商人过河的数学模型及编程解决.docx

1、商人过河的数学模型及编程解决14对商仆过河问题题目有14名商人各带一名仆人要过河，但船最多能载4人。商人已获得仆人的阴谋：在河的任意一岸，只要仆人数超过商人数，仆人会将商人杀死并窃取货物。安排如何乘船的权利权利在商人手上，试为商人制定一个安全的过河方案。一摘要n对商仆过河，一只船最多载m人，船上和岸上的仆人数都不能多于商人数，否则商人有危险。安排合理的渡河方案，保证商人能安全渡河。（可利用向量，矩阵，图解等方法）。二问题提出：有14对商仆乘船过河，一只船最多载4人，由商人和仆人自己划船渡河，在河的任意一岸，一旦仆人数多于商人数，仆人就可将商人杀死，谋取利益，但是乘船渡河的主动权掌握在商人们手中

2、，商人们如何安排渡河方案，才能安全渡河？三问题分析商仆安全渡河问题可以视为一个多步决策过程，多步决策是指决策过程难以一次完成，而是多步优化，最后获取一个全局最优方案的决策方法。对于每一步，即船由此岸驶向彼岸，或者船由彼岸驶向此岸的决策，不仅会影响到该过程的效果，而且还会影响到下一步的初始状态，从而对整个过程都会有影响。所以，在每一次过河时，就不能只从这一次过河本身考虑，还要把它看成是整个过河过程中的一个部分。在对船上的人员做决策时，要保证两岸的商人数不能少于仆人数，用最少的步伐是人员全部过河。应用状态向量和运载向量，找出状态随运载变化的规律，此问题就转化为状态在允许范围内（即安全渡河条件），确

3、定每一次该如何过河，从而达到渡河的目标。现在我们都把它们数量化：即用数学语言来表示。四模型假设与符号假设（一）模型假设商人和仆人都会划船，天气很好，无大风大浪，船的质量很好，船桨足够很多次的运载商人和仆人。（二）符号假设设（x，y）是状态向量，表示任一岸的商人和仆人数，且x，y分别要大于等于0，小于等于M。1.设（m，n）是运载向量，表示运载的商人数和仆人数，0=m=N，0=n=N，0=m+n =3， DoIfsi+1= =sm，u=1，Break ，m，l，i -1，2 ； Ifu= =0，ci+1=dj；Break ，j，1，5； Ift= =0，PrintNo，Result；Break

4、； bi+1=3，3-si+1； Printsi，- - - -，ci+1，- - - -，bi+1； Ifsi+1= =0，0，Break ，i，1，12 程序运行结果如下： 此岸船上对岸 3，30，20，2 3，10，10，1 3，20，20，3 3，00，10，2 3，12，02，2 1，11，11，1 2，22，03，1 0，20，13，0 0，30，23，2 0，10，13，1 0，20，23，3 可以得出经过11步的渡河就能达到安全渡河的目标及满足渡河的次数尽量少的条件。这11步的渡河方案就是上面程序运行结果中船上下面的一列。渡河的整个过程如下所示： 去2随从 回1随从（3商人3随

5、从）（3商人1随从） 去2随从 回1随从（3商人2随从）（3商人0随从） 去2商人 回1商人1随从（3商人1随从）（1商人1随从） 去2商人 回1随从（2商人2随从）（0商人2随从） 去2随从 回1随从（0商人3随从）（0商人1随从） 去2随从 （0商人2随从）（渡河成功）七、结果分析与检验八、模型的优缺点与改进方向九、参考文献【1】 茆诗松等 , 概率论与数理统计教程，北京：高等教育出版社,2004年。【2】 赵静，但琦，数学建模与数学实验3，北京：高等教育出版社，2008年。十、附录（一）程序/约束条件:岸上仆人不能多于商人数#include using namespace std;str

6、uct Node int nMer; int nSer; int length;class Apublic: A(); A(); void Tspt(); /过河的动作 void doLeft(int nhead,int ntail,int nlength); private: bool islegal(int nm,int ns); /判断是否满足约束条件，满足为true Node *funTspt(int nm,int ns,bool flag);/添加STEPhead可以向后延伸的节点 bool noRepeat(int nm,int ns);/没有重复返回TRUE void funsh

7、ow(int a2,int ntail); bool funLeft(Node nd,int b1,int b2,int n); void show(int s,int p2,int &top,int &count,int a); int head; int tail; int n; /商仆的对数 int nB; /船最多的载人数目 Node *STEP;A:A() free(STEP);A:A() coutn; coutnB; STEP = (Node *)malloc(sizeof(Node)*10000); memset(STEP,0,sizeof(Node)*10000); head

