数学建模作业实验4整数规划和对策论模型.docx

1、数学建模作业实验4整数规划和对策论模型数学建模作业(实验4整数规划和对策论模型)基本实验1.遗嘱问题一个行为古怪的阿拉伯酋长留下了一份遗嘱，遗嘱中将他的骆驼群分给他的三个儿子：长子至少得到驼群的1/2，次子至少得到驼群的1/3，三子至少得到驼群的1/9，剩余的捐献给慈善机构。遗嘱中没有指出到底驼群的数目是多少，只是告诉了这个驼群的数目是奇数，并且这个指定的慈善机构恰好得到了一匹骆驼。利用整数线性规划确定这个酋长到底留下了多少匹骆驼，并指出每个儿子各得到多少匹。解答解：设长子、次子、三子得到的骆驼数分别为：X1，X2，X3，则目标函数为：X1+X2+X3+1约束条件：X1=（X1+X2+X3+1

2、）/2X2=（X1+X2+X3+1）/3X3=（X1+X2+X3+1）/9X1，X2，X3为整数，且（X1+X2+X3+1）为奇数。要想求出本题的可行解，则目标函数取得最小。LINGO程序min=X1+X2+X3+1;X1+X2+X3+1=2*X1;X1+X2+X3+1=3*X2;X1+X2+X3+1=9*X3;Y=(X1+X2+X3)/2;gin(X1);gin(X2);gin(X3);gin(Y);运行结果 Global optimal solution found. Objective value: 27.00000 Objective bound: 27.00000 Infeasibi

3、lities: 0.000000 Extended solver steps: 0 Total solver iterations: 3 Model Class: PILP Total variables: 4 Nonlinear variables: 0 Integer variables: 4 Total constraints: 5 Nonlinear constraints: 0 Total nonzeros: 16 Nonlinear nonzeros: 0 Variable Value Reduced Cost X1 14.00000 1.000000 X2 9.000000 1.

4、000000 X3 3.000000 1.000000 Y 13.00000 0.000000 Row Slack or Surplus Dual Price1 27.00000 -1.000000 2 1.000000 0.000000 3 0.000000 0.000000 4 0.000000 0.000000 5 0.000000 0.000000由运行结果可得：这个酋长的骆驼数量为27只，长子得到14只，次子得到9只，三子得到3只。2.固定费用问题由于工作需要张先生打算办理长途电话业务。现有A，B和C三家电话公司，其中A公司每月固定话费16元，通话费0.25元/min；B公司每月固定

5、话费25元，通话费0.21元/min；C公司每月固定话费18元，通话费0.22元/min。在一般情况下，张先生每月使用的长途电话时间是200min。请问张先生如何选择这3家电话公司，使得每月的电话费最少？解答解：设Xi表示使用第i家公司的业务，i=1，2，3。则目标函数为：X1*(16+200*0.25)+X2*(25+200*0.21)+X3*(18+200*0.22)约束条件：X1+X2+X3=1X1，X2，X3为整数。最优解使得目标函数取得最小。LINGO程序min=X1*(16+200*0.25)+X2*(25+200*0.21)+X3*(18+200*0.22);X1+X2+X3=1

6、;bin(X1);bin(X2);bin(X3);运行结果Global optimal solution found. Objective value: 62.00000 Objective bound: 62.00000 Infeasibilities: 0.000000 Extended solver steps: 0 Total solver iterations: 0 Model Class: PILP Total variables: 3 Nonlinear variables: 0 Integer variables: 3 Total constraints: 2 Nonlinea

7、r constraints: 0 Total nonzeros: 6 Nonlinear nonzeros: 0 Variable Value Reduced Cost X1 0.000000 66.00000 X2 0.000000 67.00000 X3 1.000000 62.00000 Row Slack or Surplus Dual Price1 62.00000 -1.000000 2 0.000000 0.000000由运行结果可得：张先生应该选择C家电话公司，使得每月电话公司最少为62元。3.串并联系统可靠性问题有一台电器由三个部件组成，这三个部件串联，假如有一个部件发生故障

8、，电器就不能工作。可以通过在每个部件里安装1到2个备份元件来提高该电器的可靠性（不发生故障的概率）。表4.1列出了可靠性和成本费用。假设制造该电器的已有资金共10万元，那么怎样来构造这件电器呢？解答解：设Xij表示使用第i个部件并联就j个元件，i=1，2，3；j=1，2，3。则目标函数为：(X11*0.6+X12*0.8+X13*0.9)*(X21*0.7+X22*0.8+X23*0.9)*(X31*0.5+X32*0.7+X33*0.9)约束条件：X11+X12+X13=1X21+X22+X23=1X31+X32+X33=11*X11+2*X12+3*X13+3*X21+5*X22+6*X2

9、3+2*X31+4*X32+5*X33=10Xij为整数。最优解使得目标函数取得最大。LINGO程序max=(X11*0.6+X12*0.8+X13*0.9)*(X21*0.7+X22*0.8+X23*0.9)*(X31*0.5+X32*0.7+X33*0.9);X11+X12+X13=1;X21+X22+X23=1;X31+X32+X33=1;1*X11+2*X12+3*X13+3*X21+5*X22+6*X23+2*X31+4*X32+5*X33=10;bin(X11);bin(X12);bin(X13);bin(X21);bin(X22);bin(X23);bin(X31);bin(X3

