《形式语言与自动机》王柏杨娟编著课后习题答案.docx

1、形式语言与自动机王柏杨娟编著课后习题答案形式语言与自动机课后习题答案第二章4找出右线性文法，能构成长度为1至5个字符且以字母为首的字符串。答：G=N,T,P,S 其中N=S,A,B,C,D T=x,y 其中x所有字母 y所有的字符 P如下: Sx SxA Ay AyB By ByC Cy CyD Dy6构造上下文无关文法能够产生L=/a,b*且中a的个数是b的两倍答：G=N,T,P,S 其中N=S T=a,b P如下: Saab Saba Sbaa SaabS SaaSb SaSab SSaab SabaS SabSa SaSba SSaba SbaaS SbaSa SbSaa SSbaa7找

2、出由下列各组生成式产生的语言（起始符为S）(1)SSaS Sb(2)SaSb Sc(3)Sa SaE EaS答：（1）b(ab)n /n0或者L=(ba)nb /n0(2) L=ancbn /n0(3) L=a2n+1 /n0第三章1下列集合是否为正则集，若是正则集写出其正则式。（1）含有偶数个a和奇数个b的a,b*上的字符串集合（2）含有相同个数a和b的字符串集合（3）不含子串aba的a,b*上的字符串集合答：（1）是正则集，自动机如下 a a b b b b a a(2) 不是正则集，用泵浦引理可以证明，具体见17题（2）。(3) 是正则集 先看L为包含子串aba的a,b*上的字符串集合

3、显然这是正则集，可以写出表达式和画出自动机。（略） 则不包含子串aba的a,b*上的字符串集合L是L的非。根据正则集的性质，L也是正则集。4对下列文法的生成式，找出其正则式（1）G=(S,A,B,C,D,a,b,c,d,P,S),生成式P如下：SaA SBAabS AbBBb BcCCD DbBDd（2）G=(S,A,B,C,D,a,b,c,d,P,S),生成式P如下：SaA SBAcC AbBBbB BaCD CabBDd答：(1) 由生成式得： S=aA+B A=abS+bB B=b+cC C=D D=d+bB 式化简消去CD，得到B=b+c(d+bB)即B=cbB+cd+b =B=(cb

4、)*(cd+b) 将代入S=aabS+ab(cb)*(cd+b)+(cb)*(cd+b) =S=(aab)*(ab+)(cb)*(cd+b)(2) 由生成式得： S=aA+B A=bB+cC B=a+bB C=D+abB D=dB 由得 B=b*a 将代入 C=d+abb*a=d+ab+a 将代入 A=b+a+c(d+b+a) 将代入 S=a(b+a+c(d+ab+a)+b*a =ab+a+acd+acab+a+b*a5.为下列正则集，构造右线性文法：(1)a,b*(2)以abb结尾的由a和b组成的所有字符串的集合(3)以b为首后跟若干个a的字符串的集合(4)含有两个相继a和两个相继b的由a和

5、b组成的所有字符串集合答：（1）右线性文法G=(S,a,b,P,S) P: SaS SbS S (2) 右线性文法G=(S,a,b,P,S) P: SaS SbS Sabb (3) 此正则集为ba* 右线性文法G=(S,A,a,b,P,S) P: SbA AaA A (4) 此正则集为a,b*aaa,b*bba,b*, a,b*bba,b*aaa,b* 右线性文法G=(S,A,B,C,a,b,P,S) P: SaS/bS/aaA/bbB AaA/bA/bbCBaB/bB/aaCCaC/bC/7.设正则集为a(ba)*(1)构造右线性文法(2)找出（1）中文法的有限自 b动机答：（1）右线性文法

6、G=(S,A,a,b,P,S) P: SaA AbS A （2）自动机如下： ab(p2是终结状态)9.对应图（a）(b)的状态转换图写出正则式。（图略）（1）由图可知q0=aq0+bq1+a+ q1=aq2+bq1 q0=aq0+bq1+a=q1=abq1+bq1+aaq0+aa=(b+ab) q1+aaq0+aa=(b+ab) *( aaq0+aa)=q0=aq0+b(b+ab) *( aaq0+aa ) +a+ = q0(a+b (b+ab) *aa)+ b(b+ab) *aa+a+=(a+b (b+ab) *aa) *(b+ab) *aa+a+)=(a+b (b+ab) *aa) *(

