思维拓展训练四年级.docx

1、思维拓展训练四年级思维拓展训练四年级第1讲 平均数问题思维拓展训练四年级 1第2讲 速算与巧算 3 第3讲 找规律 5 第4讲 变化规律 7 第5讲 算式谜（一） 9第6讲 算式谜（二）12第7讲 应用题15第8讲 逻辑推理17第9讲 数数图形21第10讲 容斥原理24第11讲 简单的统筹规划问题27 第12讲 图形问题31第13讲 错中求解34第14讲 数学开放题36第15讲 数数与计数40终结性测试题一 44终结性测试题二 46第1讲 平均数问题专题简析：我们经常用各科成绩的平均分数来比较班级之间,同学之间成绩的高低,求出各科成绩的平均数就是求平均数。平均数在日常生活中和工作中应用很广泛,

2、例如,求平均身高问题,求某天的平均气温等。求平均数问题的基本数量关系是：总数量总份数=平均数解答平均数问题的关键是要确定“总数量”以及与“总数量”相对应的“总份数”,然后用总数量除以总份数求出平均数。例1：二（1）班学生分三组植树,第一组有8人,共植树80棵；第二组有6人,共植树66棵；第三组有6人,共植树54棵。平均每人植树多少棵？分析与解答：因为二（1）班学生分三组植树,由问题可知“平均范围”是三个组,是按人数平均,因此所需条件是三个组植树的总棵数和三个组的总人数。三个组植树的总棵数为：80+66+54=200棵,总人数为：8+6+6=20人,所以平均每人植树20020=10棵。随堂练习：

3、电视机厂四月份前10天共生产电视机3300台,后20天共生产电视机6300台。这个月平均每天生产电视机多少台？例2：王老师为四年级羽毛球队的同学测量身高。其中两个同学身高153厘米,一个同学身高152厘米,有两个同学身高149厘米,还有两个同学身高147厘米。求四年级羽毛球队同学的平均身高。分析与解答：这道题可以按照一般思路解,即用身高总和除以总人数。这道题还可以采用假设平均数的方法求解,容易发现,同学们的身高都在150厘米左右,可以假设平均身高为150厘米,把它当作基准数,用“基数+各数与基数的差之和份数=平均数”。 （153215214921472）（2122）=150厘米或：150（32

4、21232）（2122）=150厘米随堂练习：五（1）班有7个同学参加数学竞赛,其中有两个同学得了99分,还有三个同学得了96分,另外两个同学分别得了97、89分。这7个同学的平均成绩是多少？例3：从山顶到山脚的路长36千米,一辆汽车上山,需要4小时到达山顶,下山沿原路返回,只用2小时到达山脚。求这辆汽车往返的平均速度。分析与解答：求往返的平均速度,要用往返的路程除以往返的时间,往返的路程是362=72千米,往返的时间是4+2=6小时。所以,这辆汽车往返的平均速度是每小时行726=12千米。随堂练习：小强家离学校有1200米,早上上学,他家到学校用了15分钟,从学校到家用了10分钟。求小强往返

5、的平均速度。例4：李华参加体育达标测试,五项平均成绩是85分,如果投掷成绩不算在内,平均成绩是83分。李华投掷得了多少他？分析与解答：先求出五项的总得分：855=425分,再算出四项的总分：834=332分,最后用五项总分减去四项总分,就等于李华投掷的成绩：425332=93分。随堂练习：小军参加了3次数学竞赛,平均分是84分。已知前两次平均分是82分,他第三次得了多少分？例5：如果四个人的平均年龄是23岁,四个人中没有小于18岁的。那么年龄最大的人可能是多少岁？分析与解答：因为四个人的平均年龄是23岁,那么四个人的年龄和是234=92岁；又知道四个人中没有小于18岁的,如果四个人中三个人的年