10、2);bin(X33);运行结果 Local optimal solution found. Objective value: 0.5040000 Objective bound: 0.5040000 Infeasibilities: 0.000000 Extended solver steps: 0 Total solver iterations: 16 Model Class: PINLP Total variables: 9 Nonlinear variables: 9 Integer variables: 9 Total constraints: 5Nonlinear constrai

11、nts: 1 Total nonzeros: 27 Nonlinear nonzeros: 9 Variable Value Reduced Cost X12 1.000000 -0.1166667E-01 X21 1.000000 -0.7733333E-01 X33 1.000000 0.000000 Row Slack or Surplus Dual Price2 0.000000 0.3430000 3 0.000000 0.2026667 4 0.000000 0.1306667 5 0.000000 0.7466667E-01由运行结果可得：部件1并联两个元件，部件2并联1个元件，

12、部件3并联3个元件，最终的可靠性为0.504。4.二选一约束条件某汽车公司正在考虑生产3种类型的汽车：微型、中型和大型。表4.2给出了每种汽车需要的资源及产生的利润。目前有6000吨钢材和60000小时的劳动时间。要生产一种在经济效益上可行的汽车，这种汽车必须至少生产1000辆。试为该公司制定一个使生产利润达到最大的方案。解答解：设X1、X2、X3分别表示生产微型汽车、中型汽车、大型汽车的数量；设Yi表示生产第i种汽车，i=1，2，3。则目标函数为：2000*X1*Y1+3000*X2*Y2+4000*X3*Y3约束条件：X11+X12+X13=1X21+X22+X23=1X31+X32+X3

13、3=11*X11+2*X12+3*X13+3*X21+5*X22+6*X23+2*X31+4*X32+5*X33=10Xij为整数。最优解使得目标函数取得最大。LINGO程序max=2000*X1*Y1+3000*X2*Y2+4000*X3*Y3;1.5*X1+3*X2+5*X3=6000;30*X1+25*X2+40*X3=1000*Y1;X1=1000*Y2;X2=1000*Y3;X3=X1;Y1+Y2=X2;Y2=X3;Y4=X4;Y2+Y6=X5;Y4+Y5=X6;Y3+Y5+Y6=X7;Y4=X8;Y3+Y4+Y5=X9;Y3+Y6=X10;Y5=X11;Y6+Y7=X12;Y7=X

14、13;Y6+Y7=X14;Y7=X15;Xi，Yj为整数。最优解使得目标函数取得最大。LINGO程序max=4*X1+3*X2+10*X3+14*X4+6*X5+7*X6+9*X7+10*X8+13*X9+11*X10+6*X11+12*X12+7*X13+5*X14+16*X15;3.6*Y1+2.3*Y2+4.1*Y3+3.15*Y4+2.8*Y5+2.65*Y6+3.1*Y7=X1;Y1+Y2=X2;Y2=X3;Y4=X4;Y2+Y6=X5;Y4+Y5=X6;Y3+Y5+Y6=X7;Y4=X8;Y3+Y4+Y5=X9;Y3+Y6=X10;Y5=X11;Y6+Y7=X12;Y7=X13;Y

15、6+Y7=X14;Y7=X15;bin(X1);bin(X2);bin(X3);bin(X4);bin(X5);bin(X6);bin(X7);bin(X8);bin(X9);bin(X10);bin(X11);bin(X12);bin(X13);bin(X14);bin(X15);bin(Y1);bin(Y2);bin(Y3);bin(Y4);bin(Y5);bin(Y6);bin(Y7);运行结果 Global optimal solution found. Objective value: 129.0000 Objective bound: 129.0000 Infeasibilitie

16、s: 0.000000 Extended solver steps: 0 Total solver iterations: 0 Model Class: PILP Total variables: 22 Nonlinear variables: 0 Integer variables: 22 Total constraints: 17 Nonlinear constraints: 0 Total nonzeros: 63 Nonlinear nonzeros: 0 Variable Value Reduced Cost X1 0.000000 -4.000000 X2 1.000000 -3.

17、000000 X3 1.000000 -10.00000 X4 1.000000 -14.00000 X5 1.000000 -6.000000 X6 1.000000 -7.000000 X7 1.000000 -9.000000 X8 1.000000 -10.00000 X9 1.000000 -13.00000 X10 1.000000 -11.00000 X11 1.000000 -6.000000 X12 1.000000 -12.00000 X13 1.000000 -7.000000 X14 1.000000 -5.000000 X15 1.000000 -16.00000 Y

18、1 0.000000 0.000000 Y2 1.000000 0.000000 Y3 0.000000 0.000000 Y4 1.000000 0.000000 Y5 1.000000 0.000000 Y6 1.000000 0.000000 Y7 1.000000 0.000000 Row Slack or Surplus Dual Price1 129.0000 1.000000 2 1.000000 0.000000 3 0.000000 0.000000 4 0.000000 0.000000 5 0.000000 0.000000 6 0.000000 0.000000 7 1.000000 0.000000 8 1.000000 0.000000 9 1.000000 0.000000 10 0.000000 0.000000 11 1.000000 0.000000 12 0.000000 0.000000 13 0.000000 0.000000 14 1.000000 0.000000 15 0.000000 0.000000 16 1.000000 0.000000 17 0.000000 0.000000由运行结果可得：需要建造的发射塔为2，4，5，6，7，只有1社区无法覆盖，覆盖最多人口为129千人。