数值分析课程设计.docx

1、数值分析课程设计吉林农业大学教学实习报告学 院 信息技术学院 专 级 年 级 信息与计算科学2班 姓 名 乔松强 学 号 12101213 指 教 教 师 张红芹 2012年 6 月 15 日实习名称数值分析课程设计第九题实习地点信院六楼实验室实习起止时间2012.06.1419实习报告 一、实验目的:利用MATLAB软件实现分别利用Euler方法、改进Euler方法、二阶Euler-Kutta方法、四阶Euler-Kutta方法求解给定初值问题。二、实验原理：1、 Euler方法：已知一阶微分方程： y=f(x,y) y(x0)=y0 (1) 将微分方程离散化，用向前差商（y(x(n+1)-

2、y(x(n)/h代替积分(1)中的微分方程可得（y(x(n+1)-y(x(n)）/h=f(x(n),y(x(n) (n=1,2,)化简得 y(x(n+1)=y(x(n)+f(x(n),y(x(n)h (n=1,2,)若用y(n)y(x(n)代入上式可得到y(x(n+1)y(n+1)计算式为： y(n+1)=y(n)+f(x(n),y(n)h n=1,2, y0=y(a)上式即为（1）问题的近似解，利用逐次求解可得y1,y2,等等。2、 改进的欧拉方法 用数值积分方法离散化问题(1)，两端积分有 y(x(n+1)-y(x（n）)=xn xn+1(f(x,y(x)dx) (n=0,1,2)对右端积

3、分使用梯形公式有：xn xn+1 (f(x,y(x)dxh/2f(x(n),y(x(n)+f(x(n+1),y(x(n+1)再用yn,yn+1代替y(x(n),y(x(n+1)得到计算公式 yn+1=yn+h/2f(xn,yn)+f(x(n+1),y(n+1) 很明显注意到上式为隐式形式。 改进欧拉方法先用欧拉公式求y(x(n+1)的一个近似值yn+1,称为预测值，然后用梯形公式进行矫正求得近似值y+1即 Yn+1=yn+f(xn,yn)h Yn+1=yn+h/2f(xn,yn)+f(x(n+1),Yn+1) 3、 二阶Runge-Kutta方法对于（1）式，使用差分概念。 （Yn+1-Yn）

4、/h=f(Xn,Yn)推出Yn+1=Yn+hf(Xn,Yn)另外根据微分中值定理，存在0t x,y=euler(doty,0,1,1,20)x = Columns 1 through 10 0 0.0500 0.1500 0.3000 0.5000 0.7500 1.0500 1.4000 1.8000 2.2500 Columns 11 through 20 2.7500 3.3000 3.9000 4.5500 5.2500 6.0000 6.8000 7.6500 8.5500 9.5000 Column 21 10.5000y = Columns 1 through 10 1.0000

5、 1.0000 1.0001 1.0012 1.0056 1.0176 1.0439 1.0945 1.1826 1.3247 Columns 11 through 20 1.5401 1.8496 2.2731 2.8252 3.5113 4.3229 5.2385 6.2284 7.2649 8.3311 Column 219.4232x,y=eulerchange(doty,0,1,1,20)y2 =1.0001 y2 =1.0012 y2 =1.0050 y2 = 1.0151 y2 =1.0372 y2 =1.0794 y2 =1.1530 y2 =1.2720 y2 =1.4529

6、 y2 =1.7133 y2 =2.0695 y2 =2.5339 y2 =3.1118 y2 =3.7997 y2 =4.5861 y2 =5.4553 y2 =6.3914 y2 =7.3822 y2 =8.4198 y2 =9.5004x = Columns 1 through 10 0 0.0500 0.1500 0.3000 0.5000 0.7500 1.0500 1.4000 1.8000 2.2500 Columns 11 through 20 2.7500 3.3000 3.9000 4.5500 5.2500 6.0000 6.8000 7.6500 8.5500 9.50

7、00 Column 21 10.5000y = Columns 1 through 10 1.0000 1.0001 1.0007 1.0034 1.0113 1.0299 1.0672 1.1342 1.2449 1.4162 Columns 11 through 20 1.6661 2.0125 2.4692 3.0433 3.7325 4.5251 5.4033 6.3485 7.3458 8.3863 Column 219.4664x,y=rk2(doty,0,1,1,20)x,y=rk2(doty,0,1,1,20)? Undefined function or variable x

8、.Error in = rk2 at 5 K1=feval(fun,x(i),y(i);（程序存在问题，无法运行）x,y=Euler1(0,1,20,1)? Error: File: Euler1.m Line: 2 Column: 31Unbalanced or unexpected parenthesis or bracket.(2)Euler方法是一阶方法，计算比较简单，精确度不高；改进的Euler方法为二阶方法，精确度较原方法高；二阶Runge-Kutta方法计算量较大，精确度更高，四阶的最为有效精确，应用更广泛，但计算更复杂。五、实验分析及心得：结果分析Eluer 方法 的总误差是

9、O(h) ,称其为一阶方法。改进的 Euler 方法的总体截断误差是 O(h ) ，这是二 r 阶方法。一个方法的总体截断误差若为 O(h ) ，则，称其为 r 阶方法。一般来说，方法的总体截断误差阶数越高，其精度越高。 龙格库塔法是通过计算不同点上的函数值， 并对这些函数值作线性组合， 构造近似公式， 再把近似公式与解的泰勒展开式进行比较， 使前面的若干项相同， 从而使近似公式达到一定 阶数。二阶 Runge-Kutta 法是用k1和k2的加权平均值来近似 k经推导得到二阶 Runge-Kutta 法最近本的形式四阶 Runge-Kutta 法是用 Runge-Kutta 法有k1和k2k3

10、和k4的加权平均值来近似 k在计算精度上，四阶经典龙格-库塔方法的误差最小，改进欧拉方法其次，欧拉方法误差则比较大，所以四阶经典龙格-库塔方法得到最佳的精度。而在计算量上面，相应地，很明显的四阶经典龙格-库塔方法也是最大，改进欧拉方法其次，欧拉方法计算量最小。这样的结果，说明了运用以上三种方法时，其计算量的多少与精度的大小成正比。我们在实际运用与操作中，可以根据实际情况，选择这3种方法中的其中一种最适合的，追求精度的话，可以使用四阶经典龙格-库塔方法；而改进的欧拉方法，在精度上和计算量上都表现得很出色，能够满足一般情况；而欧拉方法更主要的是适用于对的估计上，相应的，精度则有所欠缺。个人心得体会

11、在整个课程设计完成的过程中，从始至终按照理论结合实践的思想，按照计 划稳步进行。课程设计内容清晰，理论详细，编写程序简单，达到了课程设计的 目的及要求。 通过此次课程设计的过程，自身也收获了很多，不仅更深入的学习了理论知 识， 而且能够将书本上的理论知识结合程序运算实际应用， 提高了动手实践能力。 同时也学习了很多与课程设计有关的计算机操作，尤其能够熟练应用 Matlab 软 件。通过“数值计算方法”和 Matlab 的学习，能够有效的将二者相结合解决一 些数学上的实际应用问题。 这次课程设计获益良多相信不仅对于计算方法这门学科， 对以后的工作学习都有极大的帮助。 实际成绩评定签章年 月 日指导教师意见：