6、龄都是18岁,就可去求另一个人的年龄最大可能是92183=38岁。随堂练习：如果三个人的平均年龄是22岁,且没有小于18岁的,那么三个人中年龄最大的可能是多少岁？拓展训练1、小明参加数学考试,前两次的平均分是85分,后三次的总分是270分。求小明这五次考试的平均分数是多少。2、二（1）班学生分三组植树,第一组有8人,平均每人植树10棵；第二组有6人,平均每人植树11棵；第三组有6人,平均每人植树9棵。二（1）班平均每人植树多少棵？3、气象小组每天早上8点测得的一周气温如下：13、13、13、14、15、14、16。求一周的平均气温。4、敬老院有8个老人,他们的年龄分别是78岁、76岁、77岁、

7、81岁、78岁、78岁、76岁、80岁。求这8个老人的平均年龄。5、李大伯上山采药,上山时他每分钟走50米,18分钟到达山顶；下山时,他沿原路返回,每分钟走75米。求李大伯上下山的平均速度。6、小亮上山时的速度是每小时走2千米,下山时的速度是每小时走6千米。那么,他在上、下山全过程中的平均速度是多少千米？7、小丽在期末考试时,数学成绩公布前她四门功课的平均分数是92分；数学成绩公布后,她的平均成绩下降了1分。小丽的数学考了多少分？8、某班一次外语考试,李星因病没有参加。其他同学的平均分是95分,第二天他的补考成绩是65分,如果加上李星的成绩后,全班的平均分是94分。这个班有多少人？9、如果四个

8、人的平均年龄是28岁,且没有大于30岁的。那么最小的人的年龄可能是多少岁？10、如果四个人的平均年龄是25岁,四个人中没有小于16岁的,且这四个人的年龄互不相等。那么年龄最大的可能是多少岁？第2讲 速算与巧算1.把几个互为“补数”的减数先加起来,再从被减数中减去。例 1计算： 300-73-27 1000-90-80-20-10解：式= 300-（73 27）300-100=200式=1000-（90802010）1000-200800随堂练习：计算：500-124-56 210-48-522.先减去那些与被减数有相同尾数的减数。例2计算： 4723-（723189） 2356-159-256

9、解：式=4723-723-1894000-189=3811式=2356-256-1592100-159=1941随堂练习：计算：368-124-168 721-59-2213.利用“补数”把接近整十、整百、整千的数先变整,再运算（注意把多加的数再减去,把多减的数再加上）。例 3 计算：506-397 467997解：式=5006-400+3（把多减的 3再加上） =109式=4671000-3（把多加的3再减去）1464随堂练习：计算：323-189 543198拓展训练1、用简便方法求差。 1870-280-520 4995-（995-480） 4250-29494 1272-9952、用简

10、便方法计算。 890-198 365-296 28497 3421986、计算1032+1028+1033+1029+1031+10307、计算19998+39996+49995+699968、计算12085692089、计算283+6918310、计算2318+6251318+375第3讲 找规律专题简析：对于较复杂的按规律填数的问题,我们可以从以下几个方面来思考：1、对于几列数组成的一组数变化规律的分析,需要我们灵活地思考,没有一成不变的方法,有时需要综合运用其他知识,一种方法不行,就要及时调整思路,换一种方法再分析；2、对于那些分布在某些图中的数,它们之间的变化规律往往与这些数在图形中的

11、特殊位置有关,这是我们解这类题的突破口。3、对于找到的规律,应该适合这组数中的所有数或这组算式中的所有算式。 例1：根据下表中的排列规律,在空格里填上适当的数。 12 18 6 8 15 7 4 8分析与解答：经仔细观察、分析表格中的数可以发现：12+6=18,8+7=15,即每一横行中间的数等于两边的两个数的和。依此规律,空格中应填的数为：4+8=12。随堂练习：找规律,在空格里填上适当的数。916781754129162151011962449121673530例2：根据前面图形中的数之间的关系,想一想第三个图形的括号里应填什么数？ 分析与解答：经仔细观察、分析可以发现前面两个圈中三个数之

12、间有这样的关系： 51210=6 42010=8根据这一规律,第三个圈中右下角应填的数为：83010=24随堂练习：根据前面图形中数之间的关系,想一想第三个图形的空格里应填什么数。（1） 例3：先计算下面一组算式的第一题,然后找出其中的规律,并根据规律直接写出后几题的得数。123456799= 1234567918=1234567954= 1234567981=分析与解答：题中每个算式的第一个因数都是12345679,它是有趣的“缺8数”,与9相乘,结果是由九个1组成的九位数,即：111111111。不难发现,这组题得数的规律是：只要看每道算式的第二个因数中包含几个9,乘积中就包含几个1111

