二重积分对称性定理的证明及应用.docx

1、二重积分对称性定理的证明及应用摘要 关键词 1Abstract 1Keywords 1刖B 11.预备知识 12.二重积分对称性定理在不同条件下的证明及其应用 22.1积分区域D关于坐标轴对称 22.2积分区域D关于坐标区域内任意直线对称 52.3积分区域D关于坐标原点对称 92.4积分区域D关于坐标区域内任意一点对称 112.5积分区域D同时关于坐标轴和坐标原点对称 12结束语 12参考文献 13二重积分对称性定理的证明及应用摘 要：本文归纳利用对称性来计算二重积分的方法，给出了二重积分对称性定理 的证明并举出了相应例题.关键词：对称性;积分区城；被积函数The Application of

2、 Symmetry in Double Integral CalculatingAbstract； It is introduced m the thesis some ways of how to calculate double mtegial with the application of sviimietiy It is also put fonvaid in it how to sunplify the calculating methods with synunetiyKeywords： Syiiunetiv; Integral region; Integrated fiincti

3、on前言利用对称性计算二重积分，不但可以使计算简化，有时还可以避免错误.在一般情 况下，必须是积分区域D具有对称性，而且被积函数对于区域D也具有对称性，才能利 用对称性来计算.在特殊情况下，虽然积分区域D没有对称性，或者关于对称区域D被 积函数没有对称性，但经过技巧性的处理，化为能用对称性来简化计算的积分.这些都 是很值得我们探讨的问题.1预备知识对于二重积分的计算，我们总是将其化为二次定积分来完成的，而在D定积分的计算中，若遇到对称区间，则有下而非常简洁的结论：当/（X）在区间上为连续的奇函数时，/3厶=0当于在区间上为连续的偶函数时，/住）厶=2/（工皿.J-a JO这个结论，常可简化计算

4、奇、偶函数在对称于原点的区间上的定积分.在计算二重积分时，若积分区域具有某种对称性，是否也有相应的结论呢？回答是 肯定的.下而，我们将此结论类似地推广到二重积分.2二重积分对称性定理在不同条件下的证明及其应用定理1若二重积分JJ fx,y)dxdy满足D(1)区域D可分为对称的两部分D和对称点Pw PfeD2； 被积函数在对称点的值/(P)与f(pf)相同或互为相反数:0 , f(P，) = -f(P)2jfy)dxdy , = f(P)其中P的坐标根据D的对称性的类型而确定.2.1积分区域D关于坐标轴对称 2.1.1积分域D关于x轴对称z /(X,刃为D上的连续函数定理2如果积分域D关于X轴

5、对称，/(圮刃为y的奇偶函数，则二重积分I 0 ，f(-y) = -f(x,y)JJ7(x，y)dM= 2f(x,y)dxdy , f(x,-y) = f(x,y) f D I Q其中卩为D在x轴的上半平面部分.图1证明(1)y)dxdy =fy)dxdy + JJ7(x, y)dxdyd q d2若区域D对称于X轴(图1),对任意P(x. y) g D,其对称点Px-刃已0D、= fy (px).axb , D2 = -(p(x) y x /?,令(x = xy=-tf则Q变换为坐标而上的q = OG久x), cixb,且雅可比行列式坐)=1 =_1d(x,t) 0 -I-故y)dxdy =

6、 jj f(x-t) -ldxdt = jj fx-y)dxdyD2 D DJJ7(x,刃dxdy , f(x,-y) = f(x,y)= ： x2 + y2 0D解 /(x,y) = yln(l + F + y)是关于y的奇函数且D关于x轴对称,所以例 2 计算 JJsin(x2 + y2)dxdy ,其中区域) ： x2 + y2 0 D解 因为fy) = sm(x2 + y2)是关于y的偶函数，且Q关于x轴对称,所以x0.v0jj sin(x2 + y2)dxdy = 2 Dsin(x2 + y2)dxdy=2 JJ sin(x2 + y2)dxdy 八爪灯：rsmr2 .r+y:0y0

