高考一轮数学复习 x21数学归纳法及其应用 理 同步练习名师解析.docx

1、高考一轮数学复习 x21数学归纳法及其应用 理 同步练习名师解析选修 第2章 第1节 知能训练提升考点一：用数学归纳法证明等式1用数学归纳法证明“12222n12n1(nN*)”的过程中，第二步假设nk时等式成立，则当nk1时应得到()A12222k22k12k11B12222k2k12k12k1C12222k12k112k11D12222k12k2k12k解析：当nk时，等式为12222k12k1.那么当nk1时，左边12222k12k，因此只需在归纳假设两端同时添加2k，即12222k12k2k12k.答案：D2设f(x)1(xN*)求证：nf(1)f(2)f(n1)nf(n)(nN*且n

2、2)证明：(1)n2时，左边2f(1)213，右边2f(2)2(1)3，等式成立(2)假设nk时等式成立，即kf(1)f(2)f(k1)kf(k)那么当nk1时，左边(k1)f(1)f(2)f(k1)f(k)kf(k)1f(k)(k1)f(k)1(k1)f(k)1(k1)f(k1)11(k1)f(k1)即nk1时，等式亦成立由(1)(2)知对于nN*，且n2等式成立考点二：用数学归纳法证明不等式3(2010云南模拟)用数学归纳法证明不等式(n1且nN)时，在证明nk1这一步时，需要证明的不等式是()A.B.C.D.解析：(n1且nN)的左边有n项，在证明nk1这一步时，需要证明的不等式是，故选

3、D.答案：D4当n1，且nN*时，求证：.证明：(1)当n2时，左边，不等式成立(2)假设nk(k2)时，不等式成立，即.当nk1时，()()().即nk1时，不等式成立由(1)、(2)可知，原不等式对任意n1且nN*都成立考点三：用数学归纳法证明整除问题5用数学归纳法证明命题“当n是正奇数时，xnyn能被xy整除”，在第二步时，正确的证法是()A假设nk(kN*)，证明nk1命题成立B假设nk(k是正奇数)，证明nk1命题成立C假设n2k1(kN*)，证明nk1命题成立D假设nk(k是正奇数)，证明nk2命题成立解析：A、B、C中，k1不一定表示奇数，只有D中k为奇数，k2为奇数答案：D6用

4、数学归纳法证明：(3n1)7n1(nN*)能被9整除证明：令f(n)(3n1)7n1，(1)f(1)(311)71127能被9整除；(2)假设f(k)(kN*)能被9整除，则f(k1)f(k)(3k4)7k11(3k1)7k19(2k3)7k能被9整除f(k1)能被9整除，由(1)、(2)知，对一切nN*，命题成立考点四：用数学归纳法解决探索性问题7观察下式：112；23432；3456752；4567891072，则得出的结论：_.解析：各等式的左边是第n个自然数到第3n2个连续自然数的和，右边是奇数的平方，故得出结论：n(n1)(n2)(3n2)(2n1)2.答案：n(n1)(n2)(3n

5、2)(2n1)28已知数列an满足条件(n1)an1(n1)(an1)，且a26，设bnann(nN*)，求bn的通项公式解：当n1时，由(n1)an1(n1)(an1)，得a11.当n2时，a26，代入(n1)an1(n1)(an1)，得a315，同理可得a428，再代入bnann，有b12，b28，b318，b432.由此猜想bn2n2(也可由an1，a2623，a31535，a42847，猜想ann(2n1)要证bn2n2，可证anbnn2n2n，当n1时，a121211，前面已求得a11，猜想正确假设nk时，ak2k2k(k1，kN*)，则当nk1时，由已知(n1)an1(n1)(an

