.
（1）?
?
?
＝?
（?
（x））＝?
（x）+3＝2x+3＝2x+3.
（2）?
?
?
＝?
（?
（x））＝?
（x）+3＝（x+3）+3＝x+6,
124836129
1
234
实用文档
标准文案（3）?
?
?
＝?
（?
（x））＝?
（x）+3＝x/4+3,
（4）?
?
?
＝?
（?
（x））＝?
（x）/4＝2x/4=x/2,
（5）?
?
?
?
?
＝?
?
（?
?
?
）＝?
?
?
+3＝2x/4+3＝x/2+3.4.
（1）P（a,f（a））∧P（b,f（b））=P（3,f（3））∧P（2,f
（2））=P（3,2）∧P（2,3）=1∧0=0.
（2）?
x?
yP（y,x）=?
x（P（2,x）∨P（3,x））
=（P（2,2）∨P（3,2））∧（P（2,3）∨P（3,3））=（0∨1）∧（0∨1）=1∧1=1.
5.
（1）
（2）无最大元，最小元1，极大元8,12;极小元是1.
（3）B无上界，无最小上界。
下界1,2;最大下界2.
6.G=?
（P→Q）∨（Q∧（?
P→R））=?
（?
P∨Q）∨（Q∧（P∨R））=（P∧?
Q）∨（Q∧（P∨R））=（P∧?
Q）∨（Q∧P）∨（Q∧R）
=（P∧?
Q∧R）∨（P∧?
Q∧?
R）∨（P∧Q∧R）∨（P∧Q∧?
R）∨（P∧Q∧R）∨（?
P∧Q∧R）=（P∧?
Q∧R）∨（P∧?
Q∧?
R）∨（P∧Q∧R）∨（P∧Q∧?
R）∨（?
P∧Q∧R）=m3∨m4∨m5∨m6∨m7=?
（3,4,5,6,7）.
7.G=（?
xP（x）∨?
yQ（y））→?
xR（x）=?
（?
xP（x）∨?
yQ（y））∨?
xR（x）=（?
?
xP（x）∧?
?
yQ（y））∨?
xR（x）=（?
x?
P（x）∧?
y?
Q（y））∨?
zR（z）
2416812
实用文档
标准文案=?
x?
y?
z（（?
P（x）∧?
Q（y））∨R（z））
9.
（1）r（R）＝R∪IA＝{（a,b）,（b,a）,（b,c）,（c,d）,（a,a）,（b,b）,（c,c）,（d,d）},
s（R）＝R∪R－1＝{（a,b）,（b,a）,（b,c）,（c,b）（c,d）,（d,c）},
t（R）＝R∪R2∪R3∪R4＝{（a,a）,（a,b）,（a,c）,（a,d）,（b,a）,（b,b）,（b,c）,（b,d）,（c,d）}；
（2）关系图:
11.G＝（P∧Q）∨（?
P∧Q∧R）
＝（P∧Q∧?
R）∨（P∧Q∧R）∨（?
P∧Q∧R）＝m6∨m7∨m3
＝?
（3,6,7）
H=（P∨（Q∧R））∧（Q∨（?
P∧R））＝（P∧Q）∨（Q∧R））∨（?
P∧Q∧R）
＝（P∧Q∧?
R）∨（P∧Q∧R）∨（?
P∧Q∧R）∨（P∧Q∧R）∨（?
P∧Q∧R）＝（P∧Q∧?
R）∨（?
P∧Q∧R）∨（P∧Q∧R）＝m6∨m3∨m7＝?
（3,6,7）
G,H的主析取范式相同，所以G=H.
13.
（1）?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
0000100001000101RM
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
1000000011000010SM
（2）R?
S＝{（a,b）,（c,d）},
R∪S＝{（a,a）,（a,b）,（a,c）,（b,c）,（b,d）,（c,d）,（d,d）},
R－1＝{（a,a）,（c,a）,（c,b）,（d,c）},
S－1?
R－1＝{（b,a）,（d,c）}.
四证明题
bacdr（R）bacds（R）bacdt（R）
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标准文案1.证明：
{P→Q,R→S,P∨R}蕴涵Q∨S
（1）P∨RP
（2）?
R→PQ
（1）（3）P→QP（4）?
R→QQ
（2）（3）（5）?
Q→RQ（4）（6）R→SP（7）?
Q→SQ（5）（6）（8）Q∨S
Q（7）
2.证明：
（A-B）-C=（A∩~B）∩~C
=A∩（~B∩~C）=A∩~（B∪C）=A-（B∪C）
3.证明：
{?
A∨B,?
C→?
B,C→D}蕴涵A→D
（1）A
D（附加）
（2）?
A∨BP（3）B
Q
（1）
（2）（4）?
C→?
BP（5）B→CQ（4）（6）C
Q（3）（5）（7）C→DP（8）D
Q（6）（7）（9）A→D
D
（1）（8）
所以{?
A∨B,?
C→?
B,C→D}蕴涵A→D.5.证明：
A－（A∩B）
=A∩~（A∩B）＝A∩（~A∪~B）＝（A∩
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