7、3)q0=aq1+bq2+a+bq1=aq0+bq2+bq0=aq1+bq0+a=q1=aq0+baq1+bbq0+ba+b =(ba)*(aq0 +bbq0+ba+b)=q2=aaq0+abq2+bq0+ab+a=(ab)*(aaq0 +bq0+ ab+a)=q0=a(ba)*(a+bb) q0 + a(ba)*(ba+b)+b(ab)*(aa+b)q0+ b(ab)*(ab+a)+a+b =a(ba)*(a+bb) +b(ab)*(aa+b)* (a(ba)*(ba+b)+ b(ab)*(ab+a)+a+b)10.设字母表T=a,b,找出接受下列语言的DFA：（1）含有3个连续b的所有字符

8、串集合（2）以aa为首的所有字符串集合（3）以aa结尾的所有字符串集合答：（1）M=(q0,q1 q2,q3,a,b,q0,q3),其中如下：abq0q0q1q1q0q2q2q0q3q3q3q3（2）M=(q0,q1 q2 ,a,b,q0,q2),其中如下：abq0q1q1q2q2q2q2（3）M=(q0,q1 q2 ,a,b,q0,q2),其中如下：abq0q1q0q1q2q0q2q2q014构造DFA M1等价于NFA M，NFA M如下：（1）M=(q0,q1 q2,q3,a,b,q0,q3),其中如下： (q0,a)=q0,q1 (q0,b)=q0 (q1,a)=q2 (q1,b)=

9、q2 (q2,a)=q3 (q2,b)= (q3,a)=q3 (q3,b)= q3 （2）M=(q0,q1 q2,q3,a,b,q0, q1,q2),其中如下： (q0,a)=q1,q2 (q0,b)=q1 (q1,a)=q2 (q1,b)= q1,q2 (q2,a)=q3 (q2,b)= q0 (q3,a)= (q3,b)= q0答：（1）DFA M1=Q1, a,b,1, q0, q0,q1,q3，q0,q2,q3，q0, q1,q2,q3其中Q1 =q0,q0,q1, q0,q1,q2, q0,q2, q0,q1, q2,q3, q0,q1, q3, q0,q2, q3, q0,q31满

10、足abq0q0,q1 q0q0,q1q0,q1,q2 q0,q2q0,q1,q2 q0,q1, q2,q3 q0,q2 q0,q2 q0,q1, q3q0 q0,q1, q2,q3 q0,q1, q2,q3 q0,q2, q3 q0,q1, q3 q0,q1, q2,q3 q0,q2, q3 q0,q2, q3 q0,q1, q3 q0,q3 q0,q3 q0,q1, q3 q0,q3（2）DFA M1=Q1, a,b,1, q0, q1,q3, q1,q3,q0,q1,q2,q1,q2 ,q1,q2,q3,q2,q3其中Q1 =q0,q1,q3, q1,q2, q0,q1,q2,q1,q2,

11、q3, q1,q2,q3,q2,q31满足abq0q1,q3q1q1,q3q2 q0,q1,q2q1q2q1,q2q2q3q0 q0,q1,q2q1,q2,q3 q0,q1,q2q1,q2q2,q3 q0,q1,q2q3q0q1,q2,q3q2,q3 q0,q1,q2q2,q3q3q015. 15.对下面矩阵表示的-NFAabcP(起始状态)pqrqpqrr(终止状态)qrp(1)给出该自动机接收的所有长度为3的串(2)将此-NFA转换为没有的NFA答：（1）可被接受的的串共 23个，分别为aac, abc, acc, bac, bbc, bcc, cac, cbc, ccc, caa, ca

12、b, cba, cbb, cca, ccb, bba, aca, acb, bca, bcb, bab, bbb, abb（2）-NFA：M=(p,q,r,a,b,c,p,r) 其中如表格所示。因为-closure(p)= 则设不含的NFA M1=(p,q,r,a,b,c,1,p,r)1(p,a)=(p,a)=-closure(p,),a)=p1(p,b)=(p,b)=-closure(p,),b)=p,q1(p,c)=(p,c)=-closure(p,),c)=p,q,r1(q,a)=(q,a)=-closure(q,),a)=p,q1(q,b)=(q,b)=-closure(q,),b)=

13、p,q,r1(q,c)=(q,c)=-closure(q,),c)=p,q,r1(r,a)=(r,a)=-closure(r,),a)=p,q,r1(r,b)=(r,b)=-closure(r,),b)=p,q,r1(r,c)=(r,c)=-closure(r,),c)=p,q,r图示如下：(r为终止状态) b,c a,b,c a,b,c a,b,c c a,b,c b,c a,b,c a,b,c16设NFA M=(q0,q1,a,b,q0,q1),其中如下： (q0,a)=q0,q1 (q0,b)=q1 (q1,a)= (q1,b)= q0, q1构造相应的DFA M1，并进行化简答：构造一

