春季四年级奥数班讲义.docx

1、春季四年级奥数班讲义第 一 讲定义新运算(又名:自定义)例1:规定一种运算: ab=3a4b,例如,25=3245=620=26,52=3542=158=23, ,根据以上规律计算: 102 210 简析: 本题属于“用字母表示数”的学习内容,重点是弄清规定,找出规律. 1 含义为:给定两个数a和b,用3乘第一个数a,用4乘第二个数b,并将结果相加 102 210 =31042 = 32410 =308 = 640 =38 =462 式中的“”为“关系符号”，不是运算符号，可以是任意的字符，图片，实物等3 计算完毕后比较一下:定义新运算中,交换律适用吗?配套练习:1.规定一种运算:mn=4m3

2、n,根据以上规律计算:532.规定一种运算：ab=abab，试求： 64例2：对于两个数a和b，规定：ab=a+3b+4，试求：123 123简析：本题是例1的发展，重点在于弄清运算顺序。其运算顺序与四则混合运算顺序相同，但要注意，先计算部分是个整体，应加括号，没算到的部分往下带。应该用发展的、动态的眼光对待a和b. 123 =1+32+43 a=1,b=2=463 =243 =24+33+4a=24,b=3=277 =189 123=12+33+4a=2,b=3=157 =135=1+335+4a=1,b=35 =439=156配套练习:1.对于两个数a和b,规定ab=a+5b,试求 123

3、 123 注意:5b表示5b或b52.对于两个数a和b,规定:ab=a2b2.试求:354例3:如果23=2+3+4,52=5+6,45=4+5+6+7+8,.照此规律,计算 35 83简析:本题是自找规律,通过观察,找到a和b之间的关系是关键.首数字是第一个数,每组数是递增的,个数的多少受第二个数的限制,第二数是几,加数就是几个加数较多时可用配对法计算或等差数列求和公式计算. 35 83 =3+4+5+6+7 =8+9+10 =25 =27注:本组计算有技巧,你能发现吗?配套练习:1.如果53=567,24=2345,按此规律计算:34.2.如果24=242+4,36=3636,按此规律计算

4、:84例4:规定一种运算:5C3=543321=10,6C2=6521 =15,10C4=109874321=210,按此规律计算:7C4简析:本题是高二的排列组合问题,在小学属于“阅读与理解”的内容.在数图形和“解决问题的策略”中有比较广泛的用途.本题是例3的具体应用,难度较小.鼓励学生自主完成.解答过程:略.第 二 讲一. 阔 步 课 堂例1:甲乙两数的乘积是60,如果甲数扩大5倍,乙数不变,乘积是多少?如果甲数不变,乙数扩大5倍,乘积是多少?如果甲乙都扩大5倍,乘积是多少?简析:扩大几倍,就是某数乘几.可通过具体算式探讨规律.再运用规律解决问题.605=300 605=300 6055=

5、1500二.盈亏问题例1:将一堆苹果分给小朋友,每人分9个,则少45个;每人分7个,则多5个.有多少人,共有多少个苹果?简析:本题属典型的盈亏问题.多为“盈”,少为“亏”.重点在于理解“盈”与“亏”之间的关系.可借助线段图加以理解.苹果总数和人数是不变的,两次分配中的总数差异是因为两次中每人分得的个数差异造成的.1 总数相差多少?借助线段图直观显示(图略) 45+5=50（个）2 每人分配相差多少? 97=2（个）3 一共有几人? 502=25（人）4 一共有几个苹果? 92545=180（个）或者 257+5=180（个）做完后体会线段图与例题中各数量的对应关系答：略配套练习:1 某校有若干

6、个学生寄宿学校.若每一间房住6人,则多40人;若每间房住8人,则最后一间房少2人.有多少住宿学生和多少间房?2 数学兴趣小组同学做数学题,如果每人做6道题,则少4道;如果每人做4道题,则多10道.有多少个学生和多少道题?例2:同学们去划船.每船坐4人,则少一条船;如果每条船坐6人,则多出4条船.有多少条船和多少人?简析:本题是例1的升级.将盈与亏复杂化.少一条船,意味着多出:4人此为盈;多出4条船,意味着少:64=24（人）,此为亏.然后借助例1的程式化解答方式求解.1 总数相差多少?41+46=28（人）2 每条船坐的人数相差多少? 6-4=2（人）3 有几条船? 282=14（条）4 有多

