版高考数学一轮复习第七章立体几何第42讲直线平面垂直的判定及其性质学案.docx

1、版高考数学一轮复习第七章立体几何第42讲直线平面垂直的判定及其性质学案第42讲直线、平面垂直的判定及其性质考纲要求考情分析命题趋势1.能以立体几何中的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质和判定定理2能运用公理、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形的垂直关系的简单命题.2016全国卷，182016全国卷，192016江苏卷，162016浙江卷，18与直线、平面垂直有关的命题判断，线线、线面、面面垂直的证明，直线与平面所成的角的计算，求解二面角大小，由线面垂直或面面垂直探求动点的位置.分值：56分1直线与平面垂直(1)直线和平面垂直的定义如果一条直线l与平面内的_任意一条

2、_直线都垂直，就说直线l与平面互相垂直(2)判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理如果一条直线与一个平面内的_两条相交直线_都垂直，则该直线与此平面垂直l性质定理垂直于同一个平面的两条直线_平行_ab2平面与平面垂直(1)平面与平面垂直的定义两个平面相交，如果它们所成的二面角是_直二面角_，就说这两个平面互相垂直(2)判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面过另一个平面的一条_垂线_，则这两个平面互相垂直性质定理两个平面互相垂直，则一个平面内垂直于_交线_的直线与另一个平面垂直l1思维辨析(在括号内打“”或“”)(1)直线l与平面内无数条直线都垂直，则l.()(2

3、)过一点作已知直线的垂面有且只有一个()(3)若两条直线垂直，则这两条直线相交()(4)若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一平面()(5)若平面内的一条直线垂直于平面内的无数条直线，则.()解析 (1)错误直线l与内两条相交直线都垂直才有l.(2)正确过一点可以作两条相交直线都垂直于已知直线，而这两条相交直线可确定一个平面，此平面与直线垂直(3)错误两条直线垂直，这两条直线可能相交，也可能异面(4)错误两个平面垂直，有一条交线，一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面，而不是任意一条直线(5)错误内的一条直线如果与内的两条相交直线都垂直才能线面垂直，从而面面垂直2设平面与平

4、面相交于直线m，直线a在平面内，直线b在平面内，且bm，则“”是“ab”的(A)A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件解析 由面面垂直的性质定理可知，当时，b.又因为a，则ab; 如果am，ab，不能得到，故“”是“ab”的充分不必要条件故选A3已知m和n是两条不同的直线， 和是两个不重合的平面，下面给出的条件中一定能推出m的是(C)A且m B且mCmn且n Dmn，n且解析 ，且mm或m或m与相交，故A项不成立；，且mm或m或m与相交，故B项不成立；mn，且nm.故C项成立；mn，n，且，知m不成立，故D项不成立，故选C4PD垂直于正方形ABCD所在的平面，

5、连接PB，PC，PA，AC，BD，则一定互相垂直的平面有_7_对解析 平面PAD、平面PBD、平面PCD都垂直于平面ABCD，平面PAD平面PCD，平面PCD平面PBC，平面PAD平面PAB，平面PAC平面PBD，共有7对5在三棱锥PABC中，点P在平面ABC内的射影为点O.(1)若PAPBPC，则点O是ABC的_外_心；(2)若PAPB，PBPC, PCPA，则点O是ABC的_垂_心解析 (1)若PAPBPC，由勾股定理易得OAOBOC，故O是ABC的外心；(2)由PAPB，PCPA，得PA平面PBC，则PABC又由PO平面ABC知POBC，所以BC平面PAO，则AOBC，同理得BOAC，C

6、OAB，故O是ABC的垂心一直线与平面垂直的判定与性质(1)证明直线和平面垂直的常用方法：判定定理；垂直于平面的传递性(ab，ab)；面面平行的性质(a，a)；面面垂直的性质(2)证明线面垂直的核心是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想(3)线面垂直的性质常用来证明线线垂直【例1】 如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为棱C1D1的中点，F为棱BC的中点(1)求证：直线AE直线DA1；(2)在线段AA1上求一点G，使得直线AE平面DFG.解析 (1)证明：由正方体的性质可知，DA1AD1，DA1AB，又ABAD1A，