7、2.1.2积分域D关于y轴对称，/（兀y）为D上的连续函数定理3如果积分域D关于y轴对称，f（x,y）为x的奇偶函数，则二重积分0 ， f(-x,y) = -f(x,y)JJ/(x,ym= 2jj/(x,y)dxdy , f(-x,y) = f(x,y)其中卩为D在y轴的右半平而部分.证明若区域D对称于y轴（图2）,对任意Py）eD对称点P-x,y）eD类 似定理2的证明可得f o ，fz刃=一于(兀刃f(x,y)dxdy=l 2 f(x,y)dxdy , /(-x, y) =/(x, y) * D I q例 3 计算 (x+X5y2)dxdy ,其中 D : %2 + y2 0f(x,y)

8、= x + xy2,/(一也 y) = - v-x3r = -(x + x3y2) = 一/(兀 y)，且区域D关于），轴对称，所以=0.D例 4 计算x2ydxdy ,其中区域)： -lxLOy 0,即倾斜角&为锐角.首先，平移坐标轴，得坐标系#。了：如（图3）(2)其次，将坐标系/沿逆时针方向旋转，旋转角为0(tan& = a),使#轴与直线y = ax + b 重合.得新坐标系uov :/ = (it 一 v tan 0) cos & = 、 (3)由(2) , (3)得x= E丄Jl + 亍 Qan + vV = ?T77l ( b a(y-ax-b)u = Jl + a(x+-)+

9、a yj + cry-ax-bv= ”J1+，xoy坐标而内对称于直线y = ar + b的区域D ,在新坐标系uofv内对应的区域D关于u轴对称.xoy 内任意点P(x, y) e ,在uov ffi内对应点D/ -r r b、 a(y-ax-b) y-ax-bu = 71 + cr (x+ ) + ( ， v =, ，,a + y/l + a2点P、(u,v)关于轴对称点P (w,-v) g D； , P； (w,-v)在xoy而内对应点为一 0(7)b + (-V) n P( /_一 /r)已5 yjl + a a J1 + /将“川代入，化简得：PQ+ 2心b) + b+ 3 -l)(

10、y 5-b)w 0 .1 + cr 1 + cr因此，xoy ffil内点P(x,y) e 关于直线y = ax + b的对称点为P(“ 2心-心b) + b+ (宀DO纠丘 d、,l + d 1+tr 雅可比行列式为于是由定理2知,f (x+ 2g-b) + b+ (宀 1)()纠=_饷刃 1+tr 1+cr2JJg：y)dxdy ， f(x+ 加(*_ ,ax + b+ S J)q例5计算二重积分jj(x-l)34-刃dcr ,D其中D是抛物线y = (x-l)2, y = 4(x-l)2及直线y = l所围成的区域解 由于积分区域D关于直线x = l对称，被积函数中(x-1)3在区域D上

11、关于(兀-1)为奇函数，y在区域D上关于(x-1)为偶函数，见(图4),由定理4, 得：JJ (X -1)3 + ydb = 0 + 2 jj yd(y = yd) j： |.D Q 2 当积分域D关于直线y = x轴对称时，有下面推论：推论1【打 如果积分域D关于直线)，= x轴对称，则二重积分|7(x，y)dxdy = jj f(y,x)dxdy .D D例6设f(x)为恒正的连续函数，计算积分解由于积分区域+ 关于y = x对称，所以由推论2,可得:妙+敏九皿=ff妙()+敏5砂,于是2 ff呼今叫血 /w+/(y)=rr妙+叫如 ff妙()+做d) r+/r3 /+ /(y) f(y)

12、+ fw=jj (d + b)dxdy =兀(a + b)r2 x:+y2r:故ff妙+敏刃如，=% + b)宀/w+a刃 2当积分区域关于y = x对称时，被积分函数的两个变量可以互换位置的特殊性质可以 使二重积分计算化简.类似的，若积分区域关于直线y = -x对称且满足f(-x-y) = -f(x,y),则J“(Ddxdy = O,D或满足 f(-x,-y) = f(x,y),则有|7d)dxdy = 2f(x,y)dxdy.d q(其中。为Q的一半)2.3积分区域D关于坐标原点对称定理5如果积分域D关于原点对称，/(X,)同时为八y的奇偶函数，则二重积f(-x-y) = -f(x9 y)

