八年级数学动点问题.docx

1、八年级数学动点问题八年级数学动点问题1（2012常德）已知四边形ABCD是正方形，O为正方形对角线的交点，一动点P从B开始，沿射线BC运动，连接DP，作CNDP于点M，且交直线AB于点N，连接OP，ON（当P在线段BC上时，如图1：当P在BC的延长线上时，如图2）（1）请从图1，图2中任选一图证明下面结论：BN=CP；OP=ON，且OPON；（2）设AB=4，BP=x，试确定以O、P、B、N为顶点的四边形的面积y与x的函数关系解答：（1）证明：如图1，四边形ABCD为正方形，OC=OB，DC=BC，DCB=CBA=90，OCB=OBA=45，DOC=90，DCAB，DPCN，CMD=DOC=9

2、0，BCN+CPD=90，PCN+DCN=90，CPD=CNB，DCAB，DCN=CNB=CPD，在DCP和CBN中，DCPCBN（AAS），CP=BN，在OBN和OCP中，OBNOCP（SAS），ON=OP，BON=COP，BON+BOP=COP+BOP，即NOP=BOC=90，ONOP，即ON=OP，ONOP（2）解：AB=4，四边形ABCD是正方形，O到BC边的距离是2，图1中，S四边形OPBN=SOBN+SBOP，2已知正方形ABCD，点P是对角线AC所在直线上的动点，点E在DC边所在直线上，且随着点P的运动而运动，PE=PD总成立（1）如图（1），当点P在对角线AC上时，请你通过测量

3、、观察，猜想PE与PB有怎样的关系？（直接写出结论不必证明）；（2）如图（2），当点P运动到CA的延长线上时，（1）中猜想的结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由；（3）如图（3），当点P运动到CA的反向延长线上时，请你利用图（3）画出满足条件的图形，并判断此时PE与PB有怎样的关系？（直接写出结论不必证明）解答：（1）解：PE=PB，PEPB（2）解：（1）中的结论成立四边形ABCD是正方形，AC为对角线，CD=CB，ACD=ACB，又PC=PC，PDCPBC，PD=PB，PE=PD，PE=PB，：由，得PDCPBC，PDC=PBC（7分）又PE=PD，PDE=PEDPD

4、E+PDC=PEC+PBC=180，EPB=360（PEC+PBC+DCB）=90，PEPB（3）解：如图所示：结论：PE=PB，PEPB3已知，矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm，AC的垂直平分线EF分别交AD、BC于点E、F，垂足为O（1）如图1，连接AF、CE求证四边形AFCE为菱形，并求AF的长；（2）如图2，动点P、Q分别从A、C两点同时出发，沿AFB和CDE各边匀速运动一周即点P自AFBA停止，点Q自CDEC停止在运动过程中，已知点P的速度为每秒5cm，点Q的速度为每秒4cm，运动时间为t秒，当A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值若点P、Q的运动路程分别

5、为a、b（单位：cm，ab0），已知A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形，求a与b满足的数量关系式解答：解：（1）四边形ABCD是矩形，ADBC，CAD=ACB，AEF=CFE，EF垂直平分AC，垂足为O，OA=OC，AOECOF，OE=OF，四边形AFCE为平行四边形，又EFAC，四边形AFCE为菱形，设菱形的边长AF=CF=xcm，则BF=（8x）cm，在RtABF中，AB=4cm，由勾股定理得42+（8x）2=x2，解得x=5，AF=5cm（2）显然当P点在AF上时，Q点在CD上，此时A、C、P、Q四点不可能构成平行四边形；同理P点在AB上时，Q点在DE或CE上或P在BF，Q在C

6、D时不构成平行四边形，也不能构成平行四边形因此只有当P点在BF上、Q点在ED上时，才能构成平行四边形，以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，PC=QA，点P的速度为每秒5cm，点Q的速度为每秒4cm，运动时间为t秒，PC=5t，QA=124t，5t=124t，解得以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，秒由题意得，四边形APCQ是平行四边形时，点P、Q在互相平行的对应边上分三种情况：i）如图1，当P点在AF上、Q点在CE上时，AP=CQ，即a=12b，得a+b=12；ii）如图2，当P点在BF上、Q点在DE上时，AQ=CP，即12b=a，得a+b=12；iii）如图3，当

