二项期权价格分析的基本计算方法.docx

1、二项期权价格分析的基本计算方法二项期权的定价计算第1章前言1.1发展历程及研究目的和意义期权是购买方支付一定的期权费后所获得的在将来允许的时间买或卖 一定数量的基础商品的选择权。期权价格是期权合约中唯一随市场供求变化 而改变的变量，它的高低直接影响到买卖双方的盈亏状况， 是期权交易的核心问题。70年代以来，伴随着期权市场的迅速发展，期权定价理论的研究 取得了突破性进展。1973年，美国芝加哥大学学者F 布莱克和M 肖莱斯提出了布莱克一 肖莱斯期权定价模型，对股票期权的定价作了详细的讨论。 针对布莱克一肖 莱斯模型股价波动假设过于严格，未考虑股息派发的影响等问题，考克斯、 罗斯和罗宾斯坦等人提出

2、了二项分布期权定价模型， 又称考克斯一罗斯一罗 宾斯坦模型。这两种期权定价模型都是西方期权定价模型的经典，是伴随着期权交 易，特别是场内期权交易的扩大与发展而逐渐丰富与成熟起来的。 这些理论基本上是以期权的交易为背景，并直接服务于这种实践，具有一定的科学价 值和借鉴意义。研究西方期权定价理论，不仅有助于深化我们对期权及其他金融创新工 具的研究，且对我国实业界在条件成熟是进入国际期权市场具有一定意义。1.2二项期权的Excel计算二项期权模型具有较强的实践性，对于期权交易有一定的指导作用。用 二叉树来模拟二项期权使得它更加直白， 而且在时间足够长的情况下，它趋 于连续，贴近实际。在实际的应用中关

3、于它的计算用 Excel以实现。Excel 是现成的软件，它的计算相对简单实用，而且具有很好的灵活性。能够在表 单中明了的显示出各个时间节点的期权价格。第2章二项期权定价分析的基本方法期权交易和股票交易是金融市场交易的重要组成部分， 二项期权的定价 依据是在第一次买进的时候，能建立起一个零风险套头交易，或者说可以使 用一个证券组合来模拟期权的价值，该证券组合在没有套利机会时应等于买 权的价格；反之，如果存在套利机会，投资者则可以买两种产品中价格便宜 者，卖出价格较高者，从而获得无风险收益，当然这种套利机会只会在极短 的时间里存在。这一证券组合的主要功能是给出了买权的定价方法。2.1相关概念期权

4、又称为选择权，是在期货的基础上产生的一种衍生性金融工具。从 其本质上讲，期权实质上是在金融领域中将权利和义务分开进行定价， 使得 权利的受让人在规定时间内对于是否进行交易， 行使其权利，而义务方必须 履行。在期权中以期权涨跌情况，可分为看涨期权和看跌期权。某人可以购买 一种机会，在未来依约定价格购买一股股票。种种不附带义务的未来购买机 会称为看涨期权。下面是期权中的一些条款：期权的购买者向售出者支付费用，即升水；在到期日，合约的买方以执行价向合约卖方支付；如果合约卖方收到买房以交易价支付， 在到期日他必须交付一股股票 给买方你也可以购得另外一种机会，在未来以确定的价格出售一股股票，即使 你并不

5、持有任何股票。这种未来售出的机会被称作看跌期权。下面是期权的 一些条款：期权的购买者向售出者支付费用，即升水；在到期日，合约的买方也许给合约的卖方一股股票， 或者的量的一股股票的市场价格；-如果合约卖方从合约买房收到股票或其价格， 在到期日他必须支付执行费用给对方。从合约双方受到的权利限制可分为欧式期权和美式期权。 在交易中，买 房的权利受到制约，即只有在到期日才能执行它的期权。 这种期权称为欧式 期权。另外一种期权称为美式期权，限制较少，允许买方在到期日前的任何时 候行使期权。当然，一旦它被执行，合约就清算完成。美式期权比欧式期权 的现金流收入更高2。2.2期权定价的三种方法如上节所述，股票

