江苏数学高考真题含答案解析最新整理.docx

1、江苏数学高考真题含答案解析最新整理2018 年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1.本试卷共 4 页，均为非选择题(第 1 题第 20 题，共 20 题)。本卷满分为 160 分，考试时间为 120 分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一片交回。2.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。3.请认真核对监考员从答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符。4.作答试题，必须用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效。5.如需作图，须

2、用 2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。数学参考公式：锥体的体积V = 1 Sh ，其中 S 是锥体的底面积， h 是锥体的高3一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分请把答案填写在答题卡相应位置上1已知集合 A = 0,1, 2,8， B = -1,1, 6,8，那么 A B = 2.若复数 z 满足i z = 1 + 2i ，其中 i 是虚数单位，则 z 的实部为 3.已知 5 位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这 5 位裁判打出的分数的平均数为 4.一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的 S 的值为 5.函数 f (x) =的定

3、义域为 6.某兴趣小组有 2 名男生和 3 名女生，现从中任选 2 名学生去参加活动，则恰好选中 2 名女生的概率为 7.已知函数 y = sin(2x + )(- 8.在平面直角坐标系 xOy 中，若双曲线 a2 b2 1(a 0, b 0) 的右焦点 F (c, 0) 到一条渐近线的距离为3 c ，则其离心率的值是 2cos x , 0 x 2,9函数 f (x) 满足 f (x + 4) = f (x)(x R) ，且在区间(-2, 2 上， f (x) = 2| x + 1 2则|, - 2 12an+1 成立的 n的最小值为 二、解答题：本大题共6小题，共计90分请在答题卡指定区域内

4、作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15（本小题满分 14 分）在平行六面体 ABCD - A1B1C1D1 中， AA1 = AB, AB1 B1C1 求证：（1） AB平面A1B1C ；（2） 平面ABB1 A1 平面A1BC 16（本小题满分 14 分）已知 , 为锐角， tan = 4 ， cos( + ) = - 5 3 5（1）求cos 2 的值；（2）求tan( - ) 的值17（本小题满分 14 分）某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆 O 的一段圆弧 MPN （P 为此圆弧的中点）和线段 MN 构成已知圆 O 的半径为 40 米，点 P 到 MN 的距离为 50

5、 米现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚内的地块形状为矩形 ABCD，大棚内的地块形状为CDP ，要求 A, B 均在线段 MN 上， C, D 均在圆弧上设 OC 与 MN 所成的角为 （1）用 分别表示矩形 ABCD 和CDP 的面积，并确定sin 的取值范围；（2）若大棚内种植甲种蔬菜，大棚内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为 4 : 3 求当 为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大18（本小题满分 16 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C 过点 ，焦点2F1 (- 3, 0), F2 ( 3, 0) ，圆 O 的直径为 F1F2 （1）求椭圆 C

6、及圆 O 的方程；（2）设直线 l 与圆 O 相切于第一象限内的点 P若直线 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点，求点 P 的坐标；直线 l 与椭圆 C 交于 A, B 两点若OAB 的面积为 ， 求直线 l 的方程19（本小题满分 16 分）记 f (x), g(x) 分别为函数 f (x), g(x) 的导函数若存在 x0 R ，满足 f (x0 ) = g(x0 ) 且f (x0 ) = g(x0 ) ，则称 x0 为函数 f (x) 与 g(x) 的一个“S 点”（1）证明：函数 f (x) = x 与 g(x) = x2 + 2x - 2 不存在“S 点”；（2）若函数 f (x)

7、= ax2 - 1与 g(x) = ln x 存在“S 点”，求实数 a 的值；（3）已知函数 f (x) = -x2+ a ， g(x) =bexx对任意 a 0 ，判断是否存在b 0 ，使函数 f (x) 与 g(x) 在区间(0, +) 内存在“S 点”，并说明理由20（本小题满分 16 分）设an 是首项为 a1 ，公差为 d 的等差数列，bn 是首项为b1 ，公比为 q 的等比数列（1）设 a1 = 0, b1 = 1, q = 2 ，若| an - bn | b1 对 n = 1, 2, 3, 4 均成立，求 d 的取值范围；（ 2） 若 a = b 0, m N*, q (1,