6、1)，得(k1)ak1(k1)(ak1)，ak1(ak1)(2k2k1)(2k1)(k1)(k1)(2k1)2(k1)2(k1)nk1时，an2n2n成立综合可知，对一切nN*，an2n2n都成立，bn的通项公式为bn2n2.1.(2009湖南)将正ABC分割成n2(n2，nN*)个全等的小正三角形(图1，图2分别给出了n2,3的情形)，在每个三角形的顶点各放置一个数，使位于ABC的三边及平行于某边的任一直线上的数(当数的个数不少于3时)都分别依次成等差数列若顶点A、B、C处的三个数互不相同且和为1，记所有顶点上的数之和为f(n)，则有f(2)2，f(3)_，f(n)_.解析：n3时，如图，设

7、A、B、C三点对应的数分别为xA、xB、xC，三边上其他点对应的数分别为x1、x2、y1、y2、z1、z2，中间交叉点对应的数为，则f(3)xAxBxCx1x2y1y2z1z2.因为xAxBxC1，由题意共线上的数成等差数列，x1x2xAxC，y1y2xBxC，z1z2xAxB又(x1y1)(xAxB)(xAxBxC)，f(3)3(xAxBxC)(xAxBxC).解法一：当n4时，同上依次设三边上顶点以外对应的数依次为x1、x2、x3；y1、y2、y3；z1、z2、z3.中间三点对应的数为1、2、3，则：f(4)xAxBxCx1x2x3y1y2y3z1z2z3123.由题意得x1x2x3xAx

8、B(xAxB)同理y1y2y3(xBxC)，z1z2z3(xCxA)，同分析：1(xAz1x3)，2(x1y1xB)，3(xCz3y3)，123(xAxBxCx1x3y1y3z1z3)，而x1x3xAxB，y1y3yCyB，z1z3xAxC，代入得123xAxBxC，f(4)5(xAxBxC)5，由f(1)1，f(2)2，f(3)，f(4)5，即f(1)23，f(2)34，f(3)45，f(5)56，由此猜想an(n1)(n2)解法二：逐步调整，不妨假设xAxBxC，共(n1)(n2)个顶点，f(n)(n1)(n2)答案：；(n1)(n2)2(2009安徽)首项为正数的数列an满足an1(a3

9、)，nN.(1)证明：若a1为奇数，则对一切n2，an都是奇数；(2)若对一切nN都有an1an，求a1的取值范围解析：(1)已知a1是奇数，假设ak2m1是奇数，其中m为正整数，则由递推关系得ak1m(m1)1是奇数根据数学归纳法，对任何nN；an都是奇数(2)解法一：由an1an(an1)(an3)知，an1an当且仅当an1或an3另一方面，若0ak1，则0ak11；若ak3，则ak13.根据数学归纳法，0a110an1，nN，a13an3，nN.综合所述，对一切nN都有an1an的充要条件是0a11或a13.解法二：由a2a1，得a4a130，于是0a11或a13.an1an，因为a1

10、0，an1，所以所有的an均大于0，因此an1an与anan1同号根据数学归纳法，nN，an1an与a2a1同号因此，对一切nN都有an1an的充要条件是0a11或a13.3(2009陕西)已知数列xn满足x1，xn1，nN*.(1)猜想数列x2n的单调性，并证明你的结论；(2)证明：|xn1xn|()n1.解析：(1)由x1及xn1得x2，x4，x6.由x2x4x6猜想：数列x2n是递减数列下面用数学归纳法证明：(1)当n1时，已证命题成立(2)假设当nk时命题成立，即x2kx2k2，易知xn0，那么x2k2x2k40，即x2(n1)x2(n1)2.也就是说，当nk1时命题也成立结合(1)和

11、(2)知，命题成立(2)证明：当n1时|xn1xn|x2x1|，结论成立；当n2时，易知0xn11，1xn12，xn，(1xn)(1xn1)(1)(1xn1)2xn1，|xn1xn|xnxn1|()2|xn1xn2|()n1|x2x1|()n1.1.已知函数f(x)x2x2，数列an满足递推关系式：an1f(an)(nN*)，且a11.(1)求a2、a3、a4的值；(2)用数学归纳法证明当n5时，an2；(3)证明当n5时，有 n1.解：由a11及an1aan2计算，得a2，a3，a4.(2)证明：a5()222(1)22，即当n5时，结论成立假设结论对nk(k5)成立，即ak2.an1(an

