几何问题中三角板专题.docx

1、几何问题中三角板专题几何问题中三角板专题三角板是学生最常用的学习工具，以三角板为道具，以学生常见、熟悉的几何图形为载体，并辅之以平移、旋转等变换手段的问题，能为学生提供动手实践操作设计的空间，较好地考查了学生观察、实验、比较、联想、类比、归纳的能力以及运动变化、分类讨论思想等的综合运用能力。这类操作性的题目格调清新，立意新颖，充分体现了课标中提出的“培养学生动手动脑、实践探索的能力”的要求，既注重基础知识，同时又具有很强的综合性，因此受到了各地中考命题专家的青睐。本文就近年来中考试题中以三角板为背景材料设计的操作探究题为例，进行赏析，供大家参考。1将一副三角板如图放置，D为BC的中点，将三角板

2、MDN的直角顶点放在点D处，三角板的两边与AB，AC分别交于点E、F，当三角板MDN绕点D旋转时，且旋转过程中使点E不与A、B重合（1）请你说明DEF一定为等腰直角三角形；（2）证明点E、F到线段BC的距离之和为定值2将一块锐角为45的直角三角板如图放置在RtABC上，BAC=90,AC=2AB，点D是AC的中点，ADE是等腰三角形，AED=90，连接BE、EC判断线段BE和EC的关系，并证明你的结论3（2009贺州）图中是一副三角板，45的三角板RtDEF的直角顶点D恰好在30的三角板RtABC斜边AB的中点处，A=30，E=45，EDF=ACB=90，DE交AC于点G，GMAB于M（1）如

3、图，当DF经过点C时，作CNAB于N，求证：AM=DN；（2）如图，当DFAC时，DF交BC于H，作HNAB于N，（1）的结论仍然成立，请你说明理由4如图1，一副直角三角板满足AB=BC，AC=DE，ABC=DEF=90，EDF=30操作：将三角板DEF的直角顶点E放置于三角板ABC的斜边AC上，再将三角板DEF绕点E旋转，并使边DE与边AB交于点P，边EF与边BC于点Q探究一：在旋转过程中，（1）如图2，当时，EP与EQ满足怎样的数量关系？并给出证明；（2）如图3，当时，EP与EQ满足怎样的数量关系？并说明理由；（3）根据你对（1）、（2）的探究结果，试写出当时，EP与EQ满足的数量关系式为

4、 ，其中m的取值范围是 （直接写出结论，不必证明）探究二：若且AC=30cm，连接PQ，设EPQ的面积为S（cm2），在旋转过程中：（1）S是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值；若不存在，说明理由（2）随着S取不同的值，对应EPQ的个数有哪些变化，求出相应S的值或取值范围5（2014秋泰兴市校级期中）ABC中，ACB=90，AC=BC，AB=2现将一块三角板的直角顶点放在AB的中点D处，两直角边分别与直线AC、直线BC相交于点E、F我们把DEAC时的位置定为起始位置（如图1），将三角板绕点D顺时针方向旋转一个角度 （090）（1）在旋转过程中，当点E在线段AC上，点F在线段BC上

5、时（如图2），试判别DEF的形状，并说明理由；判断四边形ECFD的面积是否发生变化，并说明理由（2）设直线ED交直线BC于点G，在旋转过程中，是否存在点G，使得EFG为等腰三角形？若存在，求出CG的长，若不存在，说明理由；6（2014衡阳）将一副三角尺（在RtABC中，ACB=90，B=60；在RtDEF中，EDF=90，E=45）如图摆放，点D为AB的中点，DE交AC于点P，DF经过点C（1）求ADE的度数；（2）如图，将DEF绕点D顺时针方向旋转角（060），此时的等腰直角三角尺记为DEF，DE交AC于点M，DF交BC于点N，试判断的值是否随着的变化而变化？如果不变，请求出的值；反之，请说

