计算方法练习题与答案.docx

1、计算方法练习题与答案练习题与答案练习题一练习题二练习题三练习题四练习题五练习题六练习题七练习题八练习题答案练习题、是非题1.x* 12.0326 作为 x 的近似值一定具有 6 位有效数字，且其误差限()12 10 2.对两个不同数的近似数，误差越小，有效数位越多3.一个近似数的有效数位愈多，其相对误差限愈小。21x5.3.14 和 3.142 作为 的近似值有效数字位数相同、填空题y 12 31. 为了使计算 x 14923x 1 x 1 的乘除法次数尽量少，应将该 表达式改写为2.x* 0.003457是 x 舍入得到的近似值，它有 位有效数字，误差限为 ，相对误差限为 ；3.误差的来源是

2、 ；4.截断误差为 ；5.设计算法应遵循的原则是 。三、选择题1 x* 0.026900作为 x的近似值，它的有效数字位数为 ( ) 。(A)7； (B) 3；(C) 不能确定 (D) 5. 2舍入误差是 ( )产生的误差。(A) 只取有限位数 (B) 模型准确值与用数值方法求得的准确值(C) 观察与测量 (D) 数学模型准确值与实际值 3用 1+x 近似表示 ex 所产生的误差是 ( )误差。(A). 模型 (B). 观测 (C). 截断 (D). 舍入14用 s*= 2 gt2表示自由落体运动距离与时间的关系式 (g为重力加速度 )，st是在 时间 t 内的实际距离，则 st s*是( )

3、误差。(A). 舍入 (B). 观测 (C). 模型 (D). 截断51.41300作为 2 的近似值，有 ( )位有效数字。(A) 3； (B) 4； (C) 5； (D) 6。四、计算题1 3.142，3.141， 7 分别作为 的近似值，各有几位有效数字？2 设计算球体积允许的相对误差限为 1%，问测量球直径的相对误差限最大为 多少？3 利用等价变换使下列表达式的计算结果比较精确：1 4真空中自由落体运动距离 s 与时间 t 的关系式是 s=2 gt2 ，g 为重力加速 度。现设 g是精确的，而对 t有 0.1秒的测量误差，证明：当 t 增加时，距离 的绝对误差增加，而相对误差却减少。5

4、*. 采用迭代法计算 7 ，取x0 2k=0,1, ,17 xk 1 (xk )2 xk若 xk 是 7 的具有 n 位有效数字的近似值，求证 xk 1 是 7 的具有 2n 位有效 数字的近似值。练习题二一、是非题1.单点割线法的收敛阶比双点割线法低。 ( )2.牛顿法是二阶收敛的。 ( )33.求方程 x3 x 1 0 在区间 1, 2 内根的迭代法总是收敛的。 ( )4.迭代法的敛散性与迭代初值的选取无关。 ( )5.求非线性方程 f (x)=0 根的方法均是单步法。二、填空题1.1. 用二分法求非线性方程 f (x)=0在区间 (a,b)内的根时，二分 n次后的误差 限为 ；1.2.

5、设 f(x)可微,求方程 x f (x)的牛顿迭代格式是 ；32.3. 用二分法求方程 x3 x 1 0在区间0,1内的根 ,进行一步后根的所在区 间为 ，要求准确到 10 3 ，则至少应二分 次；3.4. (x) x (x 5)，要使迭代格式 xk 1 (xk )局部收敛到 x* 5 ，则 的取值范围是 ；34.5. 求方程 x3 x 4 0 根的单点割线法是 ，其收敛阶为 ； 双点割线法是 ，其收敛阶为 。三、计算题21.用二分法求方程 x2 x 1 0 的正根，使误差小于 0.05。2.试分析每种迭代公式的收敛性，并选取收敛最快的方法求具有 4 位有效数字的近似值。3.用牛顿切线法求 5