7、少人? 1444=60（人）或者 14646=60（人）答：略配套练习:1 学校给新生分配宿舍,如果每间住8人,则少2间房;如果每间住10人,则多出2间房.一共有几间房和多少人?2 一个学生从家到学校,如果以每分钟50米的速度行走,就要迟到8分钟;如果以每分钟60米 的速度行走,就可以提前5分钟到校.这个学生出发时离上学时间还有多少分钟?例3:学校派一些学生搬一批树苗.如果每人搬6棵,则差4棵;如果每人搬8棵,则差18棵.学生有多少人?有多少棵树?简析:本题属双亏问题.重点在于理解总数相差多少.仍然借助线段图解决问题（图略）.1 总数相差多少?18-4=14（棵）2 每人搬的树苗相差多少? 8

8、6=2（棵）3 有多少人? 142=7（人）4 有多少棵树? 764=38(棵)答：略配套练习:1 科学课堂上,老师给同学们发树叶.如果每人分6片,少7片;如果每人分8片,则少17片.有多少片树叶?2 一堆苹果分给同学们.每人4个,多8个;若每人2个,多18个.学生有多少人?第 三 讲一 . 阔 步 课 堂例1:有两桶水,如果从第一桶倒10升给第二桶,那么两桶水一样多.已知两桶水一共有120升,这两桶水各有多少升?简析:本题属和差问题.可以用线段图帮助理解.也可用公式解决.方法一:倒着做.从总重入手,倒推各有多少升:1202=60（升） 第一桶有:60+10=70（升）,第二桶有60-10=5

9、0（升）3 方法二:画线段图.变不平均分为平均分.A方法一:都与第二桶同样多:120-102=100（升）1002=50（升）第二桶 第一桶:120-50=70（升）B方法二:都与第一桶同样多:120+102=140（升） 1402=70（升）第一桶 第二桶 120-70=50（升）4 直接用公式(略)答：略二 . 替 换 法例1.=200,=5则=（ ） =（ ）简析:这是符号化的替换,比较直观.有两种替换方式.1 替换成:每个加5,正好可将换成.3个加53=15,现在的总和是200+15=215,正好是5个的总和,所以每个是:2155=43,因此是:43-5=382 替换成:每个减去5,正

10、好可以替换成.每个减少5,一共减少:52=10,现在总和是200-10=190,这是5个的总和.每个为:1905=38,每个为:38+5=43配套练习:1. =300,=5,则是几?是几?2. 甲乙共有600元,甲比乙多10元.甲乙各有多少元?学生做完后思考:本题与和差问题有什么相通之处?例2:=210,=3,则=( ),=( )简析:本题是例1的变式.本质相同.区别在于替换条件有所变化.因计算条件限制,替换只能以大换小.第二个条件是替换根据.一个可换3个.一共可换32=6（个）,现在共有6+1=7(个),所以每个为:2107=30,每个为:303=90配套练习:1.长方形周长80厘米,长比宽

11、长2厘米.求长方形的长与宽各是多少.2.甲乙共有600元.甲的钱是乙的2倍.甲乙各有多少元?做完后思考:本题与和倍问题有什么相通之处?例3:等腰三角形的顶角比底角大18.求它的顶角与底角度数.简析:本题是替换法的实际应用.如何替换是关键,弄清底角与顶角概念也很重要.等腰三角形两腰的夹角是顶角,底与腰的夹角是底角.等腰三角形有两个相等的底角.1 全替换成底角:顶角去掉18,变成底角,三底角之和是:180-18=162,每个底角度数为:1623=54,则顶角为:5418=722 全替换为顶角:每个底角增加18,一共增加182=36.此时三个顶角之和为:180+36=216,每个顶角度数为:2163

12、=72,则底角为:72-18=54答：略配套练习:1.等腰三角形的底角比顶角大18,则底角与顶角各是多少度?2.等腰三角形的底角度数是顶角的2倍,则底角与顶角各是多少度?例4:甲乙共有210元.甲的钱比乙的3倍多10元.甲乙各有多少元?简析:本题属“不完整倍数问题”,关键是变“不完整”为“完整”.基本思想是:多退少补1 从甲的钱数里去掉多出的10元,此时甲乙共有210-10=200（元）,甲的钱正好是乙的3倍.2 画线段图,弄清200元与倍数间的关系.顺利解答:200（3+1）=50（元）,从而甲的钱数为503+10=160（元）或者210-50=160（元）答：略3 完成后思考:本题与“和倍