6、（欧式）看涨期权是指在到期日的某一天买入股票的权 利，而不是义务。购买价是事先商定的；它被称为执行价。随着到期日的接 近，期权价格下跌；执行价离现价越远，期权价格越高。那么，期权的价格 被定为多少才合适呢？由于股票价格的不稳定性，我们需要做一个假设，即在股票的到期日股 票的价格只能是两种特定价格中的一个。 在这里，讨论三种解决期权定价问题的方法。第一种方法称为博弈论方法，第二种是资产组合复制的方法，第 三种概率方法或期望价值方法。2.2.1博弈论方法假设我们的股票在时间只有两个价值。如果股票处于上涨的状态 Su， 那么衍生产品价格为U，如果股票处于上涨的状态Sd，那么衍生产品价格 为D（如图2

7、-1）。股价二叉树衍生产品二叉树图2-1股价和衍生产品二叉树我们通过买入1股衍生产品和卖出a股股票构造资产组合，那么资产组合的初始价值是:0 VoaSo我们可以选择a的值使得资产组合的价值与股票的最终状态无关。上升时： u U aSu下降时：d D aSd如果令:U aSuD aSd那么，我们可以选择:U DaSu Sd比率 V/ S在期权和衍生产品定价中起到至关重要的作用。我们把 a 引入计算：资产组合的初始成本=V0 aS0资产组合的最终价值=U aSu因为该资产组合投资没有风险，并且无风险回报率是 r，我们一定有：Vo aSo e U aSu解这个方程，得到衍生产品的定价公式：Vo aS

8、0 U aSu e rt (2-1)这个公式给出了衍生产品的正确价格，因为如果价格和 Vo不一致，将会有获得无风险利润的套利的机会2.2.2资产组合复制与上节所述，我们设股票在时间t 0的价格为So，该股票在时间t 有 两个个可能的价格(见图2-2) 0SuS- VSd D股价二叉树 衍生产品二叉树图2-2股价和衍生产品二叉树市场上也存在股票的衍生证券V ,其价值在时间t 取决于S的表现, 如果S上涨，V价值为U，如果S下降，V价值为D。但是V现在的价值是 都少呢？我们需要另外引入一个无风险投资，假设无风险投资的利率为 r，我们 可利用这个利率在市场上进行短期借贷。 再设我们的资产组合 ，包含

9、了 a 单位的股票和b单位的债券，资产组合在时间t 0的价值0就是0 aS0 b让我们计算时间t时的价值。我们的股票模型给出资产组合的两个未来价值。上升状态:下降状态:aSu bertaSd bert我们再令aSuaSdbebe(2-2)因此，我们资产组合的价值和衍生证券的价值一致该资产组合复制了衍生证券V。因为该资产组合和衍生证券在时间t3。有相同的价值,他们今天应该有相同的价值。毕竟它们在未来时间里价格是没有差异的 我们得出结论:V0 aS0 b只要用公式（2-2）我们解出a和b，V。的表达式就会有一个显性的形 式。a和b可以用如下两个线性方程加以表示：U D aSuSd(2-3)尽管这些

10、表达式看上去很复杂，单的。结合上面三个表达式，我们得到:丄_DSu e rtSu Sd它们在计算资产组合的价值时是比较简Vo aSoU aSU e rt由此，我们又得到了公式(2-1),我们特别需要关注的是Vo的表达式。SdSort e如果将U项和D项分开来，得到S0 rt SuVo U e eS Sd Su Sd5 ertSoe US,rtSoSdSdSd Su Sde DSuS SdSueSu SdeSSu Sdrt这里有一些值有特定的含义忽略指数相，Ue S。Sd q Su Sd ，的系数是:D的系数是:5 eSSu &那么我们资产组合的价值简化为V0 e rt qU 1公式(2-4)说