7、P点在AB上、Q点在CD上时，AP=CQ，即12a=b，得a+b=12综上所述，a与b满足的数量关系式是a+b=12（ab0）4、如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，2），点P是x轴上一动点，以线段AP为一边，在其一侧作等边三角形APQ当点P运动到原点O处时，记Q的位置为B（1）求点B的坐标；（2）求证：当点P在x轴上运动（P不与O重合）时，ABQ为定值；（3）是否存在点P，使得以A、O、Q、B为顶点的四边形是梯形？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由解答：（1）解：过点B作BCy轴于点C，A（0，2），AOB为等边三角形，AB=OB=2，BAO=60，（2）证明：当点P在x轴上

8、运动（P不与O重合）时，不失一般性，PAQ=OAB=60，PAO=QAB，在APO和AQB中，APOAQB（SAS），ABQ=AOP=90总成立，当点P在x轴上运动（P不与O重合）时，ABQ为定值90；（3）解：由（2）可知，点Q总在过点B且与AB垂直的直线上，可见AO与BQ不平行当点P在x轴负半轴上时，点Q在点B的下方，此时，若ABOQ，四边形AOQB即是梯形，当ABOQ时，BQO=90，BOQ=ABO=60当点P在x轴正半轴上时，点Q在B的上方，此时，若AQOB，四边形AOBQ即是梯形，当AQOB时，ABQ=90，QAB=ABO=605如图，在ABC中，点O是AC边上（端点除外）的一个动点

9、，过点O作直线MNBC设MN交BCA的平分线于点E，交BCA的外角平分线于点F，连接AE、AF那么当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论解答：解：当点O运动到AC的中点（或OA=OC）时，四边形AECF是矩形证明：CE平分BCA，1=2，又MNBC，1=3，3=2，EO=CO，同理，FO=CO，EO=FO，又OA=OC，四边形AECF是平行四边形，CF是BCA的外角平分线，4=5，又1=2，1+5=2+4，又1+5+2+4=180，2+4=90，平行四边形AECF是矩形6正方形ABCD中，点O是对角线DB的中点，点P是DB所在直线上的一个动点，PEBC于E，PFDC于F（1）

10、当点P与点O重合时（如图），猜测AP与EF的数量及位置关系，并证明你的结论；（2）当点P在线段DB上（不与点D、O、B重合）时（如图），探究（1）中的结论是否成立？若成立写出证明过程；若不成立，请说明理由；（3）当点P在DB的长延长线上时，请将图补充完整，并判断（1）中的结论是否成立？若成立，直接写出结论；若不成立，请写出相应的结论解答：解：（1）AP=EF，APEF，理由如下：连接AC，则AC必过点O，延长FO交AB于M；OFCD，OEBC，且四边形ABCD是正方形，四边形OECF是正方形，OM=OF=OE=AM，MAO=OFE=45，AMO=EOF=90，AMOFOE（AAS），AO=EF

11、，且AOM=OFE=FOC=45，即OCEF，故AP=EF，且APEF（2）题（1）的结论仍然成立，理由如下：延长AP交BC于N，延长FP交AB于M；PMAB，PEBC，MBE=90，且MBP=EBP=45，四边形MBEP是正方形，MP=PE，AMP=FPE=90；又ABBM=AM，BCBE=EC=PF，且AB=BC，BM=BE，AM=PF，AMPFPE（SAS），AP=EF，APM=FPN=PEFPEF+PFE=90，FPN=PEF，FPN+PFE=90，即APEF，故AP=EF，且APEF（3）题（1）（2）的结论仍然成立；如右图，延长AB交PF于H，证法与（2）完全相同7、如图，一个直角

12、三角形纸片的顶点A在MON的边OM上移动，移动过程中始终保持ABON于点B，ACOM于点AMON的角平分线OP分别交AB、AC于D、E两点（1）点A在移动的过程中，线段AD和AE有怎样的数量关系，并说明理由（2）点A在移动的过程中，若射线ON上始终存在一点F与点A关于OP所在的直线对称，判断并说明以A、D、F、E为顶点的四边形是怎样特殊的四边形？（3）若MON=45，猜想线段AC、AD、OC之间有怎样的数量关系，只写出结果即可不用证明解答：解：（1）AE=AD理由如下：ABON，ACOM，AED=90MOP，ADE=ODB=90PON，而MOP=NOP，AED=ADEAD=AE（2）菱形理由：

