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1、高中数学会考知识点汇编高中数学会考知识点汇编第一章 集合与简易逻辑 1、 集合 （1）、定义：某些指定的对象集在一起叫集合；集合中的每个对象叫集合的元素。 集合中的元素具有确定性、互异性和无序性；表示一个集合要用 。 （2）、集合的表示法：列举法（）、描述法（）、图示法（）；（3）、集合的分类：有限集、无限集和空集（记作 ， 是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集）； （4）、元素a和集合A之间的关系：aA，或a A； （5）、常用数集：自然数集：N ；正整数集：N；整数集：Z ；整数：Z；有理数集：Q；实数集：R。 2、子集 （1）、定义：A中的任何元素都属于B，则A叫B的子集 ；记作：A

2、 B， 注意：A B时，A有两种情况：A与A（2）、性质：、A A, A；、若A B,B C，则A C；、若A B,B A则A=B ； 3、真子集 ：（1）、定义：A是B的子集 ，且B中至少有一个元素不属于A；记作：A B； （2）、性质：、A , A；、若A B,B C，则A C；4、补集：、定义：记作：CUA x|x U,且x A； 、性质：A CUA ，A CUA U，CU（CUA） A； 5、交集与并集（1）、交集：A B x|x A且x B性质：、A A A,A 、若A B B，则B A （2）、并集：A B x|x A或x B性质：、A A A,A A 、若A B B，则A BAB

3、不等式解集的边界值是相应方程的解含参数的不等式axb xc>0恒成立问题 含参不等式axb xc>0的解集是R；其解答分a0(验证bxc>0是否恒成立)、a0（a<0且<0）两种情况。7、绝对值不等式的解法：（“”取两边，“”取中间）（1）、当a 0时，|x| a的解集是x|x a,x a，|x| a的解集是x| a x a（2）、当c 0时，|ax b| c ax b c,ax b c， |ax b| c c ax b c（3）、含两个绝对值的不等式：零点分段讨论法：例：|x 3| |2x 1| 28、简易逻辑： （1）命题：可以判断真假的语句；逻辑联结词：或、

4、且、非；简单命题：不含逻辑联结词的命题；复合命题：由简单命题与逻辑联结词构成的命题；三种形式：p或q、p且q、非p；判断复合命题真假：（1）、思路：、确定复合命题的结构，、判断构成复合命题的简单命题的真假， 、利用真值表判断复合命题的真假；（2）、真值表：p或q，同假为假，否则为真；p且q，同真为真；非p，真假相反。（2）、四种命题： 原命题：若p则q； 逆命题：若q则p；否命题：若 p则 q； 逆否命题：若 q则 p； 互为逆否的两个命题是等价的。原命题与它的逆否命题是等价命题。 （3）、反证法步骤（4）、充分条件与必要条件：若p q，则p叫q的充分条件；若p q，则p叫q的必要条件；若p

5、q，则p叫q的充要条件； 22第二章 函数1、映射：按照某种对应法则f ，集合A中的任何一个元素，在B中都有唯一确定的元素和它对应， 记作f：AB，若a A,b B，且元素a和元素b对应，那么b叫a的象，a叫b的原象。2、函数：（1）、定义：设A，B是非空数集，若按某种确定的对应关系f，对于集合A中的任意一个数x，集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对应，就称f：AB为集合A到集合B的一个函数，记作y=f（x），（2）、函数的三要素：定义域，值域，对应法则；自变量x的取值范围叫函数的定义域，函数值f（x）的范围叫函数的值域，定义域和值域都要用集合或区间表示；（3）、函数的表示法常用：解析法，列