11、明资产组合的现值是由对未来资产组合的平均值贴 被认为是贴现因子)现得到的。实际上，如果我们能够证明0 q 达式可以看做为概率。再来看q的值：ertSo Sd(2-4)rt(e1，q的表qSu Sd(2-5)如果q是负数，那么该股票将是一笔好买卖，(2-5)中的分子为负数所 以e So Sd，股票在未来时刻表现最差是的价值 Sd，也超过我们在债券市 场上的投资So美元所得到的回报。注意到债券回报是 e 美元。这将被认 为是稳赚钱计划，即套利的又一例子，我们相信现实世界不存在这样的好事。1 q的值为负数的情况同样也是不现实的。由公式(2-4)之前的表达式得知：Surte So并且如果分子为负数，该

12、股票将变得没有价值。因为在这种情况下，股票的最佳未来价值，Su ,也低于我们在债券市场上投资 So美元所得到的回报。并没有任何的理由买入这样的股票。再次，市场上不会出现这样的股票行为。所以假设q满足概率条件是实现的，同时这也促使我们将公式 (2-4)中 简单投资组合的价值重新表示如下：V。e rt qU 1 q D e rt Eq V1 (2-6)公式(2-6)的下标表示，我们用来计算的概率是由公式(2-5)给出的有特定意 义的无套利定价概率，q，也称为风险中性概率4。除了q值之外，另外一个重要的量也值得记住。在本节中我们集中讨论 了匹配或复制其他股权的资产组合，其关键思想就是持有一定量的某种

13、股 票。公式(2-3)表明应持有的股票股数：股数=一 (2-7)Su Sd这个值刚好是在博弈论方法中出现的a呵o2.2.3概率方法让我们从现实的市场特征请将开始。 我们已知股票股价为100美元，上涨时价格为120美元，下跌时为90美元。假设我们观察一年的市场行为。 股票上涨的概率p的合理选择(见图2-3)，是使股票的期望回报大致在15%左右。该回报比我们将100美元投资于安全的银行账户要高得多图2-3股价二叉树与该期望收益率相匹配的近似的 p值为p 0.90。该回报看起来非常喜 人。而期望回报为：E(P) 0.9(120 100) 0.1(90 100) 17(美元)注意到尽管每年的期望回收率

14、是17%但是存在一些不确定性。因为涉 及到的仅仅是一个可能的成功，我们应当记得：90%勺可能性你赚20美元10%勺可能性你赔10美元在这些情况下，很多投资者会买入股票，股票价格较大概率的上升可以 抵消小概率的损失，因为该项投资选择对于那些可以承担一定损失的风险是 吸引人的。然而，每个投资者是不同的。我们如何决定该股票合理的风险和报酬？这个 问题似乎没有答案。我们引入一个假想的投资者，我没称之为 HX他有以下特征：1.HX为风险中性投资者；这与保守型投资者有很大的差异，一位风险 中性的投资者是风险无差异的，即对于他来说，确定得到1美元的投资 并不比期望值为1的不确定性投资更有吸引力。大多数人并非

15、风险中性。保险行业正是由于这一特点而得以存在 。2.对于HX而言，上面介绍的股票和无风险投资之间是没有差异的。基于这些假设，图2-3显示的股票模型中的p值为多少时，可以得5% 的股票回报(0.05)对于投资者具有相同的吸引力呢？如果我们构造一个包含1股股票的资产组合 ，那么0 100美元，并且一年以后E 1 120 p 90 1 p 30 p 90如果我们仅仅以无风险利率投资100美元，那么那项选择在一年后的价 值将为105美元，风险中性的HX将这些投资等同看待，即30p 90 105从而： p 0.5重要说明：我们刚求出的p值并不一定和投资者的观点以及股票市场涨跌的实际情况相对应。它仅仅是一个产生于与风险回报相等的股票回报 （仅仅从假想的角度而言）。现在，我们用这个p值计算股票看涨期权的期望价值。C为看涨期权的 价格，前面已给定执行价为105美元，那么E C p（120 105） 1 p 90 105 0.5*15 0.5* 0 7.50然而，我们支付看涨期权发生在现在，一年后才能得到看涨期权的赔偿， 因此，我们应当对看涨期权的期望收益贴现，这样，我们得到的价值为EC/1.05 7.50/1.05 7.14（美元）另外，把以上数据，带入博弈论方法和资产组合复制方法的计算公式当 中，我们也能得到同样的结果。