12、1)2，函数f(x)(x1)2在(1，)上递增，ak1(21)222，即当nk1时结论也成立由知，不等式an2对一切n5都成立(3)证明：当n5时，an2，n.又由an1aan2，得，且a11. ()1n1.2已知数列an满足：a11，an1an(nN*)(1)求数列an的通项公式；(2)证明：an1；(3)设Tnan，且knln(1Tn)T，证明：.解：(1)由an1an，得2n1an12nann，令bn2nan，有bn1bnn，bnb1(b2b1)(bn1bn2)(bnbn1)b1123(n1)b1n(n1)又b12a12，bn2n(n1)，2nann(n1)2，an(n2n4)()n1(

13、nN*)(2)证法一：(数学归纳法)当n1时，a11，满足不等式a111；假设nk(k1，kN*)时结论成立，即ak1，那么ak1ak即ak1.又ak1ak1，由可知，nN*，都有an1成立证法二：由(1)知：an(n2n4)()n1.n2n0，nN*，an4()n1.an，2n1(11)n11CCCCC1C2C，2n1n22n2.an11.当n1时，ana11，综上，an1.证法三：，10，an为递减数列，当n1时，an取最大值an1.由(1)中知2nann(n1)22，an.综上可知，an1.(3)证明：Tn(n2n4)()n1n()n，欲证：，即证knTTn，即ln(1Tn)Tn0，构造

14、函数f(x)ln(1x)x.f(x)1，当x0时，f(x)0，函数yf(x)在(0，)内递减f(x)在0，内的最大值为f(0)0.当x0时，1n(1x)x0.又Tn0，ln(1Tn)Tn0.不等式成立例1求经过两点P1（2，1）和P2（m，2）（mR)的直线l的斜率，并且求出l的倾斜角及其取值范围.选题意图：考查倾斜角与斜率之间的关系及斜率公式.解：(1)当m=2时，x1x22，直线l垂直于x轴，因此直线的斜率不存在，倾斜角= (2)当m2时，直线l的斜率k=m2时，k0.=arctan,（0，），当m2时，k0arctan，(,).说明：利用斜率公式时，应注意斜率公式的应用范围.例2若三点A

15、(2，3），B（3，2），C（，m）共线，求m的值.选题意图：考查利用斜率相等求点的坐标的方法.解：A、B、C三点共线，ABAC，解得m=.说明：若三点共线，则任意两点的斜率都相等，此题也可用距离公式来解.例3已知两点A(1,5),B(3,2),直线l的倾斜角是直线AB倾斜角的一半，求直线l的斜率.选题意图：强化斜率公式.解：设直线l的倾斜角，则由题得直线AB的倾斜角为2.tan2=AB=即3tan2+8tan3=0，解得tan或tan3.tan20,0290,045，tan.因此，直线l的斜率是说明：由2的正切值确定的范围及由的范围求的正切值是本例解法中易忽略的地方.命题否定的典型错误及制作

16、在教材的第一章安排了常用逻辑用语的内容从课本内容安排上看，显得较容易，但是由于对逻辑联结词不能做到正确理解，在解决这部分内容涉及的问题时容易出错下面仅对命题的否定中典型错误及常见制作方法加以叙述一、典型错误剖析错误1认为命题的否定就是否定原命题的结论在命题的否定中，有许多是把原命题中的结论加以否定如命题：是无理数，其否定是：不是无理数但据此就认为命题的否定就是否定原命题的结论就错了例1 写出下列命题的否定： 对于任意实数x，使x21； 存在一个实数x，使x21错解：它们的否定分别为 对于任意实数x，使x21； 存在一个实数x，使x21剖析：对于是全称命题，要否定它只要存在一个实数x，使x21即