6、明理由7将一副三角尺（RtABC和RtDEF）将图3-1摆放，点E，A，D，B在一条直线上，且D是AB的中点。将RtDEF绕点D按顺时针方向旋转角a(0a90),在旋转过程中，直线DE,AC相交于点M，直线DF，BC相交于点N，分别过点M，N作直线AB的垂线，垂足分别为G,H。 （1）当a=30时（图3-2），求证：AG=DH。 （2）当a=60时（图3-3），（1）中的结论是否成立？请写出你的结论，并说明理由。 （3）当0a90时（图3-4），通过测量或推理，判断（1）中的结论是否成立。请写出你的结论，不需说明理由。8（2014宿迁）如图，已知BAD和BCE均为等腰直角三角形，BAD=BCE

7、=90，点M为DE的中点，过点E与AD平行的直线交射线AM于点N（1）当A，B，C三点在同一直线上时（如图1），求证：M为AN的中点；（2）将图1中的BCE绕点B旋转，当A，B，E三点在同一直线上时（如图2），求证：ACN为等腰直角三角形；（3）将图1中BCE绕点B旋转到图3位置时，（2）中的结论是否仍成立？若成立，试证明之，若不成立，请说明理由9.在矩形ABCD中，AD=2AB=4，E是AD的中点，一块足够大的三角板的直角顶点与点E重合，将三角板绕点E旋转，三角板的两直角边分别交AB，BC（或它们的延长线）于点M，N，设AEM=（090），给出下列四个结论：AM=CN；AME=BNE；BN-

8、AM=2；SEMN=.上述结论中正确的是 把两个全等的等腰直角三角形ABC和EFG(其直角边长均为4)叠放在一起(如图),且使三角板EFG的直角顶点G与三角板ABC的斜边中点O重合。现将三角板EFG绕O点顺时针旋转(旋转角满足条件：090),四边形CHGK是旋转过程中两三角板的重叠部分(如图).(1)在上述旋转过程中，BH与CK有怎样的数量关系四边形CHGK的面积有何变化?证明你发现的结论；(2)连接HK，在上述旋转过程中，设BH=x，GKH的面积为y，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；(3)在(2)的前提下,是否存在某一位置,使GKH的面积恰好等于ABC面积的?若存在，求出

9、此时x的值；若不存在，说明理由。参考答案：1（1）解：连接AD，如图，ABC是等腰直角三角形，B=C=45，EAD=45，AD=DC，ADBC，EDF=90，EDA+ADF=ADF+FDC=90，EDA=FDC，在EDA和FDC中，（2）证明：过点E、F分别作BC的垂线交BC于点G、H，如图，FDH=ADE，又EGD=ADC=90，EGAD，GED=ADE，FDH=GED，在EDG和FDH中，2BECE,BECE。证明：D是AC的中点，AC2CD。AC2AB，CDAB。AEED,AED900，EADEDA450，EDC180-EDA1350，BAC900，BAEBAC+EAD1350，BAEE

10、DC，BAECDE （ASA），BECE,DECAEB。AEB+BED900，CED+BED900，BEC900，BECE 。3（1）证明：ACB=90，D是AB的中点CD=AD=BD，又B=90A=60，BCD是等边三角形又CNDB，DN=DBEDF=90，BCD是等边三角形，ADG=30，而A=30GA=GDGMAB，AM=AD又AD=DB，AM=DN（2）解：（1）的结论依然成立理由如下：DFAC，1=A=30，AGD=GDH=90，ADG=60B=60，AD=DB，ADGDBH，AG=DH又GMAB，HNAB，GMA=HND=90，1=A，RtAMGRtDNH，AM=DN4解：探究一：

11、（1）连接BE，根据E是AC的中点和等腰直角三角形的性质，得：BE=CE，PBE=C，又BEP=CEQ，则BEPCEQ，得EP=EQ；（2）作EMAB，ENBC于M，N，EMP=ENC，MEP+PEN=PEN+NEF=90，MEP=NEF，MEPNEQ，EP：EQ=EM：EN=AE：CE=1：2；（3）过E点作EMAB于点M，作ENBC于点N，在四边形PEQB中，B=PEQ=90，EPB+EQB=180（四边形的内角和是360），又EPB+MPE=180（平角是180），MPE=EQN（等量代换），RtMEPRtNEQ（AA），（两个相似三角形的对应边成比例）；在RtAMERtENC，=m=，