6、的近似值。取 x0 2, 计算三次，保留三位小数。4.用割线法求方程 x3 3x 1 0 的在 x0 1.5附近的一个根，精确到小数点后第二位四*、证明题2f (xk) f(xk)已知方程 f (x) 0，试导出求根公式xk 1 xk 2 f (xk)2 f (xk) f (xk)并证明：当 x 是方程 f(x) 0的单根时，公式是 3 阶收敛的。练习题四3高斯塞德尔迭代法一定比雅可比迭代法收敛快。(k 1) (k)4|M | 1是迭代格式 x(k1) Mx(k) f 收敛的必要条件 5*. 逐次超松弛迭代法是高斯赛德尔迭代法的一种加速方法。二、填空题3x1 5x2 1解方程组 x1 2x2

7、0 的雅可比迭代 格式， 该迭代矩阵的谱半径 (B1) ；3x1 5x2 13.解 方程组 x1 2x2 0 的高斯赛德 尔迭代格式(分量形 式) 为 ，迭代矩阵 B2 ， 该迭代矩阵的谱半径 (B2) ；4.幂法的迭代公式为 ；4*QR 算法是用来求 矩阵的全部特征值的一种方法。5*雅可比方法是用来求 矩阵的全部特征值及特征向量的一种变换方法。三、选择题1.解方程组 Ax b的迭代格式 x（k 1） Mx（k） f 收敛的充要条件是 （ ） （A） | A | 1； （B）|M | 1；（C） （A） 1； （D） （M ） 1。2幂法的收敛速度与特征值的分布（ ）（ A）有关； （ B）无

8、关； （C）不一定。3幂法是用来求矩阵（ ）特征值及特征向量的迭代法。（ A）按模最大； （B）按模最小；（ C）任意一个； （D）所有的。4解代数线性方程组的松弛法收敛的必要条件是 （ ）（A） 0 1 ；D）0 2 。）特征值及特征向量的迭代法。（B）按模最小；3x1 x3 5x1 3x2 x3 1x1 x2 4x3 83x1 x3 5x1 3x2 x3 1x1 x2 4x3 8取x（0） （0,0,0） T ，列表计算三次，保留三位小数。3用幂法求矩阵001 2 112按模最大特征值及相应特征向量，列表计算三次，取 x（0）（1,1,1） ，保留两位小数。4*取 1.46 ，用松弛法解线

9、性方程组2x1 x2 1x1 2x2 x3 0x2 2x3 x4 1x3 4x4 0位小数计算， 0.1)。练习题五、是非题1.在求插值多项式时，插值多项式的次数越高，误差越小。 ( ) (x x1)(x x2)2. (x0 x1)( x0 x2)表示节点 x0处的二次插值基函数。 ( )3.牛顿插值多项式的优点是：在计算时，高一级的插值多项式可利用前一次插值 的结 果。 ( )4.在拉格朗日插值中，插值节点 x0,x1, ,xn 必须按顺序排列。 ( )5.利用等距节点的牛顿插值公式计算 x0附近的 f ( x) ，用后插公式。 ( ) 、填空题1. 已知 n 3，则三次插值基函数 l 2(

10、 x) = 。n li (x) 2.n+1个节点的拉格朗日插值基函数 li(x)的和 i 0 。3.已知 f (x) x4 ，取节点 xk k (k 0,1,2, )，用线性插值求 f(2.1) 的近似值，其计算公式 f (2.1) P1(2.1) 。4. 插值不仅要求插值函数和被插值函数在节点取已知函数值而且取已知导数值。5. 已知 f( 1) 2, f(0) 1, f (2) 3,则 f 1,0 ，f0,2 ， f 1,0,2 ，牛顿二次插值多项式N2(x) 。_三、选择题x x11函数 x0 x1 表示线性插值 ( )点的基函数 .(A) x0 ； (B) y0 ； (C) x1 (D)

