小学数学30种典型应用题讲解.docx

1、小学数学30种典型应用题讲解小学数学30种典型应用题讲解30类典型应用题：1、归一问题2、归总问题3、和差问题4、和倍问题5、差倍问题6、倍比问题7、相遇问题8、追及问题9、植树问题10、年龄问题11、行船问题12、列车问题13、时钟问题14、盈亏问题15、工程问题16、正反比例问题17、按比例分配18、百分数问题19、“牛吃草”问题20、鸡兔同笼问题21、方阵问题22、商品利润问题23、存款利率问题24、溶液浓度问题25 构图布数问题26、幻方问题27、抽屉原则问题28、公约公倍问题29、最值问题30、列方程问题1 归一问题【含义】 在解题时，先求出一份是多少（即单一量），然后以单一量为标准

2、，求出所要求的数量。这类应用题叫做归一问题。【数量关系】 总量份数1份数量 1份数量所占份数所求几份的数量 另一总量（总量份数）所求份数【解题思路和方法】 先求出单一量，以单一量为标准，求出所要求的数量。例1 买5支铅笔要0.6元钱，买同样的铅笔16支，需要多少钱？解（1）买1支铅笔多少钱？ 0.650.12（元） （2）买16支铅笔需要多少钱？0.12161.92（元）列成综合算式 0.65160.12161.92（元） 答：需要1.92元。例2 3台拖拉机3天耕地90公顷，照这样计算，5台拖拉机6 天耕地多少公顷？解（1）1台拖拉机1天耕地多少公顷？ 903310（公顷） （2）5台拖拉机

3、6天耕地多少公顷？ 1056300（公顷）列成综合算式 9033561030300（公顷） 答：5台拖拉机6 天耕地300公顷。2 归总问题【含义】 解题时，先找出“总数量”，然后再根据其它条件算出所求的问题，叫归总问题。所谓“总数量”是指货物的总价、几小时（几天）的总工作量、几公亩地上的总产量、几小时行的总路程等。【数量关系】 1份数量份数总量 总量1份数量份数 总量另一份数另一每份数量【解题思路和方法】 先求出总数量，再根据题意得出所求的数量。例1 服装厂原来做一套衣服用布3.2米，改进裁剪方法后，每套衣服用布2.8米。原来做791套衣服的布，现在可以做多少套？解 （1）这批布总共有多少米

4、？ 3.27912531.2（米） （2）现在可以做多少套？ 2531.22.8904（套）列成综合算式 3.27912.8904（套）答：现在可以做904套。例2 小华每天读24页书，12天读完了红岩一书。小明每天读36页书，几天可以读完红岩？解 （1）红岩这本书总共多少页？ 2412288（页） （2）小明几天可以读完红岩？ 288368（天）列成综合算式 2412368（天）答：小明8天可以读完红岩。3 和差问题【含义】 已知两个数量的和与差，求这两个数量各是多少，这类应用题叫和差问题。【数量关系】 大数（和差） 2 小数（和差） 2【解题思路和方法】 简单的题目可以直接套用公式；复杂的

5、题目变通后再用公式。例1 甲乙两班共有学生98人，甲班比乙班多6人，求两班各有多少人？解 甲班人数（986）252（人） 乙班人数（986）246（人） 答：甲班有52人，乙班有46人。例2 长方形的长和宽之和为18厘米，长比宽多2厘米，求长方形的面积。解 长（182）210（厘米） 宽（182）28（厘米）长方形的面积 10880（平方厘米） 答：长方形的面积为80平方厘米。4 和倍问题【含义】 已知两个数的和及大数是小数的几倍（或小数是大数的几分之几），要求这两个数各是多少，这类应用题叫做和倍问题。【数量关系】 总和 （几倍1）较小的数 总和 较小的数 较大的数 较小的数 几倍 较大的数【

6、解题思路和方法】 简单的题目直接利用公式，复杂的题目变通后利用公式。例1 果园里有杏树和桃树共248棵，桃树的棵数是杏树的3倍，求杏树、桃树各多少棵？解 （1）杏树有多少棵？ 248（31）62（棵） （2）桃树有多少棵？ 623186（棵）答：杏树有62棵，桃树有186棵。例2 东西两个仓库共存粮480吨，东库存粮数是西库存粮数的1.4倍，求两库各存粮多少吨？解 （1）西库存粮数480（1.41）200（吨） （2）东库存粮数480200280（吨）答：东库存粮280吨，西库存粮200吨。5 差倍问题【含义】 已知两个数的差及大数是小数的几倍（或小数是大数的几分之几），要求这两个数各是多少，