6、表法，图象法（画图象的三个步骤：列表、描点、连线）；（4）、区间：满足不等式a x b的实数x的集合叫闭区间，表示为：a ，b满足不等式a x b的实数x的集合叫开区间，表示为：（a ，b）满足不等式a x b或a x b的实数x的集合叫半开半闭区间，分别表示为：a ，b）或（a ，b；（5）、求定义域的一般方法：、整式：全体实数，例一次函数、二次函数的定义域为R；、分式：分母 0，0次幂：底数 0，例：y 1 2 |3x|、偶次根式：被开方式 0，例：y 、对数：真数 0，例：y loga(1 25 x2 1) x|x|（6）、求值域的一般方法：、图象观察法：y 0.2、单调函数：代入求值法

7、： y log2(3x 1),x ,3 、二次函数：配方法：y x2 4x,x 1,5)， y 13 x2 2x 2x2x 12 sinx、“对称”分式：分离常数法：y 2 sinx、“一次”分式：反函数法：y 、换元法：y x 2x （7）、求f（x）的一般方法：、待定系数法：一次函数f（x），且满足3f(x 1) 2f(x 1) 2x 17，求f（x） 、配凑法：f(x 11) x2 2,求f（x） xx、换元法：f(x 1) x 2x，求f（x）、解方程（方程组）：定义在（-1，0）（0，1）的函数f（x）满足2f(x) f(x) 3、函数的单调性：（1）、定义：区间D上任意两个值x1,

8、x2，若x1 x2时有f(x1) f(x2)，称f(x)为D上增函数； 若x1 x2时有f(x1) f(x2)，称f(x)为D上减函数。（一致为增，不同为减） （2）、区间D叫函数f(x)的单调区间，单调区间 定义域；（3）、判断单调性的一般步骤：、设，、作差，、变形，、下结论 （4）、复合函数y fh(x)的单调性：内外一致为增，内外不同为减； 4、反函数：函数y f(x)的反函数为y f反函数的求法：、由y f(x)，解出x f的定义域（即原函数的值域）；反函数的性质：函数y f(x)的定义域、值域分别是其反函数y f函数y f(x)的图象和它的反函数y f 1 1 11，求f（x） x(

9、x)；函数y f(x)和y f 1(x)互为反函数； 1 1 1、x,y互换，写成y f(x)，、写出y f(x)(y)，(x)的值域、定义域；(x)的图象关于直线y x对称；点（a，b）关于直线y x的对称点为（b，a）；5、指数及其运算性质：（1）、如果一个数的n次方根等于a（n 1,n N），那么这个数叫a的n次方根；* a(a 0)a叫根式，当n为奇数时，an a；当n为偶数时，an |a| a(a 0)mn（2）、分数指数幂：正分数指数幂：a a；负分数指数幂：am mn 1amn 0的正分数指数幂等于1，0的负分数指数幂没有意义（0的负数指数幂没有意义）；（3）、运算性质：当a 0

10、,b 0,r,s Q时：ar as ar s,(ar)s ars,(ab)r arbr，a a； 6、对数及其运算性质：（1）、定义：如果ab N(a 0,a 1)，数b叫以a为底N的对数，记作logaN b，其中a叫底数，N叫真数，以10为底叫常用对数：记为lgN，以e=2.7182828为底叫自然对数：记为lnN （2）、性质：负数和零没有对数，、1的对数等于0：loga1 0，、底的对数等于1：logaa 1，、积的对数：loga(MN) logaM logaN， 商的对数：loga1rM logaM logaN， N1幂的对数：logaMn nlogaM， 方根的对数：loganM l

11、ogaM，n 第三章 数列 （一）、数列：（1）、定义：按一定次序排列的一列数叫数列；每个数都叫数列的项； 数列是特殊的函数：定义域：正整数集N（或它的有限子集1，2，3，n），值域：数列本身，对应法则：数列的通项公式；（2）、通项公式：数列an的第n项an与n之间的函数关系式；例：数列1，2，n的通项公式an= n 1，-1，1，-1，的通项公式an=( 1)n 1 1 ( 1)n； 0，1，0，1，0，的通项公式an 2（3）、递推公式：已知数列an的第一项，且任一项an与它的前一项an 1（或前几项）间的关系用一个公式表示，这个公式叫递推公式；例：数列 an ：a1 1，an 1 1，求