13、问题”有何相通之处?配套练习:1.甲有200元,比乙的4倍多40元.乙有多少元?2.甲乙共有300元.甲比乙的3倍少60元.甲乙各有多少元?第 四 讲一 . 阔 步 课 堂例1:三角形的周长是20厘米.则三角形的最长边长度小于（ 10 ）厘米.简析:本题属于三角形三边关系的内容.重点在于：三角形任意两边之和大于第三边.最短的两边之和也大于第三边,从而最长边小于202=10（厘米）例2:把一根16厘米长的吸管剪成三段（每段都是整厘米）,围成一个三角形,可能围成多少种不同的三角形?简析:本题是例1的发展,根据同样的道理求解.可先确定最长边的范围.1 最长边的范围:最长边小于162=8（厘米）2 小

14、于8,且另两边都不大于8,则16=7+7+2=7+6+3=7+5+4=6+6+4=6+5+5,共有5种答：略配套练习：用12根火柴棒拼三角形，可以拼出多少种不同的三角形？（不许弯折）二.还原问题例1:一个数的7倍减去5再加上2,然后除以3得20.求这个数.简析:本题从最后的条件入手解答,也叫“倒着做”.一般用分步式解答.1 203=602 60-2=583 58+5=634 637=9配套练习:1.甲,乙,丙三人各有人民币若干元.甲给乙125元,乙给丙135元,丙给甲40元.这时三个人的钱数都是365元.甲,乙,丙三人原来各有多少元?2.一个数乘9,加上19,再乘2,最后除以2等于109,这个

15、数是多少?例2:马大哈做减法计算时,把减数个位上的1看成7,把被减数十位上的6看成9,结果得到差为600.正确的差是多少?简析:本题属于“还原问题”的变式。减数多了7-1=6，就是差少了6；被减数多算了90-60=30，差增加了30.于是本题可转化为还原问题:“某数减6，再加30，得600,求这个数”。1 7-1=6，90-60=302 600-30+6=576配套练习：1.粗心的王蕾在做加法试题时，把个位上的5看成看6，把十位上的8看成了3，结果得到和为123，正确的答案应该是多少？2.小马虎甲在计算一道三位数乘两位数乘法时，把一个乘数个位上的5误写成3，乘得的积是4485；小马虎乙却把这个

16、5错写成8，乘得的积是5460.正确的积是多少？例3：袋子里有一些球，熊爱华每次拿出其中的一半再放回去1个球，这样共操作了4次，袋中还有5个球。袋中原来有多少个球？简析：本题操作步骤较多，可以从第四次操作后袋中还有5个球往前倒推。1 第三次操作后还剩几个球？（5-1）2=8（个）2 第二次操作后还剩多少个球？（8-1）2=14（个）3 第一次操作后还剩多少个球？（14-1）2=26（个）4 开始有多少个球？（26-1）2=50（个）答：袋中原来有50个球。配套练习：袋子里一共有若干个棋子，琪琪每次拿出其中的一半多2个，这样一共拿了5次，袋中正好没有棋子了。原来袋中有多少个棋子第 五 讲一 .

17、阔 步 课 堂例1:一个房间,用边长6分米的方砖来铺,需要500块;改用边长5分米的方砖来铺,需要多少块方砖?简析:本题属铺地问题.铺地并非只沿着边来铺,所以不能算周长,要算地面的大小即面积.原来一块砖的面积多大? 66=36（平方分米）房间有多大?36500=18000（平方分米）现在每块砖面积多大? 55=25（平方分米）现在要多少块砖?1800025=720(块)答:略例2:(文字题)28与14的和除以它们的差,结果是多少?简析:文字题重点在于计算顺序,可以看做是小型化的应用题.可以运用“遇和、 差、 再,括号自然来”辅助列式计算.（28+14）（28-14）=4214=3配套练习:用边

18、长4分米的方砖铺地,需要600块.改用面积30平方分米的方砖来铺,需要多少块?二.数码问题例1:一个两位数,十位数字是个位数字的2倍.如果这个数加上4,所得的两位数的两个数字相同.求这个两位数.简析:本题属于“简单枚举”,可以把符合第一个条件的两位数列举出来,再根据后面的条件进行排除.符合第一个条件的两位数有:21,42,63,84把每个数加4后进行排查:21+4=25,两个数字不相同 42+4=46, 两个数字不相同 63+4=67, 两个数字不相同 84+4=88, 两个数字相同,符合条件.答:这个数是84.配套练习:一个两位数,个位数字是十位数字的3倍.如果把这个数加7,则这两个数字就相