8、m 2 ， 证 明 ： 存 在 d R ， 使 得 | a - b | b 对1 1 n n 1n = 2, 3, , m + 1 均成立，并求 d 的取值范围（用b1, m, q 表示）数学试题参考答案一、填空题：本题考查基础知识、基本运算和基本思想方法每小题 5 分，共计 70 分11，8 22 390 4852，+） 6 3107 - 6829 2 10 42 3113 123139 1427二、解答题15.本小题主要考查直线与直线、直线与平面以及平面与平面的位置关系，考查空间想象能力和推理论证能力满分 14 分证明：（1）在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中，ABA1B1 因为

9、 AB 平面 A1B1C，A1B1 平面 A1B1C，所以 AB平面 A1B1C（2）在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中，四边形 ABB1A1 为平行四边形 又因为 AA1=AB，所以四边形 ABB1A1 为菱形，因此 AB1A1B又因为 AB1B1C1，BCB1C1， 所以 AB1BC又因为 A1BBC=B，A1B 平面 A1BC，BC 平面 A1BC， 所以 AB1平面 A1BC因为 AB1 平面 ABB1A1，所以平面 ABB1A1平面 A1BC16.本小题主要考查同角三角函数关系、两角和（差）及二倍角的三角函数，考查运算求解能力满分 14 分解：（1）因为tan = 4 ，

10、tan = sin ，所以sin = 4 cos 3 cos 3因为sin2 + cos2 = 1 ，所以cos2 = 9 ，25因此， cos 2 = 2 cos2 -1 = - 7 25（2）因为 , 为锐角，所以 + (0, ) 又因为cos( + ) = -5 ，所以sin( + ) =5= 2 5 ，5因此tan( + ) = -2 因为tan = 4 ，所以tan 2 =32 tan 1 - tan2 = - 24 ，7因此， tan( - ) = tan2 - ( + ) = tan 2 - tan( + ) = - 2 1+ tan 2 tan( + ) 1117.本小题主要考

11、查三角函数的应用、用导数求最值等基础知识，考查直观想象和数学建模及运用数学知识分析和解决实际问题的能力满分 14 分解：（1）连结 PO 并延长交 MN 于 H，则 PHMN，所以 OH=10 过 O 作 OEBC 于 E，则 OEMN，所以COE=，故 OE=40cos，EC=40sin，则矩形 ABCD 的面积为 240cos（40sin+10）=800（4sincos+cos），CDP 的面积为 1 240cos（4040sin）=1600（cossincos）2过 N 作 GNMN，分别交圆弧和 OE 的延长线于 G 和 K，则 GK=KN=10令GOK= ，则 sin = 1 ， （

12、0， ） 0 0 4 0 6当 ， ）时，才能作出满足条件的矩形 ABCD，0 2所以 sin 的取值范围是 1 ，1）4答：矩形 ABCD 的面积为 800（4sincos+cos）平方米，CDP 的面积为1600（cossincos），sin 的取值范围是 1 ，1）4（2）因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为 43，设甲的单位面积的年产值为 4k，乙的单位面积的年产值为 3k（k0），则年总产值为 4k800（4sincos+cos）+3k1600（cossincos）=8000k（sincos+cos）， ， ）0 2设 f（）= sincos+cos， ， ），0 2则 f (

13、) = cos2 - sin2 - sin = -(2sin2 + sin - 1) = -(2sin - 1)(sin + 1) 令 f ( )=0 ，得 = ，6当 （ ， ）时， f ( )0 ，所以 f（）为增函数；0 6当 （ ， ）时， f ( ) 1 可设椭圆 C 的方程为 a2b2 1(a b0) 又点( 3, ) 在椭圆 C 上，2 3所以 a2+ 1 4b2= 1,a2 = 4,，解得a2 - b2 = 3,因此，椭圆 C 的方程为b2x2y4= 1,2 = 1 1 2因为圆 O 的直径为 F F ，所以其方程为 x2 + y2 = 3 （2）设直线 l 与圆 O 相切于