12、数列 an 的各项。 an 1 a1 S1(n 1) S S(n 2)n 1 n（4）、数列的前n项和：Sn a1 a2 a3 an； 数列前n项和与通项的关系：an （二）、等差数列 ：（1）、定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。 （2）、通项公式：an a1 (n 1)d （其中首项是a1，公差是d；整理后是关于n的一次函数）， n(a1 an)n(n 1)2. Sn na1 d（整理后是关于n的没有常数项的二次函数）22a b（4）、等差中项：如果a，A，b成等差数列，那么A叫做

13、a与b的等差中项。即：A 或2A a b2说明：在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷等差数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项；事实上等差数列中某一项是与其等距离的前后两项的等差中项。 （5）、等差数列的判定方法：、定义法：对于数列 an ，若an 1 an d(常数)，则数列 an 是等差数列。（3）、前n项和：1Sn 、等差中项：对于数列 an ，若2an 1 an an 2，则数列 an 是等差数列。（6）、等差数列的性质：、等差数列任意两项间的关系：如果an是等差数列的第n项，am是等差数列的第m项，且m n，公差为d，则有an am (n m)d、等差数列 an ，若

14、n m p q，则an am ap aq。a1 an a,a2,a3, ,an 2,an 1,an ，如图所示：1 a2 an 1*也就是：a1 an a2 an 1 a3 an 2、若数列 an 是等差数列，Sn是其前n项的和，k N，那么Sk，S2k Sk，S3k S2k成等差数列。S3k a1 a2 a3 ak ak 1 a2k a2k 1 a3k如下图所示： SkS2k SkS3k S2k、设数列 an 是等差数列，S奇是奇数项的和，S偶是偶数项项的和，Sn是前n项的和， 则有：前n项的和Sn S奇 S偶， 当n为偶数时，S偶 S奇 当n为奇数时，则S奇 S偶 a中，S奇 nd，其中d

15、为公差； 2n 1n 1。 a中，S偶 a中（其中a中是等差数列的中间一项）22anS2n 1 、等差数列 an 的前2n 1项的和为S2n 1，等差数列 bn 的前2n 1项的和为S2，则。 n 1bnS2n 1 （三）、等比数列：（1）、定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数， 那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示（q 0）。（2）、通项公式：an a1qn 1（其中：首项是a1，公比是q）na1,(q 1) n（3）、前n项和 Sn a1 anqa1(1 q)（推导方法：乘公比，错位相减） ,(q 1) 1 q 1 qa

16、 anqa1(1 qn)(q 1) (q 1) 说明：Sn 2Sn 11 q1 q3当q 1时为常数列，Sn na1，非0的常数列既是等差数列，也是等比数列 （4）、等比中项：如果在a与b之间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项。 Gb2也就是，如果是的等比中项，那么 ，即G ab（或G ab，等比中项有两个） aG（5）、等比数列的判定方法：、定义法：对于数列 an ，若an 1 q(q 0)，则数列an an 是等比数列。2、等比中项：对于数列 an ，若anan 2 anan 是等比数列。 1，则数列 （6）、等比数列的性质： 、等比数列任意两项间的关系：如果

17、ann项，am是等比数列的第m项，且m n， 公比为q，则有an amqn m 、对于等比数列 an ，若n m u v，则an am au ava1 an a,a2,a3, ,an 2,an 1,an 。如图所示：1 a2 an 1也就是：a1 an a2 an 1 a3 an 2、若数列 an Sn是其前n项的和，k N*，那么Sk，S2k Sk，S3k S2kS3k a1 a2 a3 ak ak 1 a2k a2k 1 a3k 如下图所示： SkS2k SkS3k S2k（7）、求数列的前n项和的常用方法：分析通项，寻求解法n(n 1)112 22 32 n2 n(n 1)(2n 1)

