正弦余弦换算公式弦值换算公式之欧阳歌谷创编.docx

1、正弦余弦换算公式弦值换算公式之欧阳歌谷创编三角函数诱导公式常用的诱导公式有以下几组：欧阳歌谷（2021.02.01）公式一：设为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： sin（2k）sin cos（2k）cos tan（2k）tan cot（2k）cot 公式二：设为任意角，+的三角函数值与的三角函数值之间的关系： sin（）sin cos（）cos tan（）tan cot（）cot 公式三：任意角与 -的三角函数值之间的关系： sin（）sin cos（）cos tan（）tan cot（）cot 公式四：利用公式二和公式三可以得到-与的三角函数值之间的关系： sin（）sin co

2、s（）cos tan（）tan cot（）cot 公式五：利用公式一和公式三可以得到2-与的三角函数值之间的关系： sin（2）sin cos（2）cos tan（2）tan cot（2）cot 公式六： /2与的三角函数值之间的关系： sin（/2）cos cos（/2）sin tan（/2）cot cot（/2）tan sin（/2）cos cos（/2）sin tan（/2）cot cot（/2）tan诱导公式记忆口诀规律总结上面这些诱导公式可以概括为：对于k/2(kZ)的个三角函数值，当k是偶数时，得到的同名函数值，即函数名不改变；当k是奇数时，得到相应的余函数值，即sincos;co

3、ssin;tancot,cottan. （奇变偶不变）然后在前面加上把看成锐角时原函数值的符号。（符号看象限）例如： sin(2)sin(4/2)，k4为偶数，所以取sin。当是锐角时，2(270，360)，sin(2)0，符号为“”。所以sin(2)sin上述的记忆口诀是：奇变偶不变，符号看象限。公式右边的符号为把视为锐角时，角k360+（kZ），-、180，360-所在象限的原三角函数值的符号可记忆水平诱导名不变；符号看象限。各种三角函数在四个象限的符号如何判断，也可以记住口诀“一全正；二正弦；三为切；四余弦”这十二字口诀的意思就是说：第一象限内任何一个角的四种三角函数值都是“”；第二象限

4、内只有正弦是“”，其余全部是“”；第三象限内只有正切是“”，其余全部是“”；第四象限内只有余弦是“”，其余全部是“” 上述记忆口诀,一全正,二正弦,三正切,四余弦1.诱导公式sin(-a)=-sin(a) cos(-a)=cos(a) sin(2-a)=cos(a) cos(2-a)=sin(a) sin(2+a)=cos(a) cos(2+a)=-sin(a) sin(-a)=sin(a) cos(-a)=-cos(a) sin(+a)=-sin(a) cos(+a)=-cos(a) tgA=tanA=sinAcosA 2.两角和与差的三角函数sin(a+b)=sin(a)cos(b)+co

5、s()sin(b) cos(a+b)=cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b) sin(a-b)=sin(a)cos(b)-cos(a)sin(b) cos(a-b)=cos(a)cos(b)+sin(a)sin(b) tan(a+b)=tan(a)+tan(b)1-tan(a)tan(b) tan(a-b)=tan(a)-tan(b)1+tan(a)tan(b) 3.和差化积公式sin(a)+sin(b)=2sin(a+b2)cos(a-b2) sin(a)sin(b)=2cos(a+b2)sin(a-b2) cos(a)+cos(b)=2cos(a+b2)cos(a-b2) co

6、s(a)-cos(b)=-2sin(a+b2)sin(a-b2) 4.积化和差公式 (上面公式反过来就得到了) sin(a)sin(b)=-12cos(a+b)-cos(a-b) cos(a)cos(b)=12cos(a+b)+cos(a-b) sin(a)cos(b)=12sin(a+b)+sin(a-b) 5.二倍角公式sin(2a)=2sin(a)cos(a) cos(2a)=cos2(a)-sin2(a)=2cos2(a)-1=1-2sin2(a) 6.半角公式sin2(a2)=1-cos(a)2 cos2(a2)=1+cos(a)2 tan(a2)=1-cos(a)sin(a)=si