12、=1：m=，EP与EQ满足的数量关系式为EP：EQ=1：m，0m2+；（当m2+时，EF与BC不会相交）探究二：若AC=30cm，（1）设EQ=x，则S=x2，所以当x=10时，面积最小，是50cm2；当x=10时，面积最大，是75cm2（2）当x=EB=5时，S=62.5cm2，故当50S62.5时，这样的三角形有2个；当S=50或62.5S75时，这样的三角形有一个（第4题图）（第5题图）5解：（1）DEF等腰直角三角形，证明如下，如图2，AC=BC，C=90，D为AB中点，连接CD，CD平分C，CDAB，DCB=B=45，CD=DB=1，EDC+CDF=CDF+FDB=90，EDC=FD

13、B，在DCE和DFB中，DCEDFB（ASA），DE=DF，DEF是等腰三角形四边形ECFD的面积不发生变化；理由如下：DCEDFB，S四边形ECFD=SBCD=11=，四边形ECFD的面积不发生变化（2）如图3a，当G在线段CB延长线上时，FGE45，FEG=45，EFG90EFG不可能是等腰三角形； 如图3b，当G与C重合时，E与A重合，F与C重合，此时FE=FG，CG=，如图3c，当G在线段BC上时，EGF45，EFG45，FEG=45，只能EF=EG，ECFG，FC=CG，EDF=90，FDG=90，DC=FG=CG，CG=1；综上，CG的值为或16解：（1）ACB=90，点D为AB的

14、中点，CD=AD=BD=AB，ACD=A=30，ADC=180302=120，ADE=ADCEDF=12090=30；（2）EDF=90，PDM+EDF=CDN+EDF=90，PDM=CDN，B=60，BD=CD，BCD是等边三角形，BCD=60，CPD=A+ADE=30+30=60，CPD=BCD，在DPM和DCN中，DPMDCN，=，=tanACD=tan30=，的值不随着的变化而变化，是定值7考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形；旋转的性质菁优网版权所有专题：几何综合题；压轴题分析：（1）由题意易证出AG=AD，DH=DB，而AD=DB，可得AG=

15、DH；（2）可由证AMDDNB，再证AMGDNH，证出AG=DH；（3）可证RtAGMRtNHB，RtDGMRtNHD，证出AG=DH解答：解：（1）=30，ADM=30，A=30，ADM=AAM=DM又MGAD于G，AG=ADCDB=180EDFADM=60，B=60，CDB是等边三角形又CHDB于H，DH=DB在ABC中，ACB=90，A=30，BC=ABBC=BD，AD=DBAG=DH（2）结论成立理由如下：在AMD与DNB中，A=NDB=30，AD=DB，MDA=B=60，AMDDNB，AM=DN又在AMG与DNH中，A=NDB，MGA=NHD=90，AMGDNHAG=DH（3）方法一

16、：解：结论成立RtAGMRtNHB，RtDGMRtNHDC=MDN=90，C，D两点在以MN为直径的圆上，C，M，D，N四点共圆，DNM=DCA=30，DN=DM。又DGMNHD，DH=MG=AG方法二：解：当090时，（1）中的结论成立在RtAMG中，A=30，AMG=60=B又AGM=NHB=90，AGMNHBMDG=，DMG=90=NDH又MGD=DHN=90，RtMGDRtDHN= ，得=，由比例的性质，得 =。AD=DB，AG=DH点评：此题主要考查图形的旋转，直角三角形的性质，三角形全等的判定，三角形相似的判定及性质的灵活运用此题用同学们常用的一副三角板作为情境，培养同学们灵活运用