18、，1 3 5 (2n 1) n2，26 1 2 n公式法：“差比之和”的数列：(2 3 5) (2 3 5) (2 3 5) 1 2 3 n 、并项法： 1 2 3 4 ( 1)、裂项相消法：1 n 1n 111 26(n 1)n1111 1 22 33 4n n 12n 1、到序相加法： 、错位相减法：“差比之积”的数列：1 2x 3x nx 第四章 三角函数1、角：（1）、正角、负角、零角：逆时针方向旋转正角，顺时针方向旋转负角，不做任何旋转零角；（2）、与 终边相同的角，连同角 在扇形面积：S lr | |r22r y3、三角函数 （1）、定义：（如图） （2）yyyr+ sin tan

19、 sec rxxxxrcos cot csc _ryy+ _ _y+O_+ _+ tan sin 4、同角三角函数基本关系式（）平方关系： （）商数关系： （）倒数关系：sin2 cos2 1 ta n 1 tan2 sec2 co t si nnco t 1 ta co stan cot co sncs c 1 si si n1 cot2 csc2 cos sec 1（4）同角三角函数的常见变形：（活用“1”）sec csc、sin 1 cos ， sin cos2 ；cos 1 sin ， cos sin2 ；2222cos2 sin2 2cos2 sin2 2cos2 tan cot ，

20、cot tan 2cot2 sin cos sin2 sin cos sin2 (sin cos )2 1 2sin cos 1 sin2 ， sin2 |sin cos | 5、诱导公式：（奇变偶不变，符号看象限）公式一： sin( k 360 ) sin cos( k 360 ) cos tan( k 360 ) tan 公式三：公式四：公式五：sin(180 ) sin sin(180 ) sin sin( ) sin sin(360 ) sin cos(180 ) cos cos(180 ) cos cos( ) cos cos(360 ) cos tan( ) tan tan(360

21、 ) tan tan(180 ) tan tan(180 ) tan 3 3 ) cos sin( ) cos 22补充：cos( ) sin ) sin 3 ) sin cos(3 ) sin 22223 3 ) cot ) cot ) cot ) cot 2222sin( ) cos 2 sin( ) cos 2 sin(6、两角和与差的正弦、余弦、正切S( )：sin( ) sin cos cos sin S( )：sin( ) sin cos cos sin C( )：cos(a ) cos cos sin sin C( )：cos(a ) cos cos sin sin T( )：

22、tan( ) tan tan tan tan T( )： tan( ) 1 tan tan 1 tan tan ) (1 tan tan ) T( )的整式形式为：tan tan tan(例：若A B 45 ，则(1 tanA)(1 tanB) 2（反之不一定成立）7、辅助角公式：asinx bcosx 2 b2 ab sinx cosx 2222a b a b 2 b2(sinx cos cosx sin ) 2 b2 sin(x )（其中 称为辅助角， 的终边过点(a,b)，tan b） （多用于研究性质） a8、二倍角公式：（1）、S2 ： sin2 2sin cos （2）、降次公式：

23、（多用于研究性质）22 C2 ： cos2 cos sin sin cos 1sin2 21 cos2 11222 cos2 1 2sin 2cos 1sin 2222ta n1 cos2 112n cos cos2 T2 ： ta22221 ta2n （3）、二倍角公式的常用变形：、 cos2 |sin |， cos2 |cos |；、1 1cos2 |sin |， 1 1cos2 |cos | 2222422sin22 44、sin cos 1 2sin cos 1 ； cos sin cos2 ； 24半角：sin 2 sin cos 1 cos 1 cos 1 cos ，cos ，ta