7、这类应用题叫做差倍问题。【数量关系】 两个数的差（几倍1）较小的数 较小的数几倍较大的数【解题思路和方法】 简单的题目直接利用公式，复杂的题目变通后利用公式。例1 果园里桃树的棵数是杏树的3倍，而且桃树比杏树多124棵。求杏树、桃树各多少棵？解 （1）杏树有多少棵？ 124（31）62（棵） （2）桃树有多少棵？ 623186（棵）答：果园里杏树是62棵，桃树是186棵。6 倍比问题【含义】 有两个已知的同类量，其中一个量是另一个量的若干倍，解题时先求出这个倍数，再用倍比的方法算出要求的数，这类应用题叫做倍比问题。【数量关系】 总量一个数量倍数 另一个数量倍数另一总量【解题思路和方法】 先求出

8、倍数，再用倍比关系求出要求的数。例1 100千克油菜籽可以榨油40千克，现在有油菜籽3700千克，可以榨油多少？解 （1）3700千克是100千克的多少倍？ 370010037（倍） （2）可以榨油多少千克？ 40371480（千克）列成综合算式 40（3700100）1480（千克）答：可以榨油1480千克。例2 今年植树节这天，某小学300名师生共植树400棵，照这样计算，全县48000名师生共植树多少棵？解 （1）48000名是300名的多少倍？ 48000300160（倍） （2）共植树多少棵？ 40016064000（棵）列成综合算式 400（48000300）64000（棵）答：全

9、县48000名师生共植树64000棵。7 相遇问题【含义】 两个运动的物体同时由两地出发相向而行，在途中相遇。这类应用题叫做相遇问题。【数量关系】 相遇时间总路程（甲速乙速）总路程（甲速乙速）相遇时间【解题思路和方法】 简单的题目可直接利用公式，复杂的题目变通后再利用公式。例1 南京到上海的水路长392千米，同时从两港各开出一艘轮船相对而行，从南京开出的船每小时行28千米，从上海开出的船每小时行21千米，经过几小时两船相遇？解 392（2821）8（小时）答：经过8小时两船相遇。例2 小李和小刘在周长为400米的环形跑道上跑步，小李每秒钟跑5米，小刘每秒钟跑3米，他们从同一地点同时出发，反向而

10、跑，那么，二人从出发到第二次相遇需多长时间？解 “第二次相遇”可以理解为二人跑了两圈。因此总路程为4002相遇时间（4002）（53）100（秒）答：二人从出发到第二次相遇需100秒时间。8 追及问题【含义】 两个运动物体在不同地点同时出发（或者在同一地点而不是同时出发，或者在不同地点又不是同时出发）作同向运动，在后面的，行进速度要快些，在前面的，行进速度较慢些，在一定时间之内，后面的追上前面的物体。这类应用题就叫做追及问题。【数量关系】 追及时间追及路程（快速慢速） 追及路程（快速慢速）追及时间【解题思路和方法】 简单的题目直接利用公式，复杂的题目变通后利用公式。例1 好马每天走120千米，

11、劣马每天走75千米，劣马先走12天，好马几天能追上劣马？解 （1）劣马先走12天能走多少千米？ 7512900（千米） （2）好马几天追上劣马？ 900（12075）20（天）列成综合算式 7512（12075）9004520（天）答：好马20天能追上劣马。例2 小明和小亮在200米环形跑道上跑步，小明跑一圈用40秒，他们从同一地点同时出发，同向而跑。小明第一次追上小亮时跑了500米，求小亮的速度是每秒多少米。解 小明第一次追上小亮时比小亮多跑一圈，即200米，此时小亮跑了（500200）米，要知小亮的速度，须知追及时间，即小明跑500米所用的时间。又知小明跑200米用40秒，则跑500米用4

12、0（500200）秒，所以小亮的速度是 （500200）40（500200）3001003（米）答：小亮的速度是每秒3米。9 植树问题【含义】 按相等的距离植树，在距离、棵距、棵数这三个量之间，已知其中的两个量，要求第三个量，这类应用题叫做植树问题。【数量关系】 线形植树 棵数距离棵距1 圆形植树 棵树=圆形周长棵距 闭合环形植树 棵数距离棵距 方形植树 棵数方形周长棵距 三角形 棵树=三角形周长棵距 面积植树 棵数面积（棵距行距）【解题思路和方法】 先弄清楚植树问题的类型，然后可以利用公式。例1 一条河堤136米，每隔2米栽一棵垂柳，头尾都栽，一共要栽多少棵垂柳？解 1362168169（棵