14、P(x , y )(x 0, y 0) ，则 x 2 + y 2 = 3 ，0 0 0 0 0 0所以直线 l 的方程为 y = - x0 (x - x ) + y ，即 y = - x0 x + 3 x2 + 2 4= 1,0 y0 y0由 x 3 ，消去 y，得 y = - 0 x + , y0 y00 0 0 0(4x 2 + y 2 )x2 - 24x x + 36 - 4 y 2 = 0 （*）因为直线 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点，0 0 0 0 0 0所以 = (-24x )2 - 4(4x 2 + y 2 )(36 - 4 y 2 ) = 48 y 2 (x 2 - 2)

15、 = 0 因为 x0 , y0 0 ，所以 x0 = 2, y0 = 1因此，点 P 的坐标为( 2,1) 因为三角形 OAB 的面积为 2 6 ，所以 1 AB OP = 2 6 ，从而 AB = 4 2 7 2 7 7设 A(x1 , y1 ), B(x2 , y2 ) ，由（*）得 x1,2 =，0 02(4x 2 + y 2 )所 以 AB2 = (x - x )2 + ( y - y )21 2 1 2x 2 48 y 2 (x 2 - 2)= (1 + 0 ) 0 0 y 2 (4x 2 + y 2 )20 0 00 0因为 x 2 + y 2 = 3 ，16(x 2 - 2) 3

16、2所以 AB2 = 0 =，即2x4 - 45x 2+ 100 = 0 ，0(x 2 + 1)2 49 0 0解得 x 2 = 5 (x 2 = 20 舍去），则 y 2 = 1 ，因此 P 的坐标为( 10 , 2 ) 0 2 0 0 2 2 2综上，直线 l 的方程为 y = - 5x + 3 19.本小题主要考查利用导数研究初等函数的性质，考查综合运用数学思想方法分析与解决问题以及逻辑推理能力满分 16 分解：（1）函数 f（x）=x，g（x）=x2+2x-2，则 f（x）=1，g（x）=2x+2 由 f（x）=g（x）且 f（x）= g（x），得x = x2 + 2x - 21 = 2

17、x + 2，此方程组无解，因此，f（x）与 g（x）不存在“S”点（2）函数 （f x）= ax2 - 1 ， g(x) = ln x ，则 f（ x）= 2ax ，g（ x）= 1 x设 x0 为 f（x）与 g（x）的“S”点，由 f（x0）=g（x0）且 f（x0）=g（x0），得ax2 - 1 = ln x 0 0 ax2 - 1 = ln x 1 ，即0 0 ，（*）2ax0 =2ax2 = 10 x0 1 - 1 1 e得ln x0 = - 2，即 x = e 2 ，则 a = = - 1 22(e 2 )2当 a =e - 1时， x0 = e 2 满足方程组（*），即 x0 为

18、 f（x）与 g（x）的“S”点2因此，a 的值为 e 2（3）对任意 a0，设 h(x) = x3 - 3x2 - ax + a 因为 h(0) = a 0 ，h(1) = 1 - 3 - a + a = -2 000函数 f (x) = -x2+ a ，g(x) =0bex，xex0 (1 - x )则 f (x) = -2x ，g(x) =bex (x - 1)x2由 f（x）=g（x）且 f（x）=g（x），得-x2 + a= bex-x2 + a，即2x3 ex= 0 ex0 (1 - x ) x（*）-2x= bex (x - 1)x2-2x2x3= 0 ex0 (1 - x )e

19、x (x - 1)x2此时， x0 满足方程组（*），即 x0 是函数 f（x）与 g（x）在区间（0，1）内的一个“S点”因此，对任意 a0，存在 b0，使函数 f（x）与 g（x）在区间（0，+）内存在“S 点”20.本小题主要考查等差和等比数列的定义、通项公式、性质等基础知识，考查代数推理、转化与化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力满分 16 分解：（1）由条件知： a = (n - 1)d , b= 2n-1 n n因为| an - bn | b1 对 n=1，2，3，4 均成立，即| (n - 1)d - 2n-1 | 1 对 n=1，2，3，4 均成立，即 1 1，1 d 3