13、11111。因为：123456799=111111111所以：1234567918=1234567992=222222222 1234567954=1234567996=666666666 1234567981=1234567999=999999999随堂练习：找规律,写得数。1+09= 2+19= 3+129= 4+1239= 9+123456789=例4：找规律计算。（1）8118=（81）9=79=63（2）7227=（72）9=59=45（3）6336=（）9=9=分析与解答：经仔细观察、分析可以发现：一个两位数与交换它的十位、个位数字位置后的两位数相减,只要用十位与个位数字的差乘9,

14、所得的积就是这两个数的差。6336=（63）9=39=27随堂练习：利用规律计算。（1）5335 （2）8228 例5：计算（1）2611 （2）3811分析：一个两位数与11相乘,只要把这个两位数的两个数字的和插入这两个数字中间,就是所求的积。（1）2611=2（2+6）6=286（2）3811=3（3+8）8=418注意：如果两个数字的和满十,要向前一位进一。随堂练习：计算下面各题。（1）2711 （2）3211拓展训练1、根据前面图形中数之间的关系,想一想第三个图形的空格里应填什么数。（1） （2） 2、找规律,写得数。（1） 11= 1111= 111111= 111111111111

15、111111=（2）19+99= 118+989= 1117+9879=11116+98769= 111115+987659=3、利用规律计算。（1）9229 （2）6116 （3）95594、找规律计算。（1）62+26=（6+2）11=811=88（2）87+78=（8+7）11=1511=165（3）54+45=（+）11=11=5、计算下面各题。（1）3911 （2）4611（3）9211 （4）9811第4讲 变化规律例1：两个数相加,一个加数增加9,另一个加数减少9,和是否发生变化？分析与解答：一个加数增加9,假如另一个加数不变,和就增加9；假如一个加数不变,另一个加数减少9,和就

16、减少9；和先增加9,接着又减少9,所以不发生变化。随堂练习：1,两个数相加,一个数减8,另一个数加8,和是否变化？2,两个数相加,一个数加3,另一个数也加3,和起什么变化？例2：两个数相加,如果一个加数增加10,要使和增加6,那么另一个加数应有什么变化？分析与解答：一个加数增加10,假如另一个加数不变,和就增加10。现在要使和增加6,那么另一个加数应减少106=4。随堂练习：两个数相加,如果一个加数增加8,要使和增加15,另一个加数应有什么变化？例3：两数相减,如果被减数增加8,减数也增加8,差是否起变化？分析与解答：被减数增加8,假如减数不变,差就增加8；假如被减数不变,减数增加8,差就减少

17、8。两个数的差先增加8,接着又减少8,所以不起什么变化。随堂练习：两数相减,被减数减少6,减数也减少6,差是否起变化？例4：两数相乘,如果一个因数扩大8倍,另一个因数缩小2倍,积将有什么变化？分析与解答：如果一个因数扩大8倍,另一个因数不变,积将扩大8倍；如果一个因数不变,另一个因数缩小2倍,积将缩小2倍。积先扩大8倍又缩小2倍,因此,积扩大了82=4倍。随堂练习：两数相乘,如果一个因数缩小4倍,另一个因数扩大4倍,和是否起变化？例5：两数相除,如果被除数扩大4倍,除数缩小2倍,商将怎样变化？分析与解答：如果被除数扩大4倍,除数不变,商就扩大4倍；如果被除数不变,除数缩小2倍,商就扩大2倍。商

18、先扩大4倍,接着又扩大2倍,商将扩大42=8倍。随堂练习：两数相除,被除数扩大30倍,除数缩小5倍,商将怎样变化？拓展训练1、两个数相加,一个数减6,另一个数减2,和起什么变化？2、两个数相加,如果一个加数增加8,要使和减少15,另一个加数应有什么变化？3、两个数相加,如果一个加数减少8,要使和减少8,另一个加数应有什么变化？4、两数相减,被减数增加12,减数减少12,差起什么变化？5、两数相减,被减数减少10,减数增加10,差起什么变化？6、两数相乘,如果一个因数扩大3倍,另一个因数缩小12倍,积将有什么变化？7、两数相乘,如果一个因数扩大3倍,另一个因数扩大6倍,积将有什么变化？8、两数相