14、个相应的DFA M1=Q1, a,b,1, q0, q1，q0,q1其中Q1 =q0，q1，q0,q11满足abq0q0,q1q1q1q0,q1q0,q1q0,q1q0,q1由于该DFA已是最简，故不用化简17.使用泵浦引理，证明下列集合不是正则集：（1）由文法G的生成式SaSbS/c产生的语言L(G)（2）/a,b*且有相同个数的a和b（3）akcak/k1（4）/a,b*证明：（1）在L(G)中，a的个数与b的个数相等假设L(G)是正则集，对于足够大的k取= ak (cb)kc令=102因为|0|0 |10|k 存在0使10i2L所以对于任意0只能取0=an n(0,k)则10i2= ak

15、n(an)i(cb)kc 在i不等于0时不属于L与假设矛盾。则L(G)不是正则集（2）假设该集合是正则集，对于足够大的k取= ak bk令=102因为|0|0 |10|k 存在0使10i2L所以对于任意0只能取0=an n(0,k)则10i2= akn(an)ibk 在i不等于0时a与b的个数不同，不属于该集合与假设矛盾。则该集合不是正则集（3）假设该集合是正则集，对于足够大的k取= ak cak令=102因为|0|0 |10|k 存在0使10i2L所以对于任意0只能取0=an n(0,k)则10i2= akn(an)icak 在i不等于0时c前后a的个数不同，不属于该集合与假设矛盾。则该集合

16、不是正则集（4）假设该集合是正则集，对于足够大的k取= ak bakb令=102因为|0|0 |10|k 存在0使10i2L所以对于任意0只能取0=an n(0,k)则10i2= akn(an)ibakb 在i不等于0时不满足的形式，不属于该集合与假设矛盾。则该集合不是正则集18构造米兰机和摩尔机对于a,b*的字符串，如果输入以bab结尾，则输出1；如果输入以bba结尾，则输出2；否则输出3。答：米兰机： 说明状态qaa表示到这个状态时，输入的字符串是以aa结尾。其他同理。 a/3b/3a/3 a/3 b/3b/1a/2 b/3 摩尔机，状态说明同米兰机。 a a b a a b a b a

17、b b b第四章10.把下列文法变换为无生成式、无单生成式和没有无用符号的等价文法：S A1 | A2 , A1 A3 | A4 , A2 A4 | A5 , A3 S | b |, A4 S | a，A5 S | d |解: 由算法3，变换为无生成式：N = S, A1,A2,A3,A4,A5 G1 = ( S1,S, A1,A2,A3,A4,A5 , a,b,d , P1 , S1 ) ,其中生成式P1如下：S1 | S ,S A1 | A2 ,A1 A3 | A4 ,A2 A4 | A5 ,A3 S | b ,A4 S | a ,A5 S | d , 由算法4，消单生成式：NS1 = S

18、1,S,A1,A2,A3,A4, A5 ,NS = NA1 = NA2 = NA3 = NA4 = NA5 = S, A1,A2,A3,A4, A5 ,运用算法4，则P1变为：S1 a | b | d | ,S a | b | d ,A1 a | b | d ,A2 a | b | d ,A3 a | b | d ,A4 a | b | d ,A5 a | b | d 由算法1和算法2，消除无用符号，得到符合题目要求的等价文法：G1 = ( S1 , a,b,d , P1 , S1 ) ，其中生成式P1为：S1 a | b | d |.11.设2型文法G = ( S,A,B,C,D,E,F ,

19、 a,b,c , P , S ) , 其中P：S ASB |; A aAS | a ; B SBS | A | bb试将G变换为无生成式,无单生成式,没有无用符号的文法,再将其转换为Chomsky范式.解: 由算法3，变换为无生成式：N = S 由S ASB得出S ASB | AB ,由A aAS得出A aAS | aA ,由B SBS得出B SBS | SB | BS |B,由SN 得出S1 | S ,因此无的等效文法G1 = ( S1,S,A,B , a,b,d , P1 , S1 ) ,其中生成式P1如下：S1 | S ,S ASB | AB ,A aAS | aA | a,B SBS