11、 y1 。2过点 ( 1,1),(0,3),(2,4)的二次插值多项式 p2(x)中 x2的系数为( ).(A) 0.5 (B) 0.5 (C) 2 (D) -23给定互异的节点 x0,x1, ,xn, p(x) 是以它们为插值节点的插值多项式，则p(x) 是一个( ).(A). n+1 次多项式 (B). n 次多项式(C). 次数小于 n 的多项式 (D). 次数不超过 n 的多项式4 f (x) 3x99 50x6 7x,差商 f1,2,22, ,2100 ( )(A) 0 (B) -3 (C) 50 (D) -75对于次数不超过 n的多项式 f ( x),它的n次插值多项式 p(x)为

12、( ).(A) 任意 n 次多项式 (B) 任意不超过 n 次的多项式(C) f (x) 本身 (D) 无法确定四、计算题1. 已知 f( 1) 2, f(1) 3,f (2) 4,求 f (x)的牛顿插值多项式 N2(x)，及 f (1.5) 的近似值，取三位小数。2.证明：若 f (x)二阶连续可微，则对于 f (x)的以 x0,x1 为节点的一次插值多项 式 P1( x) ，插值误差f (x) P1(x) (x1 8x0) xmax xx f (x)43.设 f(x) x4 2x 1，利用拉格朗日插值余项求以 -1，0，1，2 为插值节点 的三次插值多项式。4* 已知函数 y f(x)

13、的数据 f(1) y0, f(2) y1, f (1) m0 ，用基函数法求 (x)的二次插值多项式 H 2(x) 使 H2(1) y0,H2(2) y1, H 2(1) m0.x5* 要给出 f(x) ex在区间-2,2上的等距节点函数表，用分段三次 Hermite 插值求ex的近似值 ，要使误差不超过 10 8 ，问函数表的步长 h应为多少？xi 1 1 46.已知的 f(x)函数表f (xi ) 2 4 5(1) 求 f (x)的二次插值多项式；(2) 用反插值求 x，使 f (x)=0。练习题六、判断题1 在等距节点的情况下，才能计算函数的差分。 ( )2 向前差分与向后差分不存在等量

14、关系。 ( )3 已知观察值 (xi, yi)(i 0,1,2,n)，用最小二乘法求得的拟合多项式其次 数 为 n 次 。 ( )4 利用最小二乘原理对一组数据找出合适的数学公式来拟合，首先应确定公 式的 类 型。 ( )5 数据拟合的步骤首先是建立正规方程组。 ( ) 、填空题1 已知某函数的二 阶向 前差分 f1为 0.15,则 其二 阶向 后差 分 f3为 。2 利用牛顿前插公式计算某点的近似值，应首先确定公式中的 t，其计算公式为 t = 。3 已知函数 y f (x)在a,b上的n 1个节点xi处的函数值 yi ，则其三次样条插 值函数 s( x)满足的条件为 。4 已知 (xi ,

15、yi )(i 1,2, ,30)，其线性拟合的正规方程组为 。x5 用形如 y ax b的非线性拟合数据 (xi , yi )做变换 后为线性拟合 y=a bx 。三选择题1.( )是利用函数的值求自变量的值。3当线性方程组满足 () 时称为超定方程组。(A)(A)未知数的个数等于方程的个数(B)(B)未知数的个数大于方程的个数(C)(C)未知数的个数小于方程的个数(D)(D)未知数的个数与方程的个数大小任意n2记 i yi yi ,i 1,2, , n ,最小二乘法原理要求下列哪个为最小 ( ) nni2 i(C) i 1 (D) i 14 x 是超定方程组 Ax b 的最小二乘解的充分必要

16、条件是 ( ).(B) x 是AA x A b 的解(D)三者都不对d 2 nn(x 1) 是 ( )(B) 等于 n次的多项式(D) 小于等于 n 次的多项式 四、计算题1 已知函数 y f ( x )的函数表如下 , 解答下列问题xif(xi )(1)(2)(3)列出相应的差分表； 分别写出四次牛顿向前插值公式和牛顿向后插值公式； 用三次插值多项式求 f(0.04)和f (0.32)的近似值。2 已知 f(1.3) 14.8, f (1.6) 17.4, f (2.4) 18.5, f (3.1) 20.0 ，按最小二乘原 理求一次多项式拟合上述数据。3x1 2x2 24x1 5x2 33

