1、平行线分线段成比例教学设计冀教版第25章第2节 平行线分线段成比例河北省唐山市迁安(县)市第三初级中学 张艳军一、内容及内容解析 “平行线分线段成比例” 是课程标准图形的性质及其证明中列出的九个基本事实之一,是平面几何的一个重要定理,也是研究相似形的最重要和最基本的理论。它一方面可以直接判定线段成比例,另一方面,当不能证明要证的比例成立时,常用这个定理把两条线段的比“转移”成另两条线段的比。把平行线分线段成比例应用在三角形上,就得到了定理的一个重要推论,这个推论是判定三角形相似的理论基础。在学习平行线分线段成比例定理要让学生有足够的体验,很难达到对定理的理解,进而影响了后续知识的掌握。所有的新
2、知识,都要通过自身“再创造”,纳入到自己的认知结构中,成为有效而能发展的知识,优化和发展了数学认知结构。因此在教学过程中,要给学生充足的研讨时间,化未知为已知,掌握相应的数学思想方法,发展学生的认知,这样才能达到对基本事实的理解,进而为后续学习奠定基础。二、目标及目标解读1.经历探索“平行线分线段成比例”的过程.2.掌握“平行线分线段成比例”基本事实:两条直线被一组平等线所截,截得的对应线段成比例.3.在得出“平行线分线段成比例”基本事实的过程中,进一步渗透类比、归纳、转化等数学思想方法,发展学生的数学思维,锻炼学生识图能力和推理论证能力.4.体验数学活动与人们生活的密切联系,增强应用数学的意
3、识.在本节课的教学中,根据学生的认知基础以及之前学习的知识体系,确定上述教学目标。“活动一”中,我以学生熟知的三角形、平行四边形和梯形三个图形作为探究的特殊图形,根据题目中所给出的条件,去发现得出相同的结论,从而抽象三个图形的共同特征,得到“等距平行行线”截任意直线,截得的两部分长度相等,纠其实质就是“等距平行行线”截得的两条线段之比等于两平行线之间的距离之比,并且非常特殊,这个比值为1:1,以“活动一”作为探究问题的载体,使学生经历探究基本事实的过程。结合“活动一”向学生渗透我们研究数学问题的思想方法:类比,转化,从特殊到一般。由“活动一”进入“活动二”是一个由特殊到一般的过程,改变三条平行
4、线之间的距离,继续探究任意直线被这组平行线所截,截得的两条线段之比与平行线间距离之比的关系,利用第一组图形发现结论的方法,设计研究方案,利用测量法或转将非等距平行线转化为等距平行线的方式,发展学生的数学思维,在探究问题的过程中,锻炼学生的几何识图能力和推理论证能力,引导学生自主建构“平行线分线段成比例”基本事实,进而应用基本事实解决问题。三、教学问题诊断分析“平行线分线段成比例”基本事实是等距平行线截任意直线的推广,我采用“以旧导新”的方法进行,即通过复习旧知识体系,结合特殊图形得出基本图形,类比推广导出新知,降低问题难度。根据教材内容来看,本节的难点是对对应线段,以及对应线段成比例的理解,由
5、于图形和比例式变式较多,学生在找对应线段时常常出现错误;在研究平行线分线段成比例时,常用到代数中列方程的方法,利用已知比例式或等式列出关于未知数的方程,求出未知数,运用代数方法研究几何问题。因此,在得出“平行线分线段成比例”基本事实之后,要帮助学生通过不断变化的几种最具典型性和代表性的变式图形,深化对基本事实的认识。后面通过练习的设计,实现了对知识的典型应用,让学生较深刻地理解了所学的内容,四、教学支持条件分析 本节课改变了以 “讲授”为主,以“灌输”结果为特征的数学教学模式,充分体现了教师为主导,学生为主体的教学原则。就学生的学情来看,七年级已经系统学习过平行线的相关内容,在九年级本节课前面
6、已经学习了比例线段,在本节课新授课之前,曾经经历过以“观察猜想操作证明”等步骤探究问题的方式来学习新知,因此具备一定的学习经验。教学过程中,给予学生探究问题的时间,并且组内进行充分讨论交流,达到对于问题的辨析性认识,学生利用测量法得出猜想结论需要进行理论提升和验证,因此,在教学过程中补充演绎证明,从而认可结论的正确性。此处,结合学生的猜测以及测量之后,充分利用媒体优势,使用几何画板再次演示发现结论的正确性,从而为学生进一步理解“平行线分线段成比例”基本事实提供了有利的依据。25.2平行线分线段成比例单位:迁安市第三初级中学 编者:张艳军 审核领导:张杰新 日期:2019年10月【自学培训】第一