17、知识的能力8考点：几何变换综合题；平行线的性质；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形；多边形内角与外角菁优网版权所有专题：几何综合题；压轴题分析：（1）由ENAD和点M为DE的中点可以证到ADMNEM，从而证到M为AN的中点（2）易证AB=DA=NE，ABC=NEC=135，从而可以证到ABCNEC，进而可以证到AC=NC，ACN=BCE=90，则有ACN为等腰直角三角形（3）延长AB交NE于点F，易得ADMNEM，根据四边形BCEF内角和，可得ABC=FEC，从而可以证到ABCNEC，进而可以证到AC=NC，ACN=BCE=90，则有ACN为等腰直角三角形解答：（1）证明：如图1，ENAD

18、，MAD=MNE，ADM=NEM点M为DE的中点，DM=EM在ADM和NEM中，ADMNEMAM=MNM为AN的中点（2）证明：如图2，BAD和BCE均为等腰直角三角形，AB=AD，CB=CE，CBE=CEB=45ADNE，DAE+NEA=180DAE=90，NEA=90NEC=135A，B，E三点在同一直线上，ABC=180CBE=135ABC=NECADMNEM（已证），AD=NEAD=AB，AB=NE在ABC和NEC中，ABCNECAC=NC，ACB=NCEACN=BCE=90ACN为等腰直角三角形（3）ACN仍为等腰直角三角形证明：如图3，延长AB交NE于点F，ADNE，M为中点，易得

19、ADMNEM，AD=NEAD=AB，AB=NEADNE，AFNE，在四边形BCEF中，BCE=BFE=90FBC+FEC=360180=180。FBC+ABC=180，ABC=FEC在ABC和NEC中，ABCNECAC=NC，ACB=NCEACN=BCE=90ACN为等腰直角三角形点评：本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质、等腰直角三角形的判定与性质、多边形的内角与外角等知识，渗透了变中有不变的辩证思想，是一道好题9.如图：在矩形ABCD中，AD=2AB，E是AD的中点，作EFBC于点F，则有AB=AE=EF=FC.AEM+DEN=90，FEN+DEN=90，AEM=FEN，RtAM

20、ERtFNE，AM=FN，MB=CN.AM不一定等于CN，错误.由有RtAMERtFNE，AME=BNE，正确，由得，BM=CN.AD=2AB=4，BC=4，AB=2BN-AM=BC-CN-AM=BC-BM-AM=BC-(BM+AM)=BC-AB=4-2=2，正确，如图：由得，CN=CF-FN=2-AM，AE=12，AD=2，AM=FN，AM=AEtan，cos=AMAE=AEAE2+AM2，cos2=AE2AE2+AM2，2cos2a=2(1+AM2AE2)=2+2tan2，SEMN=S四边形ABNE-SAME-SMBN=12(AE+BN)AB-12AEAM-12BNBM=12(AE+BC-

21、CF+FN)2-12AEAM-12(BC-2+AM)(2-AM)=AE+AM-12AEAM+12AM2=2+tana-2tana+2tan2a=2(1+tan2a)=2cos2a，正确.10.(1)在上述旋转过程中，BH=CK，四边形CHGK的面积不变。证明：连接CG，KH，ABC为等腰直角三角形,O(G)为其斜边中点，CG=BG，CGAB，ACG=B=45，BGH与CGK均为旋转角，BGH=CGK，在BGH与CGK中，B=KCG,BG=CG,BGH=CGKBGHCGK(ASA)，BH=CK,SBGH=SCGK.S四边形CHGK=SCHG+SCGK=SCHG+SBGH=12SABC=121244=4,即：S四边形CHGK的面积为4，是一个定值，在旋转过程中没有变化；(2)AC=BC=4，BH=x，CH=4x，CK=x.由SGHK=S四边形CHGKSCHK，得y=41/2x(4x)，.由090，得到BH最大=BC=4，0x4；(3)存在。根据题意,得，解这个方程,得,，即：当x=1或x=3时,GHK的面积均等于ABC的面积的.