13、）答：一共要栽69棵垂柳。例2 一个圆形池塘周长为400米，在岸边每隔4米栽一棵白杨树，一共能栽多少棵白杨树？解 4004100（棵） 答：一共能栽100棵白杨树。10 年龄问题【含义】 这类问题是根据题目的内容而得名，它的主要特点是两人的年龄差不变，但是，两人年龄之间的倍数关系随着年龄的增长在发生变化。【数量关系】年龄问题往往与和差、和倍、差倍问题有着密切联系，尤其与差倍问题的解题思路是一致的，要紧紧抓住“年龄差不变”这个特点。【解题思路和方法】 可以利用“差倍问题”的解题思路和方法。 两个数的差（几倍1）较小的数例1 爸爸今年35岁，亮亮今年5岁，今年爸爸的年龄是亮亮的几倍？明年呢？解 3

14、557（倍） （35+1）（5+1）6（倍）答：今年爸爸的年龄是亮亮的7倍，明年爸爸的年龄是亮亮的6倍。例2 母亲今年37岁，女儿今年7岁，几年后母亲的年龄是女儿的4倍？解 （1）母亲比女儿的年龄大多少岁？ 37730（岁） （2）几年后母亲的年龄是女儿的4倍？30（41）73（年）列成综合算式 （377）（41）73（年）答：3年后母亲的年龄是女儿的4倍。11 行船问题【含义】 行船问题也就是与航行有关的问题。解答这类问题要弄清船速与水速，船速是船只本身航行的速度，也就是船只在静水中航行的速度；水速是水流的速度，船只顺水航行的速度是船速与水速之和；船只逆水航行的速度是船速与水速之差。【数量关

15、系】 （顺水速度逆水速度）2船速 （顺水速度逆水速度）2水速 顺水速船速+水速逆水速水速2 逆水速船速-水速顺水速水速2【解题思路和方法】 大多数情况可以直接利用数量关系的公式。例1 一只船顺水行320千米需用8小时，水流速度为每小时15千米，这只船逆水行这段路程需用几小时？解 由条件知，顺水速船速水速3208，而水速为每小时15千米，所以，船速为每小时 32081525（千米）船的逆水速为 251510（千米）船逆水行这段路程的时间为 3201032（小时）答：这只船逆水行这段路程需用32小时。例2 甲船逆水行360千米需18小时，返回原地需10小时；乙船逆水行同样一段距离需15小时，返回原

16、地需多少时间？解由题意得 甲船速水速3601036 甲船速水速3601820可见 （3620）相当于水速的2倍，所以， 水速为每小时 （3620）28（千米）又因为， 乙船速水速36015，所以， 乙船速为 36015832（千米）乙船顺水速为 32840（千米）所以， 乙船顺水航行360千米需要 360409（小时）答：乙船返回原地需要9小时。12 列车问题【含义】 这是与列车行驶有关的一些问题，解答时要注意列车车身的长度。【数量关系】 火车过桥：过桥时间（车长桥长）车速 火车追及：追及时间（甲车长乙车长距离）（甲车速乙车速） 火车相遇：相遇时间（甲车长乙车长距离）（甲车速乙车速）【解题思路

17、和方法】 大多数情况可以直接利用数量关系的公式。例1 一座大桥长2400米，一列火车以每分钟900米的速度通过大桥，从车头开上桥到车尾离开桥共需要3分钟。这列火车长多少米？解 火车3分钟所行的路程，就是桥长与火车车身长度的和。（1）火车3分钟行多少米？ 90032700（米）（2）这列火车长多少米？ 27002400300（米）列成综合算式 90032400300（米）答：这列火车长300米。例2 一列长200米的火车以每秒8米的速度通过一座大桥，用了2分5秒钟时间，求大桥的长度是多少米？解 火车过桥所用的时间是2分5秒125秒，所走的路程是（8125）米，这段路程就是（200米桥长），所以，