7、DA1平面ABC1D1，又AE平面ABC1D1，DA1AE.(2)所求G点即为A1点，证明如下：由(1)可知AEDA1，取CD的中点H，连接AH，EH，由DFAH，DFEH，AHEHH，可证DF平面AHE，AE平面AHE，DFAE.又DFA1DD，AE平面DFA1，即AE平面DFG.二平面与平面垂直的判定与性质(1)判定面面垂直的方法：面面垂直的定义；面面垂直的判定定理(a，a)(2)在已知平面垂直时，一般要用性质定理进行转化在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直【例2】 已知三棱柱A1B1C1ABC的侧棱与底面成60角，底面是等边三角形，侧面B1C1CB是菱形且与

8、底面垂直，求证：AC1BC证明 过C1作C1HBC于H，连接AH，又侧面B1C1CB底面ABC，侧面B1C1CB 底面ABCBC，C1H底面ABC侧棱CC1与底面ABC所成角，即为C1CH60，在RtC1CH中，CHCC1，又CC1BC，CHBC，即H为BC的中点，在等边ABC中，AHBC，又C1HBC，AHC1HH，BC平面AC1H，又AC1平面AC1H，AC1BC三垂直关系中的探索性问题解决垂直关系中的探索性问题的方法同“平行关系中的探索性问题”的规律方法一样，一般是先探求点的位置，多为线段的中点或某个等分点，然后给出符合要求的证明【例3】 如图，在三棱台ABCDEF中，CF平面DEF，A

9、BBC(1)设平面ACE平面DEFa，求证：DFa；(2)若EFCF2BC，试问在线段BE上是否存在点G，使得平面DFG平面CDE？若存在，请确定G点的位置；若不存在，请说明理由解析 (1)证明：在三棱台ABCDEF中，ACDF，AC平面ACE，DF平面ACE，DF平面ACE.又DF平面DEF，平面ACE平面DEFa，DFa.(2)线段BE上存在点G，且BGBE，使得平面DFG平面CDE.证明如下：取CE的中点O，连接FO并延长交BE于点G.连接GD，CFEF，GFCE.在三棱台ABCDEF中，由ABBC得DEEF.由CF平面DEF，得CFDE.又CFEFF，DE平面CBEF，DEGF.又CE

10、DEE，GF平面CDE.又GF平面DFG，平面DFG平面CDE.此时，如平面图所示，O为CE的中点，EFCF2BC，易证HOCFOE，HBBCEF.由HGBFGE可知，即BGBE.1(2018山东青岛模拟)设a，b是两条不同的直线，是两个不同的平面，则能得出ab的是(C)Aa，b， Ba，b，Ca，b， Da，b，解析 对于C项，由，a可得a，又b，得ab，故选C2(2016浙江卷)已知互相垂直的平面，交于直线l，若直线m，n满足m，n，则(C)Aml BmnCnl Dmn解析 l，l，n，nl.3如图，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ABAD, ACCD，ABC60， PAABBC，

11、E是PC的中点证明：(1) CDAE；(2)PD平面ABE.证明 (1)在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，CD平面ABCD，PACDACCD，PAACA，CD平面PAC，而AE平面PAC，CDAE.(2)由PAABBC，ABC60，可得ACPAE是PC的中点，AEPC由(1)知AECD，且PCCDC，AE平面PCD而PD平面PCD，AEPDPA底面ABCD，PAAB又ABAD且PAADA，AB平面PAD，而PD平面PAD，ABPD又ABAEA，PD平面ABE.4如图，在四棱锥SABCD中，平面SAD平面ABCD，四边形ABCD为正方形，且P为AD的中点，Q为SB的中点(1)求证：CD平面

12、SAD；(2)求证：PQ平面SCD；(3)若SASD，M为BC的中点，在棱SC上是否存在点N，使得平面DMN平面ABCD？并证明你的结论解析 (1)证明：因为四边形ABCD为正方形，所以CDAD又平面SAD平面ABCD，且平面SAD平面ABCDAD，所以CD平面SAD(2)证明：取SC的中点R，连接QR，DR.由题意知，PDBC且PDBC在SBC中，Q为SB的中点，R为SC的中点，所以QRBC且QRBC所以QRPD且QRPD，则四边形PDRQ为平行四边形，所以PQDR.又PQ平面SCD，DR平面SCD，所以PQ平面SCD(3)存在点N为SC的中点，使得平面DMN平面ABCD连接PC，DM交于点

