高思导引四年级第二十三讲最值问题一教师版.docx

1、高思导引四年级第二十三讲最值问题一教师版第 23 讲 最值问题一内容概述 求最大值与最小值的问题，解题时宜首先考虑起主要作用的量， 有时还需要局部调整或者枚举各种可能情形 和为定值的两数的 乘积随着两数之差的增大而减小典型问题兴趣篇13 个连续奇数相乘，所得乘积的个位数字最小可能是多少 ?答案：3 分析：乘积的个位数字是由这三个奇数的个位数字决定的。 个位 数字可能是： 1、3、5、 7、 9。通过试验个位是 7、 9、1 的三个 连续奇数相乘满足条件， 791=63 个位最小是 3.2.用 1、2、 4 可以组成 6 个没有重复数字的三位数，这些三位 数中相差最小的两个数之差是多少 ?答案：

2、9分析： 要使两个数差最小百位数字相同十位与个位数字相近。 满 足条件的是 412和 421.差是 421-412=9.3.用 24 根长 l 厘米的火柴棒围成一个矩形，这个矩形的面积最 大是多少 ?如果用 22 根火柴棒呢 ?12答案： 36平方厘米； 30 平方厘米。 分析：（1）矩形的周长是 24 厘米。长和宽的和： 24 2=12（厘 米）和为定值的两数的乘积随两数之差的增大而减少。和是的两数差为 0 是积最大。这两个数相等都是 6. 即长和宽相等面 积是 6 6=36（平方厘米）。（ 2）周长是 22 厘米。长和宽的和是 22 2=11（厘米）和是 11 差是 0 时，这样的两个数不

3、是整数。差是 1 时两数分别为 6 和5.积是 30.4三个自然数的和是 19，它们的乘积最大可能是多少 ?答案： 252分析：和一定差越小积越大。 19 3=6 1，6+6+6=18 再加 1 得 19，三个数分别是 6、6、7 时积最大。最大是 667=252. 5（1）请将 l、2、3、4 填人算式“口口口口”的方格中要使 得算式结果最大，应该怎么填 ?（2）请将 1、2、3、4、5、6 填人算式“口口口口口口”的方格 中要求 5、6 分别填在百位， 4、3 分别填在十位， 1、2 分别填 在个位，并使得算式结果最大应该怎么填 ?答案：（1）4132 （2） 542631分析：（ 1）要

4、使积最大，两个数应尽量大所以 4、3 分别在十位， 1、2 在个位。有两种情况 A：41 32=12+240+1 30+40 30=1312B：4231=12+140+2 30+40 30=1302 比较发现区别在划 横线部分，当一个数十位上的数字与另一个数个位上的数字较大 的与较大的相乘，较小与较小的数字相乘时积最大。最大是 41 （2）与（1）同理当十位上 4与百位上的 6 相乘，十位上 3与百 位上 5相乘；个位 2与百位上 6相乘，个位 1 与百位 5相乘时积 最大。其中一个数百位是 6十位是 3个位是 1即 631。另一个是 542.6.在图 23-1 的中间圆圈内填一个数，计算每一

5、条线段两端的数 之差（大减小 ），然后把这 3个差数相加，所得的和最小是多少 ? 答案：7分析：当中间数是 7 时和最小，和最小是 7。7.在所有包含 3 个相同数码的四位数中，与 1389 之差（大减小 ） 最小的一个是多少 ?答案： 1411分析：与 1389 之差（大减小）尽量与 1389 相近。所以千位是 1， 百位是 3 或 4，十位和个位是 1.即可能是 1311 或 1411.通过计算 与 1389 之差（大减小 ）差最小的是 1411.8.把 1、2、3、 4、5、6 填人算式 “ ”的空格中， 要求前一个三位数比后一个三位数大 这个减法算式的结果最大 可能是多少 ?最小可能是

6、多少 ?答案：最大： 531 最小： 47 分析：满足结果最大，被减数应尽量大，减数应尽量小。被减数 最大是 654，减数最小是 123。结果最小， 两数应接近。 被减数是 412，减数是 365 时结果最小。9.一个自然数是由数字 8、9 组成的，它的任意相邻两位都可以 看成一个两位数， 并且这些相邻数字组成的两位数都不相等 请 问：满足条件的自然数最大是多少 ?答案： 99889分析：由 8和 9组成的两位数可能是 88、89、99、984种情况。 . 要使数最大数的位数尽量大，相邻数字组成的两位数出现以上 4 种情况。满足条件的数由高位到低位排列可称为第 1 位、第 2 位、 第 3 位