19、同.求这个数.例2:一个两位数,其数字之和是5,如果这个数减去9,则两个数字的位置互换.求原来的两位数.简析:本题属于例1的巩固与拓展.也采用列举法进行筛选.符合第一个条件的两位数有:14与41,23与32,50用后面的条件进行排查:14-9=5,不符合条件 41-9=32,不符合条件 23-9=14,不符合条件 32-9=23,符合条件 50-9=41,不符合条件答:这个数为32.例3:4个连续自然数之和为206.则这4个自然数各是多少?简析:本题属于“寻找规律,运用规律”的内容,可以先通过对任意4个连续自然数的观察研究,寻找规律:等差.再进行计算 以最小数为基准:后面三个数分别比第一个数大

20、1,2,3.所以从总和里去掉1,2,3后,四个数大小相等.(206-1-2-3)4=50 , 50+1=51,51+1=52,52+1=53.四个数为50,51,52,53 以最大数为基准:前面的三个数分别比第一个数小1,2,3.因此,只要把总和增加1+2+3=6,四个数就大小相等了. (206+1+2+3)4=53,53-1=52,53-2=51,53-3=50 四个数为50,51,52,53 以中间数为基准:中间两个数的和是:2062=103 两数相差1,属于“和差问题”,较大数为: （103+1）2=52,较小数为: （103-1）2=51.则其余两个数为:52+1=63,51-1=50

21、配套练习:5个连续自然数之和为105,求这5个数各是多少.例4:一本书共有246页,求从第一页到最后一页,编这本书的页码一共用了多少个数字?简析:本题体现了分类思想,.要做到有条不紊,必须合理分类.1-9页,9个数,9个数字10-99页,90个数,共有902=180(个)数字100-246页,共147个数,共有1473=441(个)数字一共用了多少个数字? 9+180+441=630(个)数字答:一共用了630个数字.第 六 讲一 . 阔 步 课 堂就大家提出的问题讲解一至两个:略 二.容 斥（重叠）问题例1.某班40名同学参加书法或绘画活动.参加书法的有30人,参加绘画的有15人.两种都参加

22、的有多少人?简析:本题是关于重叠的内容.获得基本解题模式是关键.其基本模式是A+B-C=不重复总数.画图(略),用序号标清数量解答:30+15-40=5(人) 也可以借助图形分类计算(略)配套练习:五年级有200名学生参加语文、数学考试,每人至少有一门优秀.其中语文优秀的有110人,数学优秀的150人.语文和数学都优秀的有多少人?例2:某小学选出10人参加区级作文和书法比赛.结果人人获奖.其中3人两项比赛都获奖,作文比赛6人获奖,书法比赛几人获奖?简析:本题是例1的变式题.处理方法基本相同.作文获奖人数+书法获奖人数-都获奖人数=10人 10+3-6=7（人） 想一想:下面的算式有什么道理?

23、10-6+3=7（人） 10-(6-3)=7（人）配套练习:一个班有50人,他们分别订了数学大世界和中国少年报,其中订阅数学大世界的有30人,两种都订阅的有12人,订阅中国少年报的有多少人?例3:某班56人,参加语文竞赛的有28人,参加绘画比赛的有27人,两项都没有参加的有25人.那么同时参加比赛的有多少人?简析:本题增加了不参加比赛的人.既然没参加,那就从总人数里去掉这些人,剩下的就是至少参加一项的人了. 参加比赛的有多少人? 56-25=31（人） 两项都参加的有多少人? 28+27-31=24（人） 下面的算式有什么道理? 28-(56-25-27)=24（人） 27-(56-25-28

24、)=24（人）答:同时参加比赛的有24人.配套练习:1.一个旅行社有36人,其中会英语的有24人,会法语的有18人,两样都不会的有4人.两样都会的有多少人?2.四年级参加合唱队的有40人,参加舞蹈队的有20人,两项都参加的有14人,两项都没有参加的有10人,这个年级有多少人?例4.光明小学举办书法展览.各个年级均有展品,其中24幅不是五年级的,有22幅不是六年级的,五六年级的参展作品共有10幅,其他年级参展的作品一共有多少幅?简析这是一道需要简单推理的学习内容.数量关系比较复杂,应该列举:其他年级作品数+六年级作品数=24(幅)其他年级作品数+五年级作品数=22(幅)五年级作品数+六年级作品数