13、O，连接PM，SP，NM，ND，NO，因为PDCM，且PDCM，所以四边形PMCD为平行四边形，所以POCO.又因为N为SC的中点，所以NOSP.易知SPAD，平面SAD平面ABCD，平面SAD平面ABCDAD，所以SP平面ABCD，所以NO平面ABCD因为NO平面DMN，所以平面DMN平面ABCD易错点联想不到已学定理错因分析：已知条件中给出了线面垂直，求证的是线线平行，若忽略线面垂直的性质定理，则觉得论证无从下手，从而造成解题困难【例1】 在正方体ABCDA1B1C1D1中，点M，N分别在BD，B1C上，且MNBD, MNB1C，求证：MNAC1.证明 连接A1D，A1B，AC，MNB1C

14、，B1CA1D，MNA1D又MNBD，BDA1DD，MN平面A1BDCC1底面ABCD，CC1BD又BDAC，ACCC1C，BD平面ACC1.BDAC1.同理AC1A1B又A1BBDB，AC1平面A1BD又MN平面A1BD，MNAC1.【跟踪训练1】 如图，PA垂直于圆O所在的平面，AB是圆O的直径，C是圆O上的一点，E, F分别是点A在PB, PC上的射影，给出下列结论：AFPB；EFPB；AFBC；AEBC正确结论的个数为(C)A1 B2C3 D4解析 AB是圆O的直径，ACBC，又PA面ABC，故PABC，且PAACA，BC面PAC，BCAF.又AFPC，且PCBCC，AF面PBC，故A

15、FPB又AEPB，且AFAEA，PB面AEF，从而EFPB，故正确若AEBC，则可证AE面PBC，则AEAF，这是不可能的，选C课时达标第42讲解密考纲对直线、平面垂直的判定与性质定理的初步考查一般以选择题、填空题的形式出现，难度不大；综合应用直线、平面垂直的判定与性质常以解答题为主，难度中等一、选择题1已知平面平面，l，点A，Al，直线ABl，直线ACl，直线m，m，则下列四种位置关系中，不一定成立的是(D)AABm BACmCAB DAC解析 如图所示，ABlm；ACl，mlACm；ABlAB，只有D项不一定成立，故选D2在空间中，l，m，n，a，b表示直线，表示平面，则下列命题正确的是(

16、D)A若l，ml，则 m B若lm，mn，则lnC若a，ab，则b D若l，la，则a解析 对于A项，m与位置关系不确定，故A项错；对于B项，当l与m，m与n为异面垂直时，l与n可能异面或相交，故B项错；对于C项，也可能b，故C项错；对于D项，由线面垂直的定义可知正确3(2018江西南昌模拟)已知m，n为异面直线，m平面，n平面.直线l满足lm，ln，l，l，则(D)A且lB且lC与相交，且交线垂直于lD与相交，且交线平行于l解析 由于m，n为异面直线，m平面，n平面，则平面与平面必相交，但不一定垂直，且交线垂直于直线m，n，又直线l满足lm，ln，则交线平行于l.4设a，b是夹角为30的异面

17、直线，则满足条件“a，b，且”的平面，(D)A不存在 B有且只有一对C有且只有两对 D有无数对解析 过直线a的平面有无数个，当平面与直线b平行时，两直线的公垂线与b确定的平面，当平面与b相交时，过交点作平面的垂线与b确定的平面.故选D5(2018宁夏银川一模)如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，G是EF的中点，现沿AE，AF及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B，C，D三点重合，重合后的点记为H，那么，在这个空间图形中必有(A)AAH平面EFH BAG平面EFHCHF平面AEF DHG平面AEF解析 由平面图形得AHHE，AHHF，又HEHFH，AH平面HEF，故选A6(

18、2018陕西宝鸡质检)对于四面体ABCD，给出下列四个命题：若ABAC，BDCD，则BCAD；若ABCD，ACBD，则BCAD；若ABAC，BDCD，则BCAD；若ABCD，ACBD，则BCAD其中为真命题的是(D)A BC D解析 如图，取BC的中点M，连接AM，DM，由ABACAMBC，同理DMBCBC平面AMD，而AD平面AMD，故BCAD设A在平面BCD内的射影为O，连接BO，CO，DO，由ABCDBOCD，由ACBDCOBDO为BCD的垂心DOBCADBC二、填空题7若，是两个相交平面，m为一条直线，则下列命题中，所有真命题的序号为_.若m，则在内一定不存在与m平行的直线；若m，则在