19、除,被除数缩小12倍,除数缩小2倍,商将怎样变化？9、两数相除,除数扩大6倍,要使商扩大3倍,被除数应怎样变化?第5讲 算式谜（一）专题简析：“算式谜”一般是指那些含有未知数字或缺少运算符号的算式。解决这类问题,可以根据已学过的知识,运用正确的分析推理方法,确定算式中的未知数字和运用符号。由于这类题目的解答过程类似全平时进行的猜谜语游戏,所以,我们把这类题目称为“算式谜题”。解答算式谜问题时,要先仔细审题,分析数据之间的关系,找到突破口,逐步试验,分析求解,通常要运用倒推法、凑整法、估值法等。例1：在下面算式的括号里填上合适的数。分析与解答：根据题目特点,先看个位：75=12,在和的个位（ ）

20、中填2,并向十位进一；再看十位,（ ）+4+1的和个位是1,因此,第一个加数的（ ）中只能填6,并向百位进1；最后来看百位、千位,6+（ ）+1的和的个位是2,第二个加数的（ ）中只能填5,并向千位进1；因此,和的千位（ ）中应填8。随堂练习：（1）在括号里填上合适的数。 （2）在方框里填上合适的数。 例2：下面各式中“巨”、“龙”、“腾”、“飞”分别代表不同的数字,相同的汉字代表相同的数字。当它们各代表什么数字时,下列的算式成立。分析与解答：先看个位,3个“飞”相加的和的个位数字是1,可推知“飞”代表7；再看十位,3个“腾”相加,再加上个位进来的2,所得的和的个位是0,可推知“腾”代表6；再

21、看百位,两个“龙”相加,加上十位进上来的2,所得和的个位是0,“龙”可能是4或9,考虑到千位上的“巨”不可能为0,所以“龙”只能代表4,“巨”只能代表1。随堂练习：例3：下面各式中的“兵”、“炮”、“马”、“卒”各代表09这十个数字中的某一个,相同的汉字代表相同的数字。这些汉字各代表哪些数字？ 分析与解答：这道题应以“卒”入手来分析。“卒”和“卒”相加和的个位数字仍然是“卒”,这个数字只能是0。确定“卒”是0后,所有是“卒”的地方,都是0。注意到百位上是“兵”+“兵”=“卒”,容易知道“兵”是5,“车”是1；再由十位上的情况可推知“马”是4,进而推得“炮”是2。随堂练习： 例4：将0、1、2、

22、3、4、5、6这七个数字填在圆圈和方格内,每个数字恰好出现一次,组成一个整数算式。 =分析与解答：要求用七个数字组成五个数,这五个数有三个是一位数,有两个是两位数。显然,方格中的数和被除数是两位数,其他是一位数。0和1不能填入乘法算式,也不能做除数。由于26=12（2将出现两次）,25=10（经试验不合题意）,24=8（7个数字中没有8）,23=6（6不能成为商）。因此,0、1、2只能用来组成两位数。经试验可得：34=12=6=5随堂练习：（1）将0、1、3、5、6、8、9这七个数字填在圆圈和方筐里,每个数字恰好出现一次组成一个整数算式。=例5：把“、”分别放在适当的圆圈中（运算符号只能用一次

23、）,并在方框中填上适当的数,使下面的两个等式成立。36015=15 2135=分析与解答：先从第一个等式入手,等式右边是15,与等式左边最后一个数15相同,因为0+15=15,所以,只要使36与0的运算结果为0就行。显然,360+15=15因为第一个等式已填“”、“+”,在第二个等式中只有“”、“”可以填,题目要求在方框中填整数,已知3不能被5整除,所以“”只能填在21与3之间,而3与5之间填“”。随堂练习：把“、”分别填入下面的圆圈中,并在方框中填上适当的整数,使下面每组的两个等式成立。 9137=100 1425= 1762=100 5147=拓展训练1、下面的竖式里,有4个数字被遮住了,