18、桥长为8125200800（米）答：大桥的长度是800米。例3 一列长225米的慢车以每秒17米的速度行驶，一列长140米的快车以每秒22米的速度在后面追赶，求快车从追上到追过慢车需要多长时间？解 从追上到追过，快车比慢车要多行（225140）米，而快车比慢车每秒多行（2217）米，因此，所求的时间为（225140）（2217）73（秒）答：需要73秒。150（223）6（秒）13 时钟问题【含义】 就是研究钟面上时针与分针关系的问题，如两针重合、两针垂直、两针成一线、两针夹角为60度等。时钟问题可与追及问题相类比。【数量关系】 分针的速度是时针的12倍， 二者的速度差为11/12。 通常按追

19、及问题来对待，也可以按差倍问题来计算。【解题思路和方法】 变通为“追及问题”后可以直接利用公式。例1 从时针指向4点开始，再经过多少分钟时针正好与分针重合？解 钟面的一周分为60格，分针每分钟走一格，每小时走60格；时针每小时走5格，每分钟走5/601/12格。每分钟分针比时针多走（11/12）11/12格。4点整，时针在前，分针在后，两针相距20格。所以分针追上时针的时间为 20（11/12） 22（分）答：再经过22分钟时针正好与分针重合。例2 四点和五点之间，时针和分针在什么时候成直角？解 钟面上有60格，它的1/4是15格，因而两针成直角的时候相差15格（包括分针在时针的前或后15格两

20、种情况）。四点整的时候，分针在时针后（54）格，如果分针在时针后与它成直角，那么分针就要比时针多走 （5415）格，如果分针在时针前与它成直角，那么分针就要比时针多走（5415）格。再根据1分钟分针比时针多走（11/12）格就可以求出二针成直角的时间。 （5415）（11/12） 6（分）（5415）（11/12） 38（分）答：4点06分及4点38分时两针成直角。例3 六点与七点之间什么时候时针与分针重合？解 六点整的时候，分针在时针后（56）格，分针要与时针重合，就得追上时针。这实际上是一个追及问题。（56）（11/12） 33（分）答：6点33分的时候分针与时针重合。14 盈亏问题【含义

21、】 根据一定的人数，分配一定的物品，在两次分配中，一次有余（盈），一次不足（亏），或两次都有余，或两次都不足，求人数或物品数，这类应用题叫做盈亏问题。【数量关系】 一般地说，在两次分配中，如果一次盈，一次亏，则有：参加分配总人数（盈亏）分配差如果两次都盈或都亏，则有：参加分配总人数（大盈小盈）分配差参加分配总人数（大亏小亏）分配差【解题思路和方法】 大多数情况可以直接利用数量关系的公式。例1 给幼儿园小朋友分苹果，若每人分3个就余11个；若每人分4个就少1个。问有多少小朋友？有多少个苹果？解 按照“参加分配的总人数（盈亏）分配差”的数量关系：（1）有小朋友多少人？ （111）（43）12（人）

22、（2）有多少个苹果？ 3121147（个）答：有小朋友12人，有47个苹果。例2 修一条公路，如果每天修260米，修完全长就得延长8天；如果每天修300米，修完全长仍得延长4天。这条路全长多少米？解 题中原定完成任务的天数，就相当于“参加分配的总人数”，按照“参加分配的总人数（大亏小亏）分配差”的数量关系，可以得知原定完成任务的天数为 （26083004）（300260）22（天）这条路全长为 300（224）7800（米）答：这条路全长7800米。例3 学校组织春游，如果每辆车坐40人，就余下30人；如果每辆车坐45人，就刚好坐完。问有多少车？多少人？解 本题中的车辆数就相当于“参加分配的总

23、人数”，于是就有（1）有多少车？ （300）（4540）6（辆）（2）有多少人？ 40630270（人）答：有6 辆车，有270人。15 工程问题【含义】 工程问题主要研究工作量、工作效率和工作时间三者之间的关系。这类问题在已知条件中，常常不给出工作量的具体数量，只提出“一项工程”、“一块土地”、“一条水渠”、“一件工作”等，在解题时，常常用单位“1”表示工作总量。【数量关系】 解答工程问题的关键是把工作总量看作“1”，这样，工作效率就是工作时间的倒数（它表示单位时间内完成工作总量的几分之几），进而就可以根据工作量、工作效率、工作时间三者之间的关系列出算式。工作量工作效率工作时间 工作时间工作