7、na1+cos(a) 7.万能公式sin(a)=2tan(a2)1+tan2(a2) cos(a)=1-tan2(a2)1+tan2(a2) tan(a)=2tan(a2)1-tan2(a2) 8.其它公式(推导出来的 ) asin(a)+bcos(a)=a2+b2sin(a+c) 其中 tan(c)=ba asin(a)-bcos(a)=a2+b2cos(a-c) 其中 tan(c)=ab 1+sin(a)=(sin(a2)+cos(a2)2 1-sin(a)=(sin(a2)-cos(a2)2 csc(a)=1sin(a) sec(a)=1cos(a)常用的诱导公式有以下几组：公式一：设为

8、任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： sin（2k）sin cos（2k）cos tan（2k）tan cot（2k）cot 公式二：设为任意角，+的三角函数值与的三角函数值之间的关系： sin（）sin cos（）cos tan（）tan cot（）cot 公式三：任意角与 -的三角函数值之间的关系： sin（）sin cos（）cos tan（）tan cot（）cot 公式四：利用公式二和公式三可以得到-与的三角函数值之间的关系： sin（）sin cos（）cos tan（）tan cot（）cot 公式五：利用公式一和公式三可以得到2-与的三角函数值之间的关系： sin（2）

9、sin cos（2）cos tan（2）tan cot（2）cot 公式六： /2与的三角函数值之间的关系： sin（/2）cos cos（/2）sin tan（/2）cot cot（/2）tan sin（/2）cos cos（/2）sin tan（/2）cot cot（/2）tan诱导公式记忆口诀规律总结上面这些诱导公式可以概括为：对于k/2(kZ)的个三角函数值，当k是偶数时，得到的同名函数值，即函数名不改变；当k是奇数时，得到相应的余函数值，即sincos;cossin;tancot,cottan. （奇变偶不变）然后在前面加上把看成锐角时原函数值的符号。（符号看象限）例如： sin(2

10、)sin(4/2)，k4为偶数，所以取sin。当是锐角时，2(270，360)，sin(2)0，符号为“”。所以sin(2)sin上述的记忆口诀是：奇变偶不变，符号看象限。公式右边的符号为把视为锐角时，角k360+（kZ），-、180，360-所在象限的原三角函数值的符号可记忆水平诱导名不变；符号看象限。各种三角函数在四个象限的符号如何判断，也可以记住口诀“一全正；二正弦；三为切；四余弦”这十二字口诀的意思就是说：第一象限内任何一个角的四种三角函数值都是“”；第二象限内只有正弦是“”，其余全部是“”；第三象限内只有正切是“”，其余全部是“”；第四象限内只有余弦是“”，其余全部是“”上述记忆口诀

11、,一全正,二正弦,三正切,四余弦其他三角函数知识：同角三角函数基本关系同角三角函数的基本关系式倒数关系: tan cot1 sin csc1 cos sec1商的关系： sin/costansec/csc cos/sincotcsc/sec平方关系： sin2()cos2()1 1tan2()sec2() 1cot2()csc2()同角三角函数关系六角形记忆法六角形记忆法：（参看图片或参考资料链接）构造以上弦、中切、下割；左正、右余、中间1的正六边形为模型。（1）倒数关系：对角线上两个函数互为倒数；（2）商数关系：六边形任意一顶点上的函数值等于与它相邻的两个顶点上函数值的乘积。（主要是两条虚线