24、n sin 1 cos 22221 cos 9、三角函数的图象性质（1）、函数的周期性：、定义：对于函数f（x），若存在一个非零常数T，当x取定义域f（x），则称f（x）是偶函数、奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称； 、奇函数，偶函数的定义域关于原点对称；，1），（ ，0），（，-1），（2 ，0）；22 3 ，0），（，-1），（，0），（2 ，1）；y sinx图象的五个关键点：（0，0），（ 2 y cosx的对称中心为（k ,0）；对称轴是直线x k ； y Acos( x )的周期T ；2 y tanx的对称中心为点（k ,0）和点（k ,0） x )的周期T ； ；

25、 y Atan(2 2(4)、函数y Asin( x )(A 0, 0)的相关概念：y sinx的对称中心为（k ,0）；对称轴是直线x k ； y Asin( x )的周期T 2 ；y Asin( x )的图象与y sinx的关系：当A 1时，图象上各点的纵坐标伸长到原来的A倍、振幅变换：y sinx当A时，图象上各点的纵坐标缩短到原来的A倍y Asinx当 当0 1时，图象上各点的纵坐标缩短到原来的1、周期变换：y sinxy sin x 倍 倍 1时，图象上各点的纵坐标伸长到原来的 当 0时，图象上的各点向左平移 个单位倍 、相位变换：y sinxy sin(x ) 当 0时，图象上的各

26、点向右平移| |个单位倍 个单位倍 、平移变换：y Asin xy Asin( x ) |个单位倍 当 0时，图象上的各点向右平移| 当 0时，图象上的各点向左平移常叙述成： 、把y sinx上的所有点向左（ 0时）或向右（ 0时）平移| |个单位得到y sin(x )；、再把y sin(x )的所有点的横坐标缩短（ 1）或伸长（0 1）到原来的1 倍（纵坐标不变）得到y sin( x )；、再把y sin( x )的所有点的纵坐标伸长（A 1）或缩短（0 A 1）到原来的A倍（横坐标不变）得到y Asin( x )的图象。 先平移后伸缩的叙述方向：y Asin( x )先平移后伸缩的叙述方向

27、： y Asin( x ) Asin (x ) （1）一次函数型：y Asinx B，例：y 2sin(3x 用辅助角公式化为：y asinx bcosx 12) 5，y sinxcosxa2 b2 sin(x )，例：y 4sinx 3cosx（2）二次函数型：、二倍角公式的应用：y sinx cos2x 、代数代换：y sinxcosx sinx cosx第五章、平面向量 1、空间向量：（1）、定义：既有大小又有方向的量叫做向量，向量都可用同一平面内的有向线段表示。（2）、零向量：长度为0的向量叫零向量，记作0；零向量的方向是任意的。（3）、单位向量：长度等于1个单位长度的向量叫单位向量；

28、与向量平行的单位向量： ；（4）、平行向量：方向相同或相反的非零向量叫平行向量也叫共线向量，记作a/b；规定0与任何向量平行；（5）、相等向量：长度相同且方向相同的向量叫相等向量，零向量与零向量相等；任意两个相等的非零向量，都可以用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关。2、向量的运算：（1）、向量的加减法： （2）、实数与向量的积：、定义：实数 与向量的积是一个向量，记作： ； ：它的长度：| a| | | |a|；：它的方向：当 0， 与向量的方向相同；当 0， 与向量的方向相反；当 0时， a=0；3、平面向量基本定理：如果e1,e2是同一平面内的两个不共线的向量，那么对平面内的

29、任一向量，有且只有一对实数 1, 2，使a 1e1 2e2； 不共线的向量e1,e2叫这个平面内所有向量的一组基向量，e1,e2 叫基底。4、平面向量的坐标运算：（）、运算性质： , , （）、坐标运算：设a x1,y1 ,b x2,y2 ，则a b x1 x2,y1 y2 设A、B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则AB x2 x1,y2 y1 .（3）、实数与向量的积的运算律: 设a x,y ，则a x,y x, y ， 00 （4）、平面向量的数量积：、 定义：a b a bcos a 0,b 0,0 180 ， 0 a 0. 、平面向量的数量积的几何意义：向量a的长度|a|与b