17、可；对于是存在命题，要否定它必须是对所有实数x，使x21正解：存在一个实数x，使x21；对于任意实数x，使x21错误2认为命题的否定就是原命题中的判断词改和其意义相反的判断词在命题的否定中，有许多是把原命题中的判断词改为相反意义的词，如“是”改为“不是”、“等”改为“不等”、“大于”改为“小于或等于”等但对于联言命题及选言命题，还要把逻辑联结词“且”与“或”互换例2 写出下列命题的否定： 线段AB与CD平行且相等； 线段AB与CD平行或相等错解： 线段AB与CD不平行且不相等； 线段AB与CD不平行或不相等剖析：对于是联言命题，其结论的含义为：“平行且相等”，所以对原命题结论的否定除“不平行且

18、不相等”外，还应有“平行且不相等”、“不平行且相等”；而是选言命题，其结论包含“平行但不相等”、“不平行但相等”、“平行且相等”三种情况，故否定就为“不平行且不相等”正解： 线段AB与CD不平行或不相等； 线段AB与CD不平行且不相等错误3认为“都不是”是“都是”的否定例3 写出下列命题的否定： a，b都是零； 高一(一)班全体同学都是共青团员错解： a，b都不是零； 高一(一)班全体同学都不是共青团员剖析：要注意“都是”、“不都是”、“都不是”三者的关系，其中“都是”的否定是“不都是”，“不都是”包含“都不是”；“至少有一个”的否定是“一个也没有”正解：a，b不都是零，即“a，b中至少有一个

19、不是零” 高一(一)班全体同学不都是共青团员，或写成：高一(一)班全体同学中至少有一人共青团员错误4认为“命题否定”就是“否命题”根据逻辑学知识，任一命题p都有它的否定(命题)非p(也叫负命题、反命题)；而否命题是就假言命题(若p则q)而言的如果一个命题不是假言命题，就无所谓否命题，也就是说，我们就不研究它的否命题我们应清醒地认识到：假言命题“若p则q”的否命题是“若非p则非q”，而“若p则q”的否定(命题)则是“p且非q”，而不是“若p则非q”例4 写出命题“满足条件C的点都在直线F上”的否定错解：不满足条件C的点不都在直线F上剖析：对于原命题可表示为“若A，则B”，其否命题是“若A，则B”

20、，而其否定形式是“若A，则B”，即不需要否定命题的题设部分正解：满足条件C的点不都在直线F上二、几类命题否定的制作1简单的简单命题命题的形如“A是B”，其否定为“A不是B”只要把原命题中的判断词改为与其相反意义的判断词即可例5 写出下列命题的否定： 346； 2是偶数解：所给命题的否定分别是： 346； 2不是偶数2含有全称量词和存在量词的简单命题全称量词相当于日常语言中“凡”，“所有”，“一切”，“任意一个”等，形如“所有A是B”，其否定为“存在某个A不是B”；存在量词相当于 “存在一个”，“有一个”，“有些”，“至少有一个”，“至多有一个”等，形如“某一个A是B”，其否定是“对于所有的A都

21、不是B”全称命题的否定是存在命题，存在命题的否定是全称命题例6 写出下列命题的否定： 不论m取什么实数，x2xm0必有实根 存在一个实数x，使得x2x10 至少有一个整数是自然数 至多有两个质数是奇数解： 原命题相当于“对所有的实数m，x2xm0必有实根”，其否定是“存在实数m，使x2xm0没有实根” 原命题的否定是“对所有的实数x，x2x10” 原命题的否定是“没有一个整数是自然数” 原命题的否定是“至少有三个质数是奇数”3复合命题“p且q”，“p或q”的否定“p且q”是联言命题，其否定为“非p或非q”(也写成p或q“；“p或q”是选言命题，其否定为“非p且非q”(也写成p且q“；例7 写出下列命题的否定： 他是数学家或物理学家 他是数学家又是物理学家0解： 原命题的否定是“他既不是数学家也不是物理学家”原命题的否定是“他不能同时是数学家和物理学家”，即“他不是数学家或他不是物理学家”若认为p：0，那就错了p是对p的否定，包括0或0或p：x1或x3，p：3x1