概率论与数理统计期末考试试题与解答.docx
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概率论与数理统计期末考试试题与解答
.
《概率论与数理统计》期末试题
一、填空题(每小题3分,共15分)
1.设事件A,B仅发生一个的概率为0.3,且P(A)P(B)0.5,则A,B至少有一个不发
生的概率为__________.
答案:
0.9
解:
P(ABAB)0.3
即
0.3P(AB)P(AB)P(A)P(AB)P(B)P(AB)0.52P(AB)
所以
P(AB)0.1
P(AB)P(AB)1P(AB)0.9.
2.设随机变量X服从泊松分布,且P(X1)4P(X2),则P(X3)______.
答案:
1
6
e
1
解答:
2
P(X1)P(X0)P(X1)ee,P(X2)e
22
由P(X1)4P(X2)知ee2e
2
即210
解得1,故
1
P(X3)e
6
1
3.设随机变量X在区间(0,2)上服从均匀分布,则随机变量
2
YX在区间(0,4)内的概率
密度为fY(y)_________.
答案:
1
f(y)F(y)f(y)
YYX
2y
4
1
0y4,
y
0,.
其它
解答:
设Y的分布函数为FY(y),X的分布函数为FX(x),密度为fX(x)则
2
F(y)P(Yy)P(Xy)P(yXy)F(y)F(y)
YXX
因为X~U(0,2),所以F(y)0,即FY(y)FX(y)
X
教育资料
.
故
1
f(y)F(y)f(y)
YYX
2y
4
1
0y4,
y
0,其它.
另解在(0,2)上函数
2
yx严格单调,反函数为h(y)y
所以
f(y)f(y)
YX
2
1
y
4
1
0y4,
y
0,其它.
4.设随机变量X,Y相互独立,且均服从参数为的指数分布,
2
P(X1)e,则
_________,P{min(X,Y)1}=_________.
答案:
2,
-4
P{min(X,Y)1}1e
解答:
2
P(X1)1P(X1)ee,故2
P{min(X,Y)1}1P{min(X,Y)1}
1P(X1)P(Y1)
4
1e.
5.设总体X的概率密度为
(1)x,0x1,
f(x)1.
0,
其它
X1,X2,,X是来自X的样本,则未知参数的极大似然估计量为_________.
n
答案:
$
1
n
i
n
1
ln
1
x
i
1
解答:
似然函数为
n
n
L(x,L,x;)
(1)x
(1)(x,L,x)
1ni1n
i1
n
lnLnln
(1)lnx
ii1
n
dlnLn
d1
i1
lnx@0
i
解似然方程得的极大似然估计为
教育资料
.
$
1
n
i
n
1
ln
1
x
i
1.
二、单项选择题(每小题3分,共15分)
1.设A,B,C为三个事件,且A,B相互独立,则以下结论中不正确的是
(A)若P(C)1,则AC与BC也独立.
(B)若P(C)1,则AUC与B也独立.
(C)若P(C)0,则AUC与B也独立.
(D)若CB,则A与C也独立.()
答案:
(D).
解答:
因为概率为1的事件和概率为0的事件与任何事件独立,所以(A),(B),(C)
都是正确的,只能选(D).
事实上由图可见A与C不独立.
S
AB
C
2.设随机变量X~N(0,1),X的分布函数为(x),则P(|X|2)的值为
(A)2[1
(2)].(B)2
(2)1.
(C)2
(2).(D)12
(2).()
答案:
(A)
解答:
X~N(0,1)所以P(|X|2)1P(|X|2)1P(2X2)
1
(2)
(2)1[2
(2)1]2[1
(2)]应选(A).
3.设随机变量X和Y不相关,则下列结论中正确的是
(A)X与Y独立.(B)D(XY)DXDY.
(C)D(XY)DXDY.(D)D(XY)DXDY.()
教育资料
.
答案:
(B)
解答:
由不相关的等价条件知,xy0cov(x,y)0
D(XY)DXDY+2cov(x,y)
应选(B).
4.设离散型随机变量X和Y的联合概率分布为
(X,Y)(1,1)(1,2)(1,3)(2,1)(2,2)(2,3)
P
1111
69183
若X,Y独立,则,的值为
(A)
21
99
.(A)
12
99
.
(C)
11
66
(D)
51
1818
.()
答案:
(A)
解答:
若X,Y独立则有
P(X2,Y2)P(X2)P(Y2)Y
123
X
1
2
1111
69183
11
33
111
2918
1121
()()()
3939
21
,
99
故应选(A).