24、量工作效率工作时间总工作量（甲工作效率乙工作效率）【解题思路和方法】 变通后可以利用上述数量关系的公式。例1 一项工程，甲队单独做需要10天完成，乙队单独做需要15天完成，现在两队合作，需要几天完成？解 题中的“一项工程”是工作总量，由于没有给出这项工程的具体数量，因此，把此项工程看作单位“1”。由于甲队独做需10天完成，那么每天完成这项工程的1/10；乙队单独做需15天完成，每天完成这项工程的1/15；两队合做，每天可以完成这项工程的（1/101/15）。由此可以列出算式： 1（1/101/15）11/66（天）答：两队合做需要6天完成。16 正反比例问题【含义】 两种相关联的量，一种量变化

25、，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比的比值一定（即商一定），那么这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。正比例应用题是正比例意义和解比例等知识的综合运用。两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。反比例应用题是反比例的意义和解比例等知识的综合运用。【数量关系】 判断正比例或反比例关系是解这类应用题的关键。许多典型应用题都可以转化为正反比例问题去解决，而且比较简捷。【解题思路和方法】 解决这类问题的重要方法是：把分率（倍数）转化为比，应用比和比例的性质去解应用题。正反

26、比例问题与前面讲过的倍比问题基本类似。例1 修一条公路，已修的是未修的1/3，再修300米后，已修的变成未修的1/2，求这条公路总长是多少米？解 由条件知，公路总长不变。原已修长度总长度1（13）14312现已修长度总长度1（12）13412比较以上两式可知，把总长度当作12份，则300米相当于（43）份，从而知公路总长为 300（43）123600（米）答： 这条公路总长3600米。例2 张晗做4道应用题用了28分钟，照这样计算，91分钟可以做几道应用题？解 做题效率一定，做题数量与做题时间成正比例关系设91分钟可以做X应用题 则有 28491X28X914 X91428 X13答：91分钟

27、可以做13道应用题。17 按比例分配问题【含义】 所谓按比例分配，就是把一个数按照一定的比分成若干份。这类题的已知条件一般有两种形式：一是用比或连比的形式反映各部分占总数量的份数，另一种是直接给出份数。【数量关系】 从条件看，已知总量和几个部分量的比；从问题看，求几个部分量各是多少。 总份数比的前后项之和【解题思路和方法】 先把各部分量的比转化为各占总量的几分之几，把比的前后项相加求出总份数，再求各部分占总量的几分之几（以总份数作分母，比的前后项分别作分子），再按照求一个数的几分之几是多少的计算方法，分别求出各部分量的值。例1 学校把植树560棵的任务按人数分配给五年级三个班，已知一班有47人

28、，二班有48人，三班有45人，三个班各植树多少棵？解 总份数为 474845140一班植树 56047/140188（棵）二班植树 56048/140192（棵）三班植树 56045/140180（棵） 答：一、二、三班分别植树188棵、192棵、180棵。18 百分数问题【含义】 百分数是表示一个数是另一个数的百分之几的数。百分数是一种特殊的分数。分数常常可以通分、约分，而百分数则无需；分数既可以表示“率”，也可以表示“量”，而百分数只能表示“率”；分数的分子、分母必须是自然数，而百分数的分子可以是小数；百分数有一个专门的记号“%”。在实际中和常用到“百分点”这个概念，一个百分点就是1%，两

29、个百分点就是2%。【数量关系】 掌握“百分数”、“标准量”“比较量”三者之间的数量关系： 百分数比较量标准量 标准量比较量百分数【解题思路和方法】 一般有三种基本类型：（1） 求一个数是另一个数的百分之几；（2） 已知一个数，求它的百分之几是多少；（3） 已知一个数的百分之几是多少，求这个数。例2 红旗化工厂有男职工420人，女职工525人，男职工人数比女职工少百分之几？ 解 本题中女职工人数为标准量，男职工比女职工少的人数是比较量 所以 （525420）5250.220% 或者 14205250.220%答：男职工人数比女职工少20%。例3 红旗化工厂有男职工420人，女职工525人，女职工比男职工人数多百分之几？ 解 本题中以男职工人数为标准量，女职工比男职工多的人数为比较量，因此 （525420）4200.2525% 或者 52542010.2525%答：女职工人数比男职工多25%。例4 红旗化工厂有男职工420人，有女职工525人，男、女职工各占全厂职工总数的百分之几？解 （1）男职工占 420（420525）0.44444.4%（2）女职工占 525（420525）0.5