13、连接DF、EF，点F与点A关于直线OP对称，E、D在OP上，AE=FE，AD=FD由（1）得AE=AD，AE=FE=AD=FD四边形ADFE是菱形；（3）OC=AC+AD理由：四边形ADFE是菱形，AEO=FEO，AOE=FOE，EFO=EAO，ACOM，OP平分MON，AE=EF，EFOC，EFO=90，AE=EF=AD，OA=OF，MON=45，ACO=AOC=45，OA=AC，FEC=FCE，EF=CF，CF=AE，OC=OF+FC=OA+AE=AC+AD8如图，ABC中，点P是边AC上的一个动点，过P作直线MNBC，设MN交BCA的平分线于点E，交BCA的外角平分线于点F（1）求证：P

14、E=PF；（2）当点P在边AC上运动时，四边形AECF可能是矩形吗？说明理由；（3）若在AC边上存在点P，使四边形AECF是正方形，且求此时BAC的大小解答：（1）证明：CE平分BCA，BCE=ECP，又MNBC，BCE=CEP，ECP=CEP，PE=PC；同理PF=PC，PE=PF；（2）解：当点P运动到AC边中点时，四边形AECF是矩形理由如下：由（1）可知PE=PF，P是AC中点，AP=PC，四边形AECF是平行四边形CE、CF分别平分BCA、ACD，且BCA+ACD=180，平行四边形AECF是矩形；（3）解：若四边形AECF是正方形，则ACEF，AC=2APEFBC，ACBC，ABC

15、是直角三角形，且ACB=90，BAC=309如图，在直角梯形ABCD中，ADBC，B=90，AD=6，BC=8， ，点M是BC的中点点P从点M出发沿MB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，到达点B后立刻以原速度沿BM返回；点Q从点M出发以每秒1个单位长的速度在射线MC上匀速运动在点P，Q的运动过程中，以PQ为边作等边三角形EPQ，使它与梯形ABCD在射线BC的同侧点P，Q同时出发，当点P返回到点M时停止运动，点Q也随之停止设点P，Q运动的时间是t秒（t0）（1）设PQ的长为y，在点P从点M向点B运动的过程中，写出y与t之间的函数关系式（不必写t的取值范围）；（2）当BP=1时，求EPQ与梯形

16、ABCD重叠部分的面积；（3）随着时间t的变化，线段AD会有一部分被EPQ覆盖，被覆盖线段的长度在某个时刻会达到最大值，请回答：该最大值能否持续一个时段？若能，直接写出t的取值范围；若不能，请说明理由 解答：解：（1）y=MP+MQ=2t；（2）当BP=1时，有两种情形：EPQ与梯形ABCD重叠部分就是EPQ，其面积为 若点P从点B向点M运动，由题意得t=5PQ=BM+MQBP=8，PC=7设PE与AD交于点F，QE与AD或AD的延长线交于点G，过点P作PHAD于点H，则HP=在RtHPF中，HPF=30，HF=3，PF=6FG=FE=2又FD=2，点G与点D重合，如图2此时EPQ与梯形ABC

17、D的重叠部分就是梯形FPCG，其面积为 （3）能，此时，4t5过程如下：如图，当t=4时，P点与B点重合，Q点运动到C点，此时被覆盖线段的长度达到最大值，PEQ为等边三角形，EPC=60，APE=30，AF=3，BF=6，EF=FG=2，GD=623=1，所以Q向右还可运动1秒，FG的长度不变，4t510（正方形ABCD中，点O是对角线AC的中点，P是对角线AC上一动点，过点P作PFCD于点F如图1，当点P与点O重合时，显然有DF=CF（1）如图2，若点P在线段AO上（不与点A、O重合），PEPB且PE交CD于点E求证：DF=EF；写出线段PC、PA、CE之间的一个等量关系，并证明你的结论；（

18、2）若点P在线段OC上（不与点O、C重合），PEPB且PE交直线CD于点E请完成图3并判断（1）中的结论、是否分别成立？若不成立，写出相应的结论（所写结论均不必证明）解答：解：（1）如图2，延长FP交AB于点Q，AC是正方形ABCD对角线，QAP=APQ=45，AQ=PQ，AB=QF，BQ=PF，PEPB，QPB+FPE=90，QBP+QPB=90，QBP=FPE，BQP=PFE=90，BQPPFE，QP=EF，AQ=DF，DF=EF；如图2，过点P作PGADPFCD，PCF=PAG=45，PCF和PAG均为等腰直角三角形，四边形DFPG为矩形，（2）结论仍成立；结论不成立，此时中三条线段的数量关系是PAPC= CE如图3：PBPE，BCCE，B、P、C、E四点共圆，PEC=PBC，在PBC和PDC中有：BC=DC（已知），PCB=PCD=45（已证），PC边公共边，PBCPDC（SAS），PBC=PDC，PEC=PDC，PFDE，DF=EF；