1、八年级数学动点问题八年级数学动点问题1(2012常德)已知四边形ABCD是正方形,O为正方形对角线的交点,一动点P从B开始,沿射线BC运动,连接DP,作CNDP于点M,且交直线AB于点N,连接OP,ON(当P在线段BC上时,如图1:当P在BC的延长线上时,如图2)(1)请从图1,图2中任选一图证明下面结论:BN=CP;OP=ON,且OPON;(2)设AB=4,BP=x,试确定以O、P、B、N为顶点的四边形的面积y与x的函数关系解答:(1)证明:如图1,四边形ABCD为正方形,OC=OB,DC=BC,DCB=CBA=90,OCB=OBA=45,DOC=90,DCAB,DPCN,CMD=DOC=9
2、0,BCN+CPD=90,PCN+DCN=90,CPD=CNB,DCAB,DCN=CNB=CPD,在DCP和CBN中,DCPCBN(AAS),CP=BN,在OBN和OCP中,OBNOCP(SAS),ON=OP,BON=COP,BON+BOP=COP+BOP,即NOP=BOC=90,ONOP,即ON=OP,ONOP(2)解:AB=4,四边形ABCD是正方形,O到BC边的距离是2,图1中,S四边形OPBN=SOBN+SBOP,2已知正方形ABCD,点P是对角线AC所在直线上的动点,点E在DC边所在直线上,且随着点P的运动而运动,PE=PD总成立(1)如图(1),当点P在对角线AC上时,请你通过测量
3、、观察,猜想PE与PB有怎样的关系?(直接写出结论不必证明);(2)如图(2),当点P运动到CA的延长线上时,(1)中猜想的结论是否成立?如果成立,请给出证明;如果不成立,请说明理由;(3)如图(3),当点P运动到CA的反向延长线上时,请你利用图(3)画出满足条件的图形,并判断此时PE与PB有怎样的关系?(直接写出结论不必证明)解答:(1)解:PE=PB,PEPB(2)解:(1)中的结论成立四边形ABCD是正方形,AC为对角线,CD=CB,ACD=ACB,又PC=PC,PDCPBC,PD=PB,PE=PD,PE=PB,:由,得PDCPBC,PDC=PBC(7分)又PE=PD,PDE=PEDPD
4、E+PDC=PEC+PBC=180,EPB=360(PEC+PBC+DCB)=90,PEPB(3)解:如图所示:结论:PE=PB,PEPB3已知,矩形ABCD中,AB=4cm,BC=8cm,AC的垂直平分线EF分别交AD、BC于点E、F,垂足为O(1)如图1,连接AF、CE求证四边形AFCE为菱形,并求AF的长;(2)如图2,动点P、Q分别从A、C两点同时出发,沿AFB和CDE各边匀速运动一周即点P自AFBA停止,点Q自CDEC停止在运动过程中,已知点P的速度为每秒5cm,点Q的速度为每秒4cm,运动时间为t秒,当A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时,求t的值若点P、Q的运动路程分别
5、为a、b(单位:cm,ab0),已知A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形,求a与b满足的数量关系式解答:解:(1)四边形ABCD是矩形,ADBC,CAD=ACB,AEF=CFE,EF垂直平分AC,垂足为O,OA=OC,AOECOF,OE=OF,四边形AFCE为平行四边形,又EFAC,四边形AFCE为菱形,设菱形的边长AF=CF=xcm,则BF=(8x)cm,在RtABF中,AB=4cm,由勾股定理得42+(8x)2=x2,解得x=5,AF=5cm(2)显然当P点在AF上时,Q点在CD上,此时A、C、P、Q四点不可能构成平行四边形;同理P点在AB上时,Q点在DE或CE上或P在BF,Q在C
6、D时不构成平行四边形,也不能构成平行四边形因此只有当P点在BF上、Q点在ED上时,才能构成平行四边形,以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时,PC=QA,点P的速度为每秒5cm,点Q的速度为每秒4cm,运动时间为t秒,PC=5t,QA=124t,5t=124t,解得以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时,秒由题意得,四边形APCQ是平行四边形时,点P、Q在互相平行的对应边上分三种情况:i)如图1,当P点在AF上、Q点在CE上时,AP=CQ,即a=12b,得a+b=12;ii)如图2,当P点在BF上、Q点在DE上时,AQ=CP,即12b=a,得a+b=12;iii)如图3,当