20、，3 2d 5，7 3d 9，得 7 d 5 3 27 5因此，d 的取值范围为 , 3 2（2）由条件知： a = b + (n - 1)d , b = b qn-1 n 1 n 1若存在 d，使得| an - bn | b1 （n=2，3，m+1）成立，1 1 1即 | b + (n - 1)d - b qn-1 | b (n = 2, 3, , m + 1) ，n = 2, 3, , m + 1qn-1 - 2 qn-1 即当 时，d 满足n - 1 b1 dn - 1 b1 因为q (1, m 2 ，则1 n = 2, 3, , m + 1从而 bn -1 10 ， n - 1 b1

21、0 ，对 均成立因此，取 d=0 时， | an - bn | b1 对 n = 2, 3, , m + 1 均成立下面讨论数列qn-1 - 2n - 1qn-1 的最大值和数列 的最小值（n -1n = 2, 3, , m + 1 ）当2 n m 时， qn - 2 - qn-1 - 2 = nqn - qn - nqn-1 + 2 = n(qn - qn-1) - qn + 2 ， n n - 1n(n - 1)n(n - 1)1当1 0 因此，当2 n m + 1qn-1 - 2时，数列 单调递增，n - 1qn-1 - 2故数列 的最大值为n - 1qm - 2m设 f (x) = 2

22、x (1 - x) ，当 x0 时， f (x) = (ln 2 - 1 - x ln 2)2x 0 ，所以 f (x) 单调递减，从而 f (x) f（0）=1qn n q(n - 1) 1 1 1当2 n m 时，= 2n (1 - ) = f ( ) 1 ，因此，当qn-1n - 12 n m + 1n n nqn-1时，数列 单调递减，n -1qn-1 qm故数列 的最小值为 n -1 mb (qm - 2) b qm因此，d 的取值范围为 1 , 1 m m数学(附加题)21.【选做题】本题包括 A、B、C、D 四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答若多做，则按作答的前两

23、小题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤A选修 41：几何证明选讲(本小题满分 10 分)如图，圆 O 的半径为 2，AB 为圆 O 的直径，P 为 AB 延长线上一点，过 P 作圆 O 的切线，切点为 C若 PC = 2B选修 42：矩阵与变换(本小题满分 10 分)1 2 已知矩阵 A = 2 3 （1）求 A 的逆矩阵 A-1 ；，求 BC 的长（2）若点 P 在矩阵 A 对应的变换作用下得到点 P(3,1) ，求点 P 的坐标C选修 44：坐标系与参数方程(本小题满分 10 分)在极坐标系中，直线 l 的方程为 sin( - ) = 2 ，曲线 C 的方程为 = 4 cos ，

24、求直线 l6被曲线 C 截得的弦长D选修 45：不等式选讲(本小题满分 10 分)若 x，y，z 为实数，且 x+2y+2z=6，求 x2 + y2 + z2 的最小值【必做题】第 22 题、第 23 题，每题 10 分，共计 20 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤22（本小题满分 10 分）如图，在正三棱柱 ABC-A1B1C1 中，AB=AA1=2，点 P，Q 分别为 A1B1，BC 的中点（1）求异面直线 BP 与 AC1 所成角的余弦值；（2）求直线 CC1 与平面 AQC1 所成角的正弦值23(本小题满分 10 分)设 n N* ，对 1，2，n

25、的一个排列i i i ，如果当 si ，则称(i , i ) 是排列i1i2 in 的一个逆序，排列i1i2 in 的所有逆序的总个数称为其逆序数例如：对1，2，3的一个排列 231，只有两个逆序(2，1)，(3，1)，则排列 231 的逆序数为 2记 fn (k ) 为 1，2，n 的所有排列中逆序数为 k 的全部排列的个数（1）求 f3 (2), f4 (2) 的值；（2）求 fn (2)(n 5) 的表达式(用 n 表示)数学(附加题)参考答案21.【选做题】A选修 41：几何证明选讲本小题主要考查圆与三角形等基础知识，考查推理论证能力满分 10 分 证明：连结 OC因为 PC 与圆 O 相切，