7、步:要求先读题,自己分析,用双色笔勾画出重点、难点,自己解答,对问题要有自己的认识,并记录自己的疑惑点,独学要认真;第二步:与对子交流、讨论、互查,通过对学、群学,让各小组进行充分交流,生成最佳问题解决方案;第三步:适时聚焦、展示,并通过教师点拨形成科学、规范的问题解决办法或格式,从而形成数学方法.课题:平行线分线段成比例【课前培训】1.先自己对新学内容进行简单梳理,并对自己的疑点进行标注。2.在小组长的带领下,讨论要有针对性,尤其是解答出现问题的思路及方法。3. 展示:注意数学语言的严密性,要对展示的内容进行概括性的展示,只展示要点。补充学生要用简洁的语言对知识进行补充和提出异议,对探究点进
8、行分析。4. 小组长注意及时对本组成员进行培训,注意本组学生的课堂参与。【教学过程】导入语:七年级我们学习了“平行线”,上节课我们研究了“比例线段”,那么,当“平行线”遇到“比例线段”时,又会产生什么奇妙的结论呢?让我们共同去探索和发现。下面我们首先进入“活动一”教学目标1.经历探索平行线分线段成比例的过程.2.掌握基本事实:两条直线被一组平等线所截,截得的对应线段成比例.3.在得出“平行线分线段成比例”基本事实的过程中,进一步渗透类比、归纳、转化等数学思想方法,发展学生的数学思维,锻炼学生识图能力和推理论证能力.4.体验数学活动与人们生活的密切联系,增强应用数学的意识.重难点“平行线分线段成
9、比例”基本事实的理解及应用.“平行线分线段成比例”基本事实中对应线段的理解.重难点突破1.利用“活动一”作为铺垫,引导学生认识等距平行线截直线获得的结论,引导学生自主建构“平行线分线段成比例”的基本事实.2.通过归纳“两直线被一组平行线所截”不同形式的图形之间的比较,加深对“平行线分线段成比例”基本事实的理解.教学反思 “平行线分线段成比例定理”是平面几何的一个重要定理,它是研究相似形的最重要和最基本的理论,是课程标准图形的性质及其证明中列出的九个基本事实之一。它一方面可以直接判定线段成比例,另一方面,当不能证明要证的比例成立时,常用这个定理把两条线段的比“转化”成另两条线段的比。把平行线分线
10、段成比例定理应用在三角形上,就得到了定理的一个重要推论,这个推论是判定三角形相似的理论基础。然而,关于平行线分线段成比例定理,学生没有足够体验,很难达到对定理的理解,进而影响了后续知识的掌握。所有的新知识,都要通过自身“再创造”,纳入到自己的认知结构中,成为有效而能发展的知识,优化和发展了数学认知结构。因此在教学过程中,要让学生经历“观察猜想归纳验证”等一系列的数学活动,不断体会数形结合和从特殊到一般的数学思想方法。要给学生充足的研讨时间,化未知为已知,从而不断完善学生的认知体系。 学习过程教学过程【活动一】观察下面一组图形,回答下面的问题结论: 结论: 结论: 1.结合前两组图形,你能发现什
11、么相同的结论? .你是如何发现上述结论的?2.观察三组图形,它们的共同特征是什么?你能用一个简单的图形来描述这个共同特征吗?3.结合问题2中的图形,用几何语言描述:从学生熟悉的三角形和平行四边形入手,观察图形,回答问题.1.分析题目中已知条件,学生根据已有知识体系,获得尽可能多的结论.【设计意图】从学生的认知体系入手,发散思维,为下面的继续学习奠定基础.注意:此处要给学生较为充足的时间;指导学生以小组为单位,分类汇总得出的结论,汇报结果,发现问题.2.通过对比结论,能得到两个图形的相同结论有哪些?【设计意图】异中求同,变中求定,引导学生发现问题的本质特征.【课堂预设】学生中出现的相同结论可能集
12、中在“三线八角”基本图形,以及一条边被平分上.教师引导:“三线八角”在七年级时已经做过重点研究,不作为本节课的重点内容.引发学生得出边被平分.追问:你是如何发现这个结论的?学生可能通过猜测或测量或证明等方式,预计以测量居多.【教师点拨】测量法是我们常用的一种研究数学问题的方法,以后还要广泛运用.可通过“测量法”或“演绎证明”的方式来说明猜想的正确性.3.继续出示第三组图形,你能发现与前两组图形相同的结论吗?学生有了之前的学习经验,预计能快速得到答案.4.继续观察三个图形,你能发现它们具备什么样的共同特征,才会产生相同的结论吗?请同学们尝试用一个简单的图形来描述这个共同特征.【设计意图】通过对于
13、特殊图形的观察理解,提升学生的识图能力,认识图形的内在不变性,抽象简单图形.预计会出现多种情况,教师注意引导分析:(1)三个图形中,哪些条件是固定不变的?(不变的量:本质特征)(2)哪些条件是可以变化的.(变化的量:灵活应用)5.揭示课题:平行线分线段成比例回顾“活动一”的整个研究过程,从特殊图形出发,由共同特征抽象基本图形,得到一个一般性结论,这体现了我们在研究数学时的基本思想:类比、从特殊到一般.【活动二】如图2,两条直线AC、DF被三条互相平行的直线、所截,截得的四条线段分别为AB,BC,DE,EF,平行线、之间的距离为,平行线、之间的距离为.平行线、之间的距离为.【猜想】 = , =