5.设总体X的数学期望为,X1,X2,L,Xn为来自X的样本,则下列结论中
正确的是
(A)X1是的无偏估计量.(B)X1是的极大似然估计量.
(C)X1是的相合(一致)估计量.(D)X1不是的估计量.()
答案:
(A)
解答:
EX,所以X1是的无偏估计,应选(A).
1
三、(7分)已知一批产品中90%是合格品,检查时,一个合格品被误认为是次品的概率为
0.05,一个次品被误认为是合格品的概率为0.02,
教育资料
.
求
(1)一个产品经检查后被认为是合格品的概率;
(2)一个经检查后被认为是合格品的产品确是合格品的概率.
解:
设A‘任取一产品,经检验认为是合格品’
B‘任取一产品确是合格品’
则
(1)P(A)P(B)P(A|B)P(B)P(A|B)
0.90.950.10.020.857.
(2)
P(AB)0.90.95
P(B|A)0.9977
P(A)0.857
.
四、(12分)
从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗,假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立
的,并且概率都是2/5.设X为途中遇到红灯的次数,
求X的分布列、分布函数、数学期望和方差.
解:
X的概率分布为
23
kk3k
P(Xk)C()()k0,1,2,3.
3
55
X0123
即
P
2754368
125125125125
X的分布函数为
0,x0,
27
125
0x1,
81
F(x),1x2,
125
117
125
2x3,
1,x3.
EX
26
3,
55
2318
DX3.
5525
五、(10分)设二维随机变量(X,Y)在区域D{(x,y)|x0,y0,xy1}上服从
均匀分布.求
(1)(X,Y)关于X的边缘概率密度;
(2)ZXY的分布函数与概率
密度.
教育资料
.
解:
(1)(X,Y)的概率密度为
y
1
x+y=1
f(x,y)
2,(x,y)D
0,.
其它
D
D1
x
0z1
x+y=z
f(x)f(x,y)dy
X
22x,0x1
0,
其它
(2)利用公式fZ(z)f(x,zx)dx
其中
f(x,zx)
2,0x1,0zx1x
0,
其它
2,0x1,xz1.
0,
其它.
当z0或z1时fZ(z)0
z
z=x
0z1时
zz
f(z)2dx2x2z
Z
0
0
故Z的概率密度为
x
f(z)
Z
2z,0z1,
0,
其它.
Z的分布函数为
0,z00,z0,
zz
2
f(z)f(y)dy2ydy,0z1z,0z1,
ZZ
0
1,z1.
1,z1
或利用分布函数法
0,z0,
F(z)P(Zz)P(XYz)2dxdy,0z1,
Z
D
1
1,z1.
0,z0,
2
z,0z1,
1,z1.
f(z)F(z)
ZZ
2z,0z1,
0,
其它.
六、(10分)向一目标射击,目标中心为坐标原点,已知命中点的横坐标X和纵坐标Y相
222
互独立,且均服从
N(0,2)分布.求
(1)命中环形区域D{(x,y)|1xy2}的
教育资料
.
概率;
(2)命中点到目标中心距离
22
ZXY的数学期望.
解:
(1)P{X,Y)D}f(x,y)dxdy
y
D
012
x
D
222
xyr
11
22
88
edxdyerdrd
248
01
2
1
222
rr2r11
ed()eee;
8882
8
1
(2)
22
xy
222218
EZE(XY)xyedxdy
8
22
rr
11
2882
rerdrderdr84
000
222
rrr
21
888
reedredr2.
0
0
22
七、(11分)设某机器生产的零件长度(单位:
cm)
2
X~N(,),今抽取容量为16的样
本,测得样本均值x10,样本方差
20.16
s.
(1)求的置信度为0.95的置信区
间;
(2)检验假设
2
H0:
0.1(显著性水平为0.05).
(附注)t0.05(16)1.746,t0.05(15)1.753,t0.025(15)2.132,
222
0.05(16)26.296,0.05(15)24.996,0.025(15)27.488.
解:
(1)的置信度为1下的置信区间为
ss
(Xt(n1),Xt(n1))
/2/2
nn
X10,s0.4,n16,0.05,t(15)2.132
0.025
所以的置信度为0.95的置信区间为(9.7868,10.2132)
(2)
2
H0:
0.1的拒绝域为
22(n1).
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.
因为
2
215S
2
151.6240.05(15)24.996
,
0.1
22
2424.996(15),所以接受H.
0.050
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