17、 求超定方程组 2x1 x2 11 的最小二乘解xi21012yiy0y1y2y3y44已知观察值利用 f (x)的二次拟合多项式 p2(x),求f (0) 的近似值。5用形如 y aln x b的函数拟合下列数据xif (xi )练习题七一、填空题1. 已知 f(1) 1.，1 f(2) 1.2 ， f (3) 1.5 ，则 三 点式高斯 求 积公 式为 331 f (x)dx ( )，用抛物线求积公式求得 1 f (x)dx ( )。2. 已知 f 0 3， f 0.5 4 ， f 1 3，则用三点式可求得f (0) ( )， f (0.5) ( )， f (1) ( )，且 f (x)

18、( )。b3.复合梯形求积公式为 a f (x)dx ( )，当 f (x) C2a,b时, 其余项 Rn( f ) ( )。4.数值积分代数精确度的定义是()。 bn a f(x)dx Ak f(xk)5.求积公式 a k 0 k k 的代数精度以( )求积公式为最高，具 有( )次代数精度，其节点称为( )点。二、选择题1.求积公式研究的误差为( ) 。A.观测误差 B.模型误差 C.舍入误差 D.截断误差h b a2.已知在 a,b上， f (x) 2，且 f (x) C2a,b，步长 h n ，则复合梯形求积公式的误差限为( )。33(b a)3 (b a)3B.6h3D. 6n 阶

19、N C 求积公式的代数精度分别至少为)。A. 1,2,n B. 2,3,n C. 1,3,n D. 1,4,n+14.)， 其 中 h x1 x0数值微分 的二点公式中，其 误差 限为 ( x0 x145.已知 f (x) C 4 0,2 ，在 0，2内 合抛物线求积公式计算要保证有 5 位有效数字，A. 0.1 B. 0.2 C. 0.3 D. 0.4、判断题1、2、3、4、bn f (x)dx Ak f (xk )高斯求积公式 a k 1 k k 的代数精度为 2n+1 。 梯形求积公式和抛物线求积公式都是高精度方法 在使用插值型求积公式时，勿须进行误差分析。 n 越大， N C 求积公式

20、的代数精确度就越高， 也越好。( 相应地求积公式的稳定性(n+1 次代数精度。 (5、 具有 n+1 各节点的插值型求积公式至少具有 四、计算题24、 设有求积公式 0 f(x)dx A0 f (0) 2A1 f (1) 3A2 f (2) ，求 A0, A1, A2使代数 精度尽量高。5、 利用二次插值推导出数值微分的三点公式，并由此计算 f(x) (1 x) 2在 x 1.0,1.1 和 1.2处的导数值。练习题八一、填空题y y x 11.用 Euler 方法解常微分方程初值问题 y(0) 1 ，步长 h 0.1 ，计 算格式为 yn 1 =( )， y1 =( )。y f (x, y)

21、2.求 解 常 微 分 方 程 初 值 问 题 y(x0) y0 改 进 的 欧 拉 公 式 为 ()3.常微分方程初值问题的数值解法一般分为( )法和( )法。4.求解常微分方程初值问题的 Adams 公式是( )步法。5.求解常微分方 程初值问 题的四阶 R-K 方法的局部截断误差为 ( )。二、选择题21、已知一个求解常微分方程的差分公式的局部截断误差为 O(h2) ，则该方法的阶是( )。A1 B2 C 0 D32、求解一阶常微分方程初值问题的梯形公式为( )步法。A多 B 2 C3 D 13、梯形公式是求解常微分方程的( )阶方法。A2 B4 C 3 D54、四阶 R-K 方法每步要

22、计算( )次 f 的值。A4 B5 C 2 D35、改进的 Euler 公式的局部截断误差为( )。A. O(h2) B. O(h3) C. O(h4) D.O(h5)三、判断题1、R-K 法是一类低精度的方法。 ( )2、求解微分方程初值问题的二阶 R-K 方法是多步法。 ( )3、梯形方法是一种隐式的多步法。 ( )4、求解微分方程初值问题的向后 Euler 法是隐式方法。 ( )25、求解常微分方程初值问题的预估校正公式的局部截断误差为 O(h2) 。( )四、计算题1、 用 Euler 法求解y 2x yy(0) 1 ( 0 x 1)h 0.2 ，保留两位小数。2、 用 Euler 法