14、.由此得出结论: 2.请验证你的猜想.(提示:可以设=1, =2或其它距离均可)3.【探究结论】两条直线被一组平行线所截, .让学生体会从特殊图形到一般结论的抽象的过程.等距平行线截任意直线截得的两条线段相等,即被截得的两条线段之比等于两平行线间的距离之比,并且比值为1:1.此处利用“几何画板”演示这个一般性的发现.规范几何语言.【大家思考】平行线间的距离可以改变吗?当平行线间的距离发生改变时,被截得两条线段与两平行线间的距离还成比例吗?【设计意图】由等距平行线到一般平行线,落实数学从特殊到一般、类比 的思想.学生应该很容易猜想:成比例. 带着这样的猜想,让我们进行入“活动二”1.学生大胆猜想
15、结论;2.问题2进行开放性设置,没有给出一致性的验证方法,但基于学情,给予提示.【设计意图】问题开放化,引发学生深度思考,便于发现问题.3.学生在完成验证猜想的过程中,教师要特别关注学情,去发现学生中出现的好的想法或误区.预计学情:(1)测量法;(2)个别同学能够将不等距的平行线,转化为“活动一”中的等距平行线,从而化“未知”为“已知”;4.通过上述探究,得出“平行线分线段成比例”基本图形,并且规范几何语言.追问:(1)大家如何理解“对应线段”,结合图形进行说明;(2)如何理解“对应线段成比例”(3)除了基本比例式,你还能再写出几组比例式吗?【设计意图】突出重点,突破难点.提出的问题,可结合上
16、节课比例的基本性质,得出大致类型:(1)“上下型”(2)“上全型”(3)“下全型”还可视学生情况拓展到“上上”“下下”“全全”之比相等.【活动三】如图,AB=3,BC=6,DE=2.求EF的长.注意:在利用“平行线分线段成比例”定理的过程中,最重要的是: ,从而利用比例的基本性质求出线段的长度. “活动三”应用基本事实.1.分析图形和条件,选取适合的比例式. 2.找两名同学到黑板同步板演,便于发现问题;3.大屏幕展示正确结果,进行比对.4.强调基本事实应用过程中应该注意的问题.【设计意图】此处练习,“抛砖引玉”,重在让学生对本节课产生一个完整性的认识.然后分析从“基本图形”到“变式图形”中常见
17、图形.【目标检测】题组一1.如图1,两条直线,被三条平行线、所截,交点分别是A,D,F和B,C,E.下列等式中正确的是: (填序号)1 2.如图2,直线,若AC=3,CE=4,则= , = .3. 如图2,直线,若AC:CE=2:3,若DF=9,则BD= .4.已知,如图3,ADBECF,求证: 题组二1. 如图,直线BFDEAG,且BD=3,AB=7,EF=2,求EG的长.2. 如图,直线,两条直线a 和b 分别交这组平行线于点A、B、C及D、E、F.,且AB=3,DE=4,EF=2,则下列说法中正确的是【 】A. BC:DE=1:2 B. BC:DE=2:3 C. BCDE=8 D .BC
18、DE=63. 已知,如图4,ADBECF,若,AC=12,求AE的长.4. 如图5,直线,AC=a,BC=b,DE=c,求DF的长.【总结与反思】 总结本节课的重点内容,也可以是自己总结的方法、易错点、感受。 【布置作业】1.梳理本节课知识框架,标注疑点,进一步掌握“平行线分线段成比例”基本事实.2.课本65页B组1、2题.目标检测涉及两组练习【设计意图】题组一中第1、2、3小题以填空题的形式对“基本事实”直接应用,图形变式不多,侧重夯实基础,加强基本应用,帮助学生实现理解并掌握“基本事实”;第4小题,以平行线截两条直线作为问题背景,衍生出一个基本的比例式变形证明,让学生灵活运用“基本事实”,体会应用形式的多样化.限时完成练习,同步板演,基础问题,学生比对,特殊问题,强化分析.题组二中第1小题,改变平行线的常态存在形式,难度不大,重在拓宽学生的视野,增强学生的 几何识图能力;第2小题,变化基本图形,结合基本比例式,改变结论出现的形式,体会等积式与比例式之间的转换,既是本节课的直接应用同时又是上节课比例线段的基本性质的延伸,灵少运用“基本事实”,发展学生的数学思维.第3小题,第4小题改变条件的给出方式,以倍数关系、字母的形式来呈现线段之间的数量,近而应用“基本事实”解决问题,实现对事实的理解及灵活运用.
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