25、=10(幅)其它年级作品数(22+24-10)2=18(幅)答: 其他年级参展的作品一共有18幅.做完后思考:下面的解法有什么道理? (24+10+22)2-10=18(幅) 24- (24-22+10)2=18(幅) 22-10-（24-22）2=18(幅)注意: “和差问题”没学好的同学抓紧复习公式.第 七 讲一 . 阔 步 课 堂例1:数平行四边形个数简析:本题属于技巧性学习内容.基本方法是一个个地数,这过于繁琐,而且容易重复与遗漏.其次是按照 “一个一个地数,两个两个地数,”,根据个数分类数,仍然费时费力.因此有必要简化,用数学的方法解决问题.本教材使用“横加竖加”的方法计算个数,快捷

26、简便.配套练习求长方形个数.例2:一个梯形的上底长度是下底的3倍,如果将梯形的下底延长6厘米,这个梯形就变成了- 平行四边形.这个梯形的上下底各是多少厘米?简析:本题属于与操作相关的学习内容.重点通过画图观察,找到解题突破口.是差倍问题的具体应用. 画图解答:6（3-1）=3 (厘米).下底长度 上底长度: 33=9(厘米)配套练习:梯形的上底长度是下底的4倍.如果下底延长12厘米,就变成了平行四边形.则上底长度是多少?二.假定法解题例1:今有鸡、兔共居一笼,已知鸡头和兔头共35个,鸡脚和兔脚共94只.鸡和兔各有多少只?简析:本题属于中国古代“鸡兔同笼”问题.有画图法,列表法,假定法等多种解题

27、方法.用假定法解题需要把两个量看成同一个量,根据总量和单一量的变化求解.qq上流传的方法: 假定鸡和兔一起跳舞,第一节:拎起一只脚,大家都做到,这时还有 94-35=59只脚,第二节:大家表现都不错,欢迎再拎一只脚,这时还有59-35=24只脚.只是鸡儿耐不住,扑通扑通全跌倒(偷笑:鸡儿早已没有脚,只能屁股着地冷汗冒).这时出来数一遍,一双脚来一只兔,数来数去不混淆.一个字:妙!假定法: 假定全是兔: 共有几只脚?435=140（只） 多算几只脚?140-94=46(只) 每只鸡多算几只脚?4-2=2(只) 有几只鸡?462=23(只) 兔有几只? 35-23=12（只） 答:鸡有23只,兔有

28、12只.配套练习: 假定全是鸡呢?例2:兔妈妈采蘑菇,晴天每天采32个,雨天每天采22个.兔妈妈一共采了390个,平均每天采26个,这些天有几天下雨?简析:本题是鸡兔同笼问题的变式.可以先求出采蘑菇的天数.然后合理假定.一共采了几天?39026=15（天）假定全是晴天 一共采大多少个?3215=480（个） 多采多少个? 480-390=90（个） 每个雨天多采了多少个? 32-22=10（个） 雨天一共有多少天? 9010=9(天)假定全是雨天呢? 答:这些天有9天下雨.配套练习:将问题改为“这些天有几天是晴天?”用两种方法解答.例3:某次数学竞赛一共有10题.答对一题得10分,答错一题或不

29、答倒扣5分.小明参赛得分为70分.他做对了多少题?简析:本题的难点在于:如何计算答对一题与答错一题的分数差异.可以借助线段图帮助理解.假定全答对:1010=100（分） 100-70=30（分） 10+5=15（分）难点所在 3015=2（题） 10-2=8(题)假定全做错: 一个倒扣多少分?510=50（分） 总共相差多少分? 70+50=120（分）注意:是加不是减,可以画图(略) 每道对题少算多少分? 10+5=15（分） 做对几题?12015=8（题）答:他做对了8题.第 八 讲一 . 阔 步 课 堂例1:只能向下和向右,从A走到B, 一共有几种不同走法? 简析:本题属于“找规律”的内容.一般采用色笔标注的方法进行,但过于繁琐,有时无法进行.因此必须采用科学的方法甲乙解决.用对角标注数字的方法:一共6种走法.答:一共有6种不同走法.配套练