7、第 1 位第 2 位组成的数最大是 99 ，第 2 位第 3 位组成 的数最大是 98 第 3 位第 4 位组成的数是 88，第 ,4 位第 5 位组成 的数是 89. 满足条件的自然数最大是 99889.10.有 7 个盘子排成一排，依次编号为 1，2，3，7每个盘 子中都放有若干玻璃球，一共放了 80个其中 1 号盘里放了 18 个玻璃球，并且任意编号相邻的 3 个盘子里放的玻璃球组成的数 之和都相等请问：第 6 个盘子中最多可能放了多少个玻璃球 ? 答案： 12分析：任意编号相邻的 3 个盘子里放的玻璃球组成的数之和都相 等。 1、2、3 号盘与 2、 3、 4 号盘玻璃球一样多。所以

8、1 号和 4 号盘都有 18个。依次往后推 7 号盘也有 18个。前 6 盘有 80-18=62 个，相邻的 3 盘有 622=31 个。4、5、6这 3个盘， 4号盘有 18 个要使第 6个盘子中最多 5号应 最少最少有 1 个，第 6 个盘最多有 31-18-1=12 个。拓展篇1.3 个连续自然数相乘，所得乘积的个位数字最大可能是多少 ?答案：6分析：只需考虑 3 个自然数的个位。个位上有 0 9 十种可能。通过试验得 3 个连续自然数个位是 1、2、3 满足条件。2. （1）在五位数 12435 的某一位数字后面再插入一个同样的数字 （例如：可以在 2 的后面插入 2 得到 12243

9、5），这样得到的六位数 最大可能是多少 ?（2）在七位数 9876789 的某一位数字后面再插入一个同样的数字， 这样得到的八位数最小是多少 ?答案：最大 124435 最小 98766789 分析：（1）使结果最大所插数字应尽量大且数位尽量靠前。试验 得出最大是 124435.（2）使结果最小，所插数字应尽量小且数位尽量靠后。试验得 出最小是 98766789.3有 9 个同学要进行象棋比赛他们准备分成两组，不同组的 人相互之间只比赛一场， 同组的人之间不比赛 他们一共最多能 比赛多少场 ?答案： 20分析：两组比赛的场数是两组人数的乘积。 两组人数的和是 9 要 使乘积最大两组人数应相近。

10、 4+5=9，两组人数分别是 4 和 5 时 比赛场数最多，一共比赛 45=20 场。43 个互不相同的自然数之和是 17，它们的乘积最大可能是多 少?答案： 168分析：三个数和一定，差越小积越大。 6+6+5=17 但有相同的数， 再做调整得 7+6+4=17.积是 76 4=168。5请将 2、3、4、 5、 6、8 填人算式“口口口口口口”的方格 中要使得算式结果最大，应该怎么填 ?答案： 842653分析：百位最大填 8 和 6，十位填 4 和 5，个位填 2 和 3。当一 个数十位上的 5 与另一个数百位上的 8 相乘，一个数个位上的 3 与另一个数百位上的 8 相乘时积最大。所以

11、两个三位数分别是 842和 653。6请将 6、7、8、9 填人算式“口口 +口口”的方格中要使 得算式结果最大，应该怎么填 ?答案： 7 8+96分析 :两数乘积与所加的两位数应尽量大。98+76=148， 8 7+96=152比较发现最大填 78+96。 7在图 23-2 的中间圆圈内填一个数，计算每一条线段两端的数 之差 （大减小 ），然后把这 5 个差数相加，所得的和最小是多少 ? 答案： 19分析：当中间数是 19 时和最小，和最小是19.8如果 7 个互不相同的自然数之和为 100，那么其中最小的数 最大可能是多少 ?最大的数最小可能是多少 ?答案： 11；18分析： 7 个互不相