23、求在x 0.5,1.0,1.5, 2.0处的近似值，保留 5位小数3、 用改进的 Euler 法(梯形公式)解初值问题 y 8 3yy(1) 2 (1 x 2 )取步长 h 0.2，至少保留 5 位小数。4、 用预估校正公式求初值问题2y xyy(0) 1 ( 0 x 1)的数值解，取步长 h 0.2 ，以四位有效数字计算五*、证明题 对常微分方程初值问题y y 0y(0) 12 h nyn 证明梯形公式求得的近似解为 n 2 h ，并进一步证明当步长 h 0时， yn e x 。计算方法练习册答案习题一一、1 ； 2 ； 3 ； 4 ； 5 1 1 6 1 3y 12 (3 ( 4 9t)t

24、)t, t 4, 10 6, 10 3二 、 1 x 1 ； 2 2 6 ；3略；4略； 5略三、 1C； 2A ； 3C； 4C； 5A2x2四、14 位，3 位，3 位； 2 0.333% ； 3(1)1 3x 2x2 ， (2)arctan1 x(x 1)5略1 2 1 3 x x x 3) 2! 3!4) ln( x2 1 x)；4略；习题二、13、1ba2nxn 1xn24( 55 ,0)4 5xn 1 xnxn 1 xn53xnxn 44 xn f(xn)1 f (xn ) ；3xn xn 43xn xn x031 ,1, 102；(xn x0x0 ), 1,3 3 (xn xn

25、1),xn xn xn 1 xn 11.618三、 1 1.59375 ； 2（ 1）收敛，（ 2）收敛，（ 3）发散，（ 2） 快， x* 1.467 ； 3 2.236 ；41.88 四、略收敛速度习题三1 ；2；3 ；4 ；51 2, 4,6；2 8,7,56 ；100210A LU110031,L222401003301012221007 ； 5 330321B；02 032234三、1四、1 -1）TB； x=2 B ； 32, -2, 1)4B；T；5DT；2x=(1, 1,1)3x=(1, 1, 1, 1)T；4x=(2, 1,习题四、12 ；3 ； 4 ；5(k 1)5(k)

26、1x1x25323,(k 1)1(k)6x2x1二、12(k 1) x15x2(k)105323,3,(k 1)1(k 1)05x22x162256yk Axk 1 mk max( yk )1xk yk3 mk ； 4任意实的非奇异； 5实对称三、 1D； 2A ； 3A； 4C； 5B四、1x=( 2.444, 0.333, -2.531) T； 2 x= ( 2.399, 0.401, -2.499 )3 1 4, v1 (1, 0.47, 0.14) 4略； 5略； 6略习题五一、 1 ； 2 ； 3 ； 4 ； 5 (x x0 )(x x1)(x x3)二、 1 (x2 x0)(x2

27、x1)(x2 x3) ； 21； 322.5； 221, 1, , 2 (x 1) (x 1)x4 Hermite ； 5 3 3 三、1A； 2A ； 3D； 4A； 5C四、1N2(x)1 5 5 22 (x 1) (x 1)(x 1) x22 2 21x 5, 0.1252 ； 2 略；32x3x2 1224 H2 (x) y0( x2 2x) y1(x222x 1) m0( x2 3x 2) ；50.03；6(1)8 x2 3x 2371211515 , (2)习题六一、 1 ； 2； 3 ； 4 ；5x x0二、10.15； 2h；3略；习题七4略； 5高斯( Gauss )， 2n 1，高斯( Gauss )二、1D； 2C； 3C； 4D； 5D三、1 ； 2 ； 3 ； 4 ；5 四、 1 T8 0.22316, R 0.40691 10 4 , S4 0.18595, R 0.3179 10 7；习题八