13、分0 fy)dxdy = 2j“(x, y)dxdyD I D、其中2为D的上半平面部分.证明 若区域D对称于原点(图5),对任意P(x. y) e DA,对称点Pf (-x-y) e D2,D = y/(x) y(p(x), axb, D2 = -(p(-x) y -y/(-x),-b x-a,令y = -v则区域D2变换为ov坐标平面内区域D = y/(x) y久r), axb,雅可比行列式0(x,y) = 一1 0 =,0(川)0 -1 所以Jj7d)dxdy = Jj f-u-v)dudv = Jj f-x-y)dxdy6 q 2-J“(x，y)dxdy , f(-x,-y) = -f

14、(x, y) qj/(x,y)dxdy , f(-x-y) = f(x,刃代入d2，若/*(-“,-刃=-/a,y)，若y(x,-刃=/(兀刃Jj7(兀y)dxdy =fx,y)dxdy + Jj7(兀y)dxdy ,0Jp(Ddxd)= 2j“(x,y)dxdy d I q例7计算/ = jj (小+ x2 y)dxdyJU I1 D是由y = x y = l，y = -l以及x = 0所圉成的闭区域y /i /D、/ y=i%0 xz-1图6解 如(图6), D = U + 2, 2、2关于原点对称，但被积函数不满足 /(x, y) = /(-x-y),t!l不满足f(x,y) = ，故不

15、能直接用定理来计算，但若记fSy)= xy ， f2(y) = x2y对71(/y)和厶(兀y)分别应用定理5,则ff Z d)dxdy = 2j xydxdyx2 y)dxdy = jj xydxdy + jjx2 ydxdy/ = JJg+D=xydxdy =.q 42.4积分区域D关于坐标区域内任意一点对称将积分区域关于原点对称的情况推广到积分区域D关于坐标区域内任意一点对 称，则有下而定理：定理6如果积分域D关于点上)对称，则二重积分f 0 , f(2ci - x, 2b - y) = -/(x, y)f(x,y)dxdy = J 2jj/(x,y)y , f(2a-x,2b-y) =

16、 fy) fD I q其中。为D以为对称点的右半平面部分.图7证明 若区域D对称于点上)(图7 )，平移坐标轴x = u + ay = v + /?，即(it = x-av= y_bxoy坐标面内区域D在uov坐标面内对应的区域Df关于其坐标原点o对称.9rxoy面内任意点y) e Dt,对应“ol面内点Px-a,y-b)e ,它关于o对称点为 Pci-x,b-y)e . uov jffl内点耳对应xoy面内点 P(2ci-x,2b-y)e D2.由此，xoy jff 内点P(x,)，)e $关于点(d,b)的对称点为P(2ax,2by).雅可比行列式为0(九刃_ 1a(w,v)- ofy)d

17、xdy = 4 jj /(x, y)dxdyd q其中叽为D位于第一象限部分.例8计算二重积分川与牡6其中区域D： |x| + |y| 1解 由于积分区域D关于坐标轴、原点全对称，由上述定理得ff 哄/ b = 4 jj xyda = 4 J； xydy =结束语本文给岀了二重积分对称性定理在不同条件下的证明以及应用，利用二重积分积分 域D的对称性及被积函数/(X,刃的奇偶性，一方面可减少计算量，另一方面可避免岀差 错，仅当积分域的对称性与被积函数/(X,刃的奇偶性两者兼得时才能用对称性定理.当对称区域位于平面上任意位置时，对称点的坐标往往比较复杂，导致定理中某些 条件难以检验.但如果/(1刃三1,那么无论对称区域位于何处，总有/(P) = /(P),定 理恒成立.这就是为什么在求面积、体积时，总可以用对称性化简的原因.参考文献1隋梅真.对称区域上二重积分可以简化的条件和方法J.山东：山东建筑工程学院学报，1995.2王玮，张素玲.对称区域上二重积分的计算J.河南：焦作大学学报，1999.3方耀.二垂积分对称性的应用J.河北：河北口学考试，2001.4张振强.对称性在二重积分计算中的应用J.广西：南亍师范高等专科学校学报，2002.5汪秀羌.二重积分的对称性问题J.安徽：工科数学，1996.