24、求竖式中被盖住的4个数字的和。 2、3、4、（1）填入1、2、3、4、7、9,使等式成立。=（2）用1、2、3、7、8这五个数字可以列成一个算式：（1+3）7=28。请你用0、1、2、3、4、6这六个数字列成一个算式。5、将1 9这九个数字填入中（每个数字只能用一次）,组成三个等式。= = =第6讲 算式谜（二）专题简析：解决算式谜题,关键是找准突破口,推理时应注意以下几点：1认真分析算式中所包含的数量关系,找出隐蔽条件,选择有特征的部分作出局部判断；2利用列举和筛选相结合的方法,逐步排除不合理的数字；3试验时,应借助估值的方法,以缩小所求数字的取值范围,达到快速而准确的目的；4算式谜解出后,

25、要验算一遍。例1：在下面的方框中填上合适的数字。 分析与解答：由积的末尾是0,可推出第二个因数的个位是5；由第二个因数的个位是5,并结合第一个因数与5相乘的积的情况考虑,可推出第一个因数的百位是3；由第一个因数为376与积为310,可推出第二个因数的十数上是8。题中别的数字就容易填了。随堂练习：在里填上适当的数。 例2：在下面方框中填上适合的数字。 分析与解答：由商的十位是1,以及1与除数的乘积的最高位是1可推知除数的十位是1。由第一次除后余下的数是1,可推知被除数的十位只可能是7、8、9。如果是7,除数的个位是0,那么最后必有余数；如果被除数是8,除数的个位就是1,也不能除尽；只有当被除数的

26、十位是9时,除数的个位是2时,商的个位为6,正好除尽。完整的竖式是： 随堂练习：在内填入适当的数字,使下列除法竖式成立。 例3：下面算式中的a、b、c、d这四个字母各代表什么数字？分析与解答：因为四位数abcd乘9的积是四位数,可知a是1；d和9相乘的积的个位是1,可知d只能是9；因为第二个因数9与第一个因数百位上的数b相乘的积不能进位,所以b只能是0（1已经用过）；再由b=0,可推知c=8。随堂练习：求下列各题中每个汉字所代表的数字。例4：在1、2、3、4、5、6、7、8、9这九个数字中间加上“、”两种运算符号,使其结果等于100（数字的顺序不能改变）。1 2 3 4 5 6 7 8 9 =

27、 100分析与解答：先凑出与100比较接近的数,再根据需要把相邻的几个数组成一个数。比如：123与100比较接近,所以把前三个数字组成123,后面的数字凑出23就行。因为45与67相差22,8与9相差1,所以得到一种解法：123456789=100再比如：89与100比较接近,78与67正好相差11,所此可得另一种解法：123456789=100随堂练习：（1）在下面等号左边的数字之间添上一些加号,使其结果等于99（数字的顺序不能改变）。9 8 7 6 5 4 3 2 1 = 99例5：在下面的式子里添上括号,使等式成立。791232 = 23分析与解答：采用逆推法,从最后一步运算开始考虑。假

28、如最后一步是用前面计算的结果减2,那么前面式子的运算结果应等25,又因为253=75,而前面7912又正好等于75,所以,应给前面两步运算加括号。（7912）32 = 23随堂练习：在下面的式子里添上括号,使等式成立。791232 = 75拓展训练1、在里填上适当的数。2、求下列各题中每个汉字所代表的数字。3、（1）一个乘号和七个加号添在下面的算式中合适的地方,使其结果等于100（数字的顺序不能改变）。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 = 100（2）添上适当的运算符号和括号,使下列等式成立。1 2 3 4 5 = 1004、在下面的式子里添上括号,使等式成立。（1）791232 = 47（2）883311112 = 5第7讲 应用题专题简析：大家都希望自己成为一个“小高斯”。这一周,我们来学习一些需要较高解题技巧的应用题,它们的解题思路往往比较独特,并且容易做错。如：书本的页码问题,较复杂的植树问题,以及其他智巧