12、两端的三角函数值的乘积）。由此，可得商数关系式。（3）平方关系：在带有阴影线的三角形中，上面两个顶点上的三角函数值的平方和等于下面顶点上的三角函数值的平方。两角和差公式两角和与差的三角函数公式 sin（）sincoscossin sin（）sincoscossin cos（）coscossinsin cos（）coscossinsin tantan tan（） 1tan tan tantan tan（） 1tan tan 倍角公式二倍角的正弦、余弦和正切公式（升幂缩角公式） sin22sincos cos2cos2()sin2()2cos2()112sin2() 2tan tan2 1tan2

13、()半角公式半角的正弦、余弦和正切公式（降幂扩角公式） 1cos sin2(/2) 2 1cos cos2(/2) 2 1cos tan2(/2) 1cos万能公式万能公式 2tan(/2) sin 1tan2(/2) 1tan2(/2) cos 1tan2(/2) 2tan(/2) tan 1tan2(/2)万能公式推导附推导： sin2=2sincos=2sincos/(cos2()+sin2().*，（因为cos2()+sin2()=1）再把*分式上下同除cos2()，可得sin22tan/(1tan2()然后用/2代替即可。同理可推导余弦的万能公式。正切的万能公式可通过正弦比余弦得到。

14、三倍角公式三倍角的正弦、余弦和正切公式 sin33sin4sin3() cos34cos3()3cos 3tantan3() tan3 13tan2()三倍角公式推导附推导： tan3sin3/cos3(sin2coscos2sin)/(cos2cos-sin2sin)(2sincos2()cos2()sinsin3()/(cos3()cossin2()2sin2()cos)上下同除以cos3()，得： tan3(3tantan3()/(1-3tan2() sin3sin(2)sin2coscos2sin2sincos2()(12sin2()sin2sin2sin3()sin2sin2()3s

15、in4sin3() cos3cos(2)cos2cossin2sin(2cos2()1)cos2cossin2()2cos3()cos(2cos2cos3()4cos3()3cos即 sin33sin4sin3() cos34cos3()3cos三倍角公式联想记忆记忆方法：谐音、联想正弦三倍角：3元减 4元3角（欠债了(被减成负数)，所以要“挣钱”(音似“正弦”)）余弦三倍角：4元3角减 3元（减完之后还有“余”）注意函数名，即正弦的三倍角都用正弦表示，余弦的三倍角都用余弦表示。和差化积公式三角函数的和差化积公式 sinsin2sin-cos- 2 2 sinsin2cos-sin- 2 2

16、coscos2cos-cos- 2 2 coscos2sin-sin- 2 2积化和差公式三角函数的积化和差公式 sin cos0.5sin（）sin（） cos sin0.5sin（）sin（） cos cos0.5cos（）cos（） sin sin 0.5cos（）cos（）和差化积公式推导附推导：首先,我们知道sin(a+b)=sina*cosb+cosa*sinb,sin(a-b)=sina*cosb-cosa*sinb我们把两式相加就得到sin(a+b)+sin(a-b)=2sina*cosb所以,sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b)/2同理,若把两式相减,就得

17、到cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b)/2同样的,我们还知道cos(a+b)=cosa*cosb-sina*sinb,cos(a-b)=cosa*cosb+sina*sinb所以,把两式相加,我们就可以得到cos(a+b)+cos(a-b)=2cosa*cosb所以我们就得到,cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b)/2同理,两式相减我们就得到sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b)/2这样,我们就得到了积化和差的四个公式: sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b)/2 cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b

18、)/2 cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b)/2 sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b)/2好,有了积化和差的四个公式以后,我们只需一个变形,就可以得到和差化积的四个公式.我们把上述四个公式中的a+b设为x,a-b设为y,那么a=(x+y)/2,b=(x-y)/2把a,b分别用x,y表示就可以得到和差化积的四个公式: sinx+siny=2sin(x+y)/2)*cos(x-y)/2) sinx-siny=2cos(x+y)/2)*sin(x-y)/2) cosx+cosy=2cos(x+y)/2)*cos(x-y)/2) cosx-cosy=-2sin(x+y)/2)*sin(x-y)/2)