8、= tail = 0; STEP0.nMer = STEP0.nSer = n;int main() A a; a.Tspt(); return 0;void A:show(int s,int p2,int &top,int &count,int a) if(top = -1) return ; /已找到目标状态需，输出数据 if(top = STEPhead.length) cout* +count *endl; funshow(p,top + 1); B: top-; if(top = -1) return ;C: stop-; if(STEP(stop).length != top)/退

9、过了 stop = atop; goto B; if(funLeft(STEP(stop),ptop - 10,ptop - 11,top - 1) = false) goto C; ptop0 = STEP(stop).nMer; ptop1 = STEP(stop).nSer; show(s,p,top,count,a); return ; /在中间加入节点STEP(stop + 1) if(funLeft(STEP(stop + 1),ptop0,ptop1,top) = true)/符合条件 top+; ptop0 = STEP(stop).nMer; ptop1 = STEP(sto

10、p).nSer; show(s,p,top,count,a); return ; else /不符合条件 E: stop + 1-; if(STEP(stop + 1).length = top)/退过了，到了下一层 stop + 1 = atop + 1;D: stop-; if(STEP(stop).length != top)/退过了，到了下一层 for(int i = top; i = STEPhead.length; i+) si = ai; top-; if(top = -1) return ; goto D; if(top = 0) return ; if(funLeft(STE

11、P(stop),ptop - 10,ptop - 11,top - 1) = false) goto D; ptop0 = STEP(stop).nMer; ptop1 = STEP(stop).nSer; show(s,p,top,count,a); return ; if(funLeft(STEP(stop + 1),ptop0,ptop1,top) = false) goto E; top+; ptop0 = STEP(stop).nMer; ptop1 = STEP(stop).nSer; show(s,p,top,count,a); void A:doLeft(int nhead,i

12、nt ntail,int nlength) int a1000; int a11000; int sp10002; bool flag = false; memset(a,0xff,4000); memset(a1,0xff,4000); memset(sp,0xff,8000); if(STEPhead.length%2 = 0) flag = true; while(STEPhead.length = nlength - 1) funTspt(STEPhead.nMer,STEPhead.nSer,flag); head+; for(int i = 0; i head + 1; i+) a

13、(STEPi.length) = i; a1(STEPi.length) = i; sp00 = sp01 = n; STEPhead.nMer = STEPhead.nSer = 0; int top = 0; int count = 0; show(a1,sp,top,count,a); bool A:funLeft(Node nd,int b1,int b2,int n) bool flag = abs(nd.nMer - b1) + abs(nd.nSer - b2) 0; if(flag = false) return false; if(n%2 = 0 & b1 = nd.nMer

14、 & b2 = nd.nSer) return true; if(n%2 = 1 & b1 = nd.nMer & b2 = nd.nSer) return true; return false;void A:Tspt() Node *temp = new Node; temp = NULL; bool flag = false; while(head tail) cout此问题无解!nMer,temp-nSer,temp-length);/temp-nMer表示head delete temp;Node* A:funTspt(int nm,int ns,bool flag)/flag = t

15、rue 向对岸运输 Node *nd = NULL; int temp = 1; int tM = STEPhead.nMer; /可供运输的商人数 int tS = STEPhead.nSer; /可供运输的仆人数 if(flag = false) /向此岸运输 tM = n - STEPhead.nMer; tS = n - STEPhead.nSer; temp = -1; for(int i = 0; i tM + 1 & i nB + 1; i+)/i表示运输的商人数 for(int j = 0; j tS + 1 & j length = STEPhead.length + 1;

16、nd-nMer = head; nd-nSer = tail; return nd; tail+; STEPtail.length = STEPhead.length + 1; STEPtail.nMer = p; STEPtail.nSer = q; return nd;bool A:noRepeat(int nm,int ns) int j1 = 0; if(STEPhead.length%2 = 0) j1 = 1; for(int i = j1; i tail + 1; i+) if(STEPi.length%2 = j1 & nm = STEPi.nMer & ns = STEPi.

17、nSer) return false; return true;bool A:islegal(int nm,int ns) /商人数少于仆人数或者商人数为0 if(nm = 0) | (nm = n) | (nm = ns) return true; return false;void A:funshow(int a2,int ntail) coutendl; cout 商人数 仆人数endl; for(int i = 0; i ntail; i+) cout第i次 ai0 ai1endl; if(i != ntail - 1 & i%2 = 0) cout (abs(ai + 10 - ai0), abs(ai + 11 - ai1)endl; else if(i != ntail - 1 & i%2 = 1) cout - (abs(ai + 10 - ai0), abs(ai + 11 - ai1)endl; coutendl;