19、内一定存在无数条直线与m垂直；若m，则在内不一定存在与m垂直的直线；若m，则在内一定存在与m垂直的直线解析 对于，若m，如果，互相垂直，则在平面内存在与m平行的直线，故错误；对于，若m，则m垂直于平面内的所有直线，故在平面内一定存在无数条直线与m垂直，故正确；对于，若m，则在平面内一定存在与m垂直的直线，故错误，正确8(2018吉林长春模拟)如图所示，在直角梯形ABCD 中，BCDC，AEDC，N，M分别是AD，BE的中点， 将三角形ADE沿AE折起，下列说法正确的是_(填上所有正确的序号)不论D折至何位置(不在平面ABC内)都有MN平面DEC；不论D折至何位置都有MNAE；不论D折至何位置(

20、不在平面ABC内)都有MNAB解析 如图，分别取EC，DE的中点P，Q，由已知易知四边形MNQP为平行四边形，则MNPQ，又PQ平面DEC，故MN平面DEC，正确；取AE的中点O，易证NOAE，MOAE.故AE平面MNO，又MN平面MNO，则AEMN，正确；D平面ABC，N平面ABC，又A，B，M平面ABC，MN与AB异面，错误9如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱长为2，ACBC1，ACB90，D是A1B1的中点，F是BB1上的动点，AB1，DF交于点E，要使AB1平面C1DF，则线段B1F的长为_.解析 设B1Fx，因为AB1平面C1DF，DF平面C1DF，所以AB1DF.由已知可以

21、得A1B1.设RtAA1B斜边AB1上的高为h，则DEh.又22h，所以h，DE.在RtDB1E中，B1E.由面积相等得x，得x.即线段B1F的长为.三、解答题10如图，在ABC中，ABC90，D是AC的中点，S是ABC所在平面外一点，且SASBSC(1)求证：SD平面ABC；(2)若ABBC，求证：BD平面SAC证明 (1)因为SASC，D是AC的中点，所以SDAC在RtABC中，ADBD，又SASB，SDSD，所以ADSBDS，所以SDBD又ACBDD，所以SD平面ABC(2)因为ABBC，D为AC的中点，所以BDAC由(1)知SDBD，又SDACD，所以BD平面SAC11(2018河南郑

22、州模拟)如图，已知三棱柱ABCABC的侧棱垂直于底面，ABAC，BAC90，点M，N分别为AB和BC的中点(1)证明：MN平面AACC；(2)设ABAA，当为何值时，CN平面AMN，试证明你的结论解析 (1)证明：如图，取AB的中点E，连接ME，NE.因为E，N分别为AB和BC的中点，所以NEAC，MEBBAA.又AC平面AACC，NE平面AACC，所以NE平面AACC，同理ME平面AACC，又EMENE，所以平面MNE平面AACC，因为MN平面MNE，所以MN平面AACC(2)当时，CN平面AMN，证明如下：连接BN，设AAa，则ABAAa，由题意知BCa，CNBN，因为三棱柱ABCABC的

23、侧棱垂直于底面，所以平面ABC平面BBCC，因为ABAC，点N是BC的中点，所以AN平面BBCC，所以CNAN，要使CN平面AMN，只需CNBN即可，所以CN2BN2BC2，即222a2，解得，故当时，CN平面AMN.12如图，在ABC中，B90，AB，BC1，D，E两点分别是边AB，AC的中点，现将ABC沿DE折成直二面角ADEB(1)求证：平面ADC平面ABE；(2)求直线AD与平面ABE所成角的正切值解析 (1)证明：D，E两点分别是边AB，AC的中点，DEBCB90，ADE90，DEAD，DEBD，ADB为二面角ADEB的平面角，ADB90，AD平面BCD又BE平面BCD，ADBE.又BD，DE，BC1，即，BDECBD，EBDDCB，EBDBDC90，BEDC又DCADD，BE平面ADC又BE平面ABE，平面ABE平面ADC(2)设BE交CD于H，连接AH，过点D作DOAH于O.ADBE，BEDH，又ADDHD，BE平面ADH.DO平面ADH，BEDO.又DOAH，BEAHH，DO平面ABE，DAO为AD与平面ABE所成的角在RtBDE中，BD，DE，DH.在RtADH中，tanDAO，直线AD与平面ABE所成角的正切值为.