7、P点在AB上、Q点在CD上时,AP=CQ,即12a=b,得a+b=12综上所述,a与b满足的数量关系式是a+b=12(ab0)4、如图,在平面直角坐标系中,已知点A(0,2),点P是x轴上一动点,以线段AP为一边,在其一侧作等边三角形APQ当点P运动到原点O处时,记Q的位置为B(1)求点B的坐标;(2)求证:当点P在x轴上运动(P不与O重合)时,ABQ为定值;(3)是否存在点P,使得以A、O、Q、B为顶点的四边形是梯形?若存在,请求出P点的坐标;若不存在,请说明理由解答:(1)解:过点B作BCy轴于点C,A(0,2),AOB为等边三角形,AB=OB=2,BAO=60,(2)证明:当点P在x轴上
8、运动(P不与O重合)时,不失一般性,PAQ=OAB=60,PAO=QAB,在APO和AQB中,APOAQB(SAS),ABQ=AOP=90总成立,当点P在x轴上运动(P不与O重合)时,ABQ为定值90;(3)解:由(2)可知,点Q总在过点B且与AB垂直的直线上,可见AO与BQ不平行当点P在x轴负半轴上时,点Q在点B的下方,此时,若ABOQ,四边形AOQB即是梯形,当ABOQ时,BQO=90,BOQ=ABO=60当点P在x轴正半轴上时,点Q在B的上方,此时,若AQOB,四边形AOBQ即是梯形,当AQOB时,ABQ=90,QAB=ABO=605如图,在ABC中,点O是AC边上(端点除外)的一个动点
9、,过点O作直线MNBC设MN交BCA的平分线于点E,交BCA的外角平分线于点F,连接AE、AF那么当点O运动到何处时,四边形AECF是矩形?并证明你的结论解答:解:当点O运动到AC的中点(或OA=OC)时,四边形AECF是矩形证明:CE平分BCA,1=2,又MNBC,1=3,3=2,EO=CO,同理,FO=CO,EO=FO,又OA=OC,四边形AECF是平行四边形,CF是BCA的外角平分线,4=5,又1=2,1+5=2+4,又1+5+2+4=180,2+4=90,平行四边形AECF是矩形6正方形ABCD中,点O是对角线DB的中点,点P是DB所在直线上的一个动点,PEBC于E,PFDC于F(1)
10、当点P与点O重合时(如图),猜测AP与EF的数量及位置关系,并证明你的结论;(2)当点P在线段DB上(不与点D、O、B重合)时(如图),探究(1)中的结论是否成立?若成立写出证明过程;若不成立,请说明理由;(3)当点P在DB的长延长线上时,请将图补充完整,并判断(1)中的结论是否成立?若成立,直接写出结论;若不成立,请写出相应的结论解答:解:(1)AP=EF,APEF,理由如下:连接AC,则AC必过点O,延长FO交AB于M;OFCD,OEBC,且四边形ABCD是正方形,四边形OECF是正方形,OM=OF=OE=AM,MAO=OFE=45,AMO=EOF=90,AMOFOE(AAS),AO=EF
11、,且AOM=OFE=FOC=45,即OCEF,故AP=EF,且APEF(2)题(1)的结论仍然成立,理由如下:延长AP交BC于N,延长FP交AB于M;PMAB,PEBC,MBE=90,且MBP=EBP=45,四边形MBEP是正方形,MP=PE,AMP=FPE=90;又ABBM=AM,BCBE=EC=PF,且AB=BC,BM=BE,AM=PF,AMPFPE(SAS),AP=EF,APM=FPN=PEFPEF+PFE=90,FPN=PEF,FPN+PFE=90,即APEF,故AP=EF,且APEF(3)题(1)(2)的结论仍然成立;如右图,延长AB交PF于H,证法与(2)完全相同7、如图,一个直角
12、三角形纸片的顶点A在MON的边OM上移动,移动过程中始终保持ABON于点B,ACOM于点AMON的角平分线OP分别交AB、AC于D、E两点(1)点A在移动的过程中,线段AD和AE有怎样的数量关系,并说明理由(2)点A在移动的过程中,若射线ON上始终存在一点F与点A关于OP所在的直线对称,判断并说明以A、D、F、E为顶点的四边形是怎样特殊的四边形?(3)若MON=45,猜想线段AC、AD、OC之间有怎样的数量关系,只写出结果即可不用证明解答:解:(1)AE=AD理由如下:ABON,ACOM,AED=90MOP,ADE=ODB=90PON,而MOP=NOP,AED=ADEAD=AE(2)菱形理由:
13、连接DF、EF,点F与点A关于直线OP对称,E、D在OP上,AE=FE,AD=FD由(1)得AE=AD,AE=FE=AD=FD四边形ADFE是菱形;(3)OC=AC+AD理由:四边形ADFE是菱形,AEO=FEO,AOE=FOE,EFO=EAO,ACOM,OP平分MON,AE=EF,EFOC,EFO=90,AE=EF=AD,OA=OF,MON=45,ACO=AOC=45,OA=AC,FEC=FCE,EF=CF,CF=AE,OC=OF+FC=OA+AE=AC+AD8如图,ABC中,点P是边AC上的一个动点,过P作直线MNBC,设MN交BCA的平分线于点E,交BCA的外角平分线于点F(1)求证:P
14、E=PF;(2)当点P在边AC上运动时,四边形AECF可能是矩形吗?说明理由;(3)若在AC边上存在点P,使四边形AECF是正方形,且求此时BAC的大小解答:(1)证明:CE平分BCA,BCE=ECP,又MNBC,BCE=CEP,ECP=CEP,PE=PC;同理PF=PC,PE=PF;(2)解:当点P运动到AC边中点时,四边形AECF是矩形理由如下:由(1)可知PE=PF,P是AC中点,AP=PC,四边形AECF是平行四边形CE、CF分别平分BCA、ACD,且BCA+ACD=180,平行四边形AECF是矩形;(3)解:若四边形AECF是正方形,则ACEF,AC=2APEFBC,ACBC,ABC
15、是直角三角形,且ACB=90,BAC=309如图,在直角梯形ABCD中,ADBC,B=90,AD=6,BC=8, ,点M是BC的中点点P从点M出发沿MB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动,到达点B后立刻以原速度沿BM返回;点Q从点M出发以每秒1个单位长的速度在射线MC上匀速运动在点P,Q的运动过程中,以PQ为边作等边三角形EPQ,使它与梯形ABCD在射线BC的同侧点P,Q同时出发,当点P返回到点M时停止运动,点Q也随之停止设点P,Q运动的时间是t秒(t0)(1)设PQ的长为y,在点P从点M向点B运动的过程中,写出y与t之间的函数关系式(不必写t的取值范围);(2)当BP=1时,求EPQ与梯形
16、ABCD重叠部分的面积;(3)随着时间t的变化,线段AD会有一部分被EPQ覆盖,被覆盖线段的长度在某个时刻会达到最大值,请回答:该最大值能否持续一个时段?若能,直接写出t的取值范围;若不能,请说明理由 解答:解:(1)y=MP+MQ=2t;(2)当BP=1时,有两种情形:EPQ与梯形ABCD重叠部分就是EPQ,其面积为 若点P从点B向点M运动,由题意得t=5PQ=BM+MQBP=8,PC=7设PE与AD交于点F,QE与AD或AD的延长线交于点G,过点P作PHAD于点H,则HP=在RtHPF中,HPF=30,HF=3,PF=6FG=FE=2又FD=2,点G与点D重合,如图2此时EPQ与梯形ABC
17、D的重叠部分就是梯形FPCG,其面积为 (3)能,此时,4t5过程如下:如图,当t=4时,P点与B点重合,Q点运动到C点,此时被覆盖线段的长度达到最大值,PEQ为等边三角形,EPC=60,APE=30,AF=3,BF=6,EF=FG=2,GD=623=1,所以Q向右还可运动1秒,FG的长度不变,4t510(正方形ABCD中,点O是对角线AC的中点,P是对角线AC上一动点,过点P作PFCD于点F如图1,当点P与点O重合时,显然有DF=CF(1)如图2,若点P在线段AO上(不与点A、O重合),PEPB且PE交CD于点E求证:DF=EF;写出线段PC、PA、CE之间的一个等量关系,并证明你的结论;(
18、2)若点P在线段OC上(不与点O、C重合),PEPB且PE交直线CD于点E请完成图3并判断(1)中的结论、是否分别成立?若不成立,写出相应的结论(所写结论均不必证明)解答:解:(1)如图2,延长FP交AB于点Q,AC是正方形ABCD对角线,QAP=APQ=45,AQ=PQ,AB=QF,BQ=PF,PEPB,QPB+FPE=90,QBP+QPB=90,QBP=FPE,BQP=PFE=90,BQPPFE,QP=EF,AQ=DF,DF=EF;如图2,过点P作PGADPFCD,PCF=PAG=45,PCF和PAG均为等腰直角三角形,四边形DFPG为矩形,(2)结论仍成立;结论不成立,此时中三条线段的数量关系是PAPC= CE如图3:PBPE,BCCE,B、P、C、E四点共圆,PEC=PBC,在PBC和PDC中有:BC=DC(已知),PCB=PCD=45(已证),PC边公共边,PBCPDC(SAS),PBC=PDC,PEC=PDC,PFDE,DF=EF;
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