12、同的自然数最小分别是 0、 1、2、3、 4、5、6 这 7个数的和是 21.100-21=79以上 7 个数分别加上相同的数也得 到 7 个不同的数。 797=112， 7 个自然数都加上 11，得 11 17 ，7 个数。余数 2 可加到最大的两个数中。所以最小是11 最大是 18。9一个多位数的各位数字互不相同， 而且各位数字之和为 23这 样的多位数最小可能是多少 ?最大可能是多少 ?答案：最小 689 最大 8543210 分析：要使最小，位数应尽量少。 23 可最少拆成 3 个不同的一 位数的和。即 23=6+8+9.所以最小是 689.要使最大，位数应尽量多。 6 个互不相同的自

13、然数最小是 0+1+2+3+4+5+6=21 ， 23-21=2 ， 0+1+2+3+4+5+8=23. 最 大 是 8543210。11如图 23-3，这是一个正方体的展开图 将它折成一个正方体 后，相交于同一顶点的 3 个面上的数之和最大是多少 ?答案： 13分析： 1-6 个数中 3 个数的和从大到小分析最大的三个数是 6+5+4=15，从图中看出 6、5、 4 不相交于同一顶点。再次 6、5、3也不想交与同一顶点。 6、4、3 相交与同一顶点。 6+4+3=13.12如图 23-4，在一个正方体方块的左下角 A 点处有一只蚂蚁， 它要沿着正方体的表面爬行至右上角的 B 点，去搬运一块食

14、 物为了使得这个蚂蚁所走的路线长度最短，它应该怎么爬行 它可以选择的最短路线一共有几条 ?正面和右面、答案：6分析 :A、B没在同一平面上，不可以连接，蚂蚁 只能从表面爬过去 ,A、B 所在的两个面展开就在同 一平面上了。直接连接 A、B 就是最短路线。展开 A、B所在的两个面有 6 种情况（正面和上面、面和后面、下面和右面、左面和上面、左面和后面） 。所以最 短路线有 6 条 超越篇1一个两位数除以它的各位数字之和，余数最大是多少 ?答案： 151、 分析： 首先，由于余数除数。所以余数要最大，那 么除数就要尽量大。而除数最大是 18。（1） 除数为 18，这个两位数只能为 99，9918余

15、 9； （ 2） 除数为 17，这个两位数只能为 98、89， 98 17 余13，8917余 4；（3） 除数为 16，这个两位数只能为 97、79、88,97 16 余 1,79 16 余 15、8816余 8.（ 4） 除数 15 时，余数小于 15.所以余数最大为 15.2 4 个小朋友，每人的体重都是整数千克，而且其中任意 3 人体重 之和都大于 99 千克这 4 个小朋友体重之和最小是多少千克 ? 答案： 134千克。分析：不妨设这四人的体重为 A、B、C、D，且 ABCD,都是整 数。由于 A+B+C 99，所 以 A+B+C100. 所以 C34. 从而 D C34. 所以 A

16、+B+C+D 100+D 100+34=134.3将 1至 30依次写成一排： 1232930，形成一个多位数 从 这个多位数中划掉 45 个数字，剩下的数最大是多少 ?如果要求剩 下的数首位不为 0，这个数最小是多少 ?答案：最大 998930 最小 100120分析：1 至 30 共 51个字码。所以去掉 45个还余下 6个字码。 要最大，则高位尽量大 998930， 要最小，高位尽量小 100120. 4用 1、2、3、4、6、7、8、9这 8个数字组成 2 个四位数，使 这 2 个数的差最小 （ 大减小 ），这个差最小是多少 ?答案： 139 分析：如图易知：要让两数之差尽量小， A只

17、能比 E 大 1，且 FGH要尽量大，最大为 987. 而 BCD要尽量小，且由 6-4=2 知， BCD为 126. 最后得： 4126-3987=139.5将 2 至 8 这 7 个自然数填入算式“口口口口一口口口” 的方格中 如果算式的计算结果为整数， 那么这个结果最大是多 少，最小是多少 ?答案：最大 6452 最小 827分析： 要让 M尽量大， 易知要 AB CD尽量大， EF G尽量小。且 AB CD影响更大，应优 先满足。这时他们最大为 85 76=6460，这时 EF G 最小为 324=8。6460-8=6452. 要让 M尽量小，易知要 ABCD 尽量 小， EF G 尽