20、| SB | BS | B| A | bb , 由算法4，消单生成式：NS1 = S1,S , NS = S , NA = A , NB = A,B 由于S ASB | ABP且不是单生成式,故P1中有S1 | ASB | AB ,同理有 S ASB | AB , A aAS | aA | a , B SBS | SB | BS | aAS | aA | a | bb,因此生成的无单生成式等效文法为G1 = ( S1,S, A,B , a,b , P1 , S1 ) ,其中生成式P1如下：S1 | ASB | AB ,S ASB | AB , A aAS | aA | a , B SBS |

21、SB | BS | aAS | aA | a | bb, 由算法1和算法2，消除无用符号(此题没有无用符号); 转化为等价的Chomsky范式的文法:将S1 ASB变换为 S AC , C SB ,将S ASB 变换为 S AC ,将A aAS | aA 变换为 A ED | EA, D AS , E a,将B SBS | aAS | aA | a | bb , 变换为 B CS | ED | EA | FF, F b , 由此得出符合题目要求的等价文法：G1 = ( S1,S, A,B,C,D , a,b , P1 , S1 ) ,其中生成式P1如下：S1 | AC | AB ,S AC |

22、 AB , A ED | EA | a , B CS | SB | BS | ED | EA | a | FF ,C SB ,D AS ,E a ,F b .15.将下列文法变换为等价的Greibach范式文法: S DD | a , D SS | b解: 将非终结符排序为S,D,S为低位,D为高位, 对于D SS ,用S DD | a 代入得 D DDS | aS | b ,用引理4.2.4,变化为D aS | b | aSD | bD , D DS | DSD , 将D生成式代入S生成式得 S aSD | bD | aSDD | bDD | a , 将D生成式代入D生成式得D aSS |

23、bS | aSDS | bDS | aSS D | bS D | aSDS D | bDS D , 由此得出等价的Greibach范式文法：G1 = ( S,D,D , a,b , P1 , S ) ,其中生成式P1如下：S aSD | bD | aSDD | bDD | a ,D aS | b | aSD | bD ,D aSS | bS | aSDS | bDS | aSS D | bS D | aSDS D | bDS D . A1 A3b | A2a , A2 A1b | A2A2a | b , A3 A1a | A3A3b | a解: 转化为等价的Chomsky范式的文法: A1 A

24、3A4 | A2A5 ,A2 A1A4 | A2A6 | b ,A3 A1A5 | A3A7 | a ,A4 b ,A5 a ,A6 A2A5 ,A7 A3A4 , 转化为等价的Greibach范式的文法:将非终结符排序为A1, A2,A3,A4,A5 ,A1为低位A5为高位,对于A2 A1A4 ,用A1 A3A4 | A2A5代入得A2 A3A4A4 | A2 A5A4 | A2A6 | b ,用引理4.2.4,变化为A2 A3A4A4 | b | A3A4A4A2 | bA2 ,A2 A5A4A2 | A6A2 | A5A4 | A6 ,对于A3 A1A5 ,用A1 A3A4 | A2A5

25、代入得A3 A3A4A5 | A2A5A5 | A3A7 | a ,A3生成式右边第一个字符仍是较低位的非终结符,将A2生成式代入A3生成式得A3 A3A4 A5 | A3A4A4 A5A5 | b A5A5 | A3A4A4A2 A5A5 | bA2A5A5 | A3A7 | a ,用引理4.2.4,变化为A3 b A5A5 | bA2A5A5 | a | b A5A5A3 | bA2A5A5A3 | aA3 ,A3 A4A5 | A4A4A5A5 | A4A4A2A5A5 | A7 | A4A5A3 | A4A4A5A5A3 | A4A4A2A5A5A3 | A7A3 ,对于A6 A2A5

26、 ,将A2生成式代入A6生成式得A6 A3A4A4A5 | bA5 | A3A4A4A2A5 | bA2A5 ,A6生成式右边第一个字符仍是较低位的非终结符,将A3生成式代入A6生成式得A6 bA5A5A4A4A5 | bA2A5A5A4A4A5 | aA4A4A5 | bA5A5A3A4A4A5 | bA2A5A5A3A4A4A5 | aA3A4A4A5 | bA5A5A4A4A2A5 | bA2A5A5A4A4A2A5 | aA4A4A2A5 | bA5A5A3A4A4A2A5 | bA2A5A5A3A4A4A2A5 | aA3A4A4A2A5 | bA2A5 | b A5 ,对于A7 A3A4 , 将A3生成式代入A7生成式得A7 b A5A5A4 | bA2A5A5A4 | a A4 | b A5A5A3A4 | bA2A5A5A3A4 | aA3