18、量大。且 AB CD 影响更大，优先满足。这时 他 们最 小 为 24 35=840 ， 这 时 EF G 最 大 为 78 6=13.840-13=827.6如图 23-5，一只木箱的长、 宽、高分别为 5 厘米、3 厘米、4 厘米有一只甲虫从 A 点出发，沿棱爬行，每条棱只允许爬一次甲虫最多能爬行多少厘米 点，那么它最多能爬行多少厘米答案： 39 厘米， 34 厘米分析：这是一个一笔画问题，且每个点的度数为 3，都是奇1)8 个点至少要去掉 3 条线。这时候尽量去掉长度短 的线，即去掉 3 条长度为 3 的线。这时去掉 BC、FG、 EH 即可。路线为 A-B-F-E-A-D-H-G-C-

19、D, 共 54+4 4+3 1=39 厘米。2)若而从 A出发，最后要回到 A点，那么 8 个点要去 掉 4 条线。这时候尽量去掉长度短的线，很明显去 掉 4 条长度为 3 的线是不行的。假如去掉 3 条长度 为 3 的线，这时从四边形 ABEF的某个点到 DCHG后 就没线回来了。所以最多去掉 2 条长度为 3 的线。 去 掉 BC、 FG、 HD、 AE 即 可 。 这 时 的 路 线 为 A-B-F-E-H-G-C-D-A, 共 54+42+32=34 厘米。7如图 23-6，黑板上写有一个三位数减三位数的算式，其中首位已经确定接下来，甲每次报一个数字，乙就把它放 入四个方框中的一个，甲

20、要使得差尽量大，乙要使得差尽量小，如果两人都使用最佳的策略，那么最后的差是多少 答案： 140分析：甲要使得 A-C 尽量大，而乙要使得尽量小。所以开始 甲只能报 4 或者 5，若甲第一个数报 6、7、8、9，那么乙只 要把这个数填在 C出即可， 这时 A-C9-6=3. 若甲第一个数 报 0、1、2、 3，那么乙只要把这个数填在 A 出即可，这时A-C 3-0=3. 并且，甲报完 4（ 5）后，只能一直报 0（ 9）。 否则，随便你报一个另外的数 m，乙把 m 填到 C（A），这时 A-C 就小于 4 了。所以这个值最大为 299-159=140 ，或者 240-100=140. 并且， 若

21、甲第一个数报 5，而乙填到 B或 D处， 这时甲只需继续报 5 即可，直到乙把 C处填 5 为止。8一栋大楼共 33 层，电梯停在第 1 层，现在有 32 个人分 别要去第 2 层、第 3 层第 33 层，他们可以选择坐电梯 或者走楼梯有一天电梯坏了，电梯只能在某一层停，每个 人可以选择走楼梯上楼或乘电梯到这一层再走楼梯每个人 上一层楼梯会有 3 份不满意，下一层楼梯会有 1份不满意请 问：电梯停在哪一层， 才能使得所有人不满意的总份数最小 ? 答案:316 份 分析： 假设电梯停在了 A 层，那么往上的楼层都要爬。 且不 高于 B层的人都是从 1 层往上走，此时 （B-1） 3（ A-B）,

22、 即 4（B-1）（ A-1）。这时，若电梯往下停一楼，则从 A到 33 楼，会增加 3（33-A+1 ）份不满意度，从 B+1到 A-1 楼， 会减少 A-B-1 份不满意度。而 A-1 为 4 的倍数时， B 楼也会 由从下往上变成从上往下，从而减少 1 份不满意。所以，若 电梯直接到 33 楼时，这时 2到 9楼的往上爬，最少有（1+2+ +8） 3+（ 1+2+23）=384 份不满意。然后我们再考虑往 下移动。（3）停在 32楼，则 B=8，这时 9 楼由 24份不满变成 23 份，不满意数为 384- （24-23 ）-23+3=363 份（4）停在 31 楼，则不满意数为 363-23+6=346 份（5）停在 30 楼，则不满意数为 346-22+9=333 份（6）停在 29楼，则不满意数为 333-21+12=324 份（7）停在 28 楼，则 B=7，这时第 8 楼由 21 份不满意变 成 20 份，不满意数为 324- （ 21-20 ）-20+15=318 份（8）停在 27楼，则不满意数为 327-20+18=316 份（9）当停的楼层不高于 26 层时，不满意度减少的份上将 不大于 19，而增加的不满意份数将不小于 21 份。所以电梯应停在 27 层，这时不满意度为 316 份.