实验五 MATLAB符号计算.docx

1、实验五 MATLAB符号计算实验5 MATLAB符号计算 一、目的和要求（1） 熟练掌握MATLAB符号表达式的创建。（2） 熟练掌握符号表达式的代数运算。（3） 掌握符号表达式的化简和替换。（4） 熟练掌握符号微积分。（5） 掌握符号积分变换。（6） 熟悉符号方程的求解。（7） 熟悉拉氏变换和z变换。二、内容和步骤1、符号常量、符号变量、符号表达式的创建(1) 使用 sym( )创建 输入以下命令，观察 Workspace 中 A、B、f是什么类型的数据，占用多少字节的内存空间。 A=sym(1) %符号常量 B=sym(x) %符号变量 f=sym(2*x2+3y-1) %符号表达式 cl

2、ear f1=sym(1+2) %有单引号，表示字符串 f2=sym(1+2) %无单引号 f3=sym(2*x+3) f4=sym(2*x+3) %为什么会出错 x=1 f4=sym(2*x+3) 通过看 MATLAB 的帮助可知，sym( )的参数可以是字符串或数值类型，无论是哪种类型都会生成符号类型数据。 (2) 使用 syms 创建 clear syms x y z %注意观察x,y,z都是什么类型的，它们的内容是什么 x,y,zf1=x2+2*x+1 f2=exp(y)+exp(z)2 f3=f1+f2 通过以上实验，知道生成符号表达式的第二种方法：由符号类型的变量经过运算(加减乘除

3、等)得到。又如： f1=sym(x2+y +sin(2) syms x y f2=x2+y+sin(2) x=sym(2) , y=sym(1) f3=x2+y+sin(2) y=sym(w) f4=x2+y+sin(2) 2、符号矩阵创建 syms a1 a2 a3 a4 A=a1 a2;a3 a4 A(1),A(3) 或者 B=sym( b1 b2 ;b3 b4 ) c1=sym(sin(x) ) c2=sym(x2) c3=sym(3*y+z) c4=sym(3 ) C=c1 c2; c3 c4 3、自由变量的确定。使用findsym确定符号表达式的自由变量。4、用常数替换符号变量。用行

4、向量替换，使符号对象转变为行向量。都为双精度型数值。5、符号算术运算 （1）符号表达式加和减（2） 符号量相乘、相除 符号量相乘运算和数值量相乘一样，分成矩阵乘和数组乘。 a=sym(5);b=sym(7); c1=a*b c2=a/b a=sym(5);B=sym(3 4 5); C1=a*B, C2=aB syms a b A=5 a;b 3; B=2*a b;2*b a; C1=A*B, C2=A.*B C3=AB, C4=A./B （3）符号数值任意精度控制和运算 任意精度的 VPA 运算可以使用命令 digits(设定默认的精度)和 vpa(对指定对象以新的精度进行计算)来实现。a=

5、sym(2*sqrt(5)+pi) b=sym(2*sqrt(5)+pi) digits vpa(a) digits(15) vpa(a) c1=vpa(a,56) c2=vpa(b,56) 注意：观察 c1 和 c2 的数据类型，c1 和 c2 是否相等。6、符号表达式的操作和转换 1）求反函数和复合函数。 用finverse函数求、的反函数。 用compose函数求解、的复合函数。2）符号表达式与多项式的转换。用函数sym2poly和poly2sym实现符号表达式与多项式的转换。clearsyms xf=x2+3*x+23）符号表达式化简符号表达式化简主要包括表达式美化(pretty)、合

6、并同类项(collect)、多项式展开(expand)、因式分解(factor)、化简(simple 或 simplify)等函数。 1 合并同类项(collect)。分别按x的同幂项和e指数同幂项合并表达式：syms x t; f=(x2+x*exp(-t)+1)*(x+exp(-t); f1=collect(f) f2=collect(f,exp(-t) 对显示格式加以美化(pretty)。针对上例，用格式美化函数可以使显示出的格式更符合数学书写习惯。pretty(f1) pretty(f2) 注意：与直接输出的 f1 和 f2 对比。 多项式展开(expand)。展开 (x-1)12 成

7、 x 不同幂次的多项式。 clear all syms x; f=(x-1)12; pretty(expand(f) 因式分解(factor)。将表达式 x121作因式分解。 clear all syms x; f=x12-1; pretty(factor(f) 化简(simple 或 simplify)。 将函数 化简。clear all, syms x; f=(1/x3+6/x2+12/x+8)(1/3); g1=simple(f) g2=simplify(f) horner函数，给出符号表达式的嵌套形式。 horner(f) clear all syms x; f=(x-1)3+3*x-

8、1; horner(f) 7、符号极限、符号积分与微分 (1) 求极限函数的调用格式 limit(F,x,a) %返回符号对象F当xa时的极限 limit(F,a) %返回符号对象F当独立变量*a时的极限 limit(F) %返回符号对象F当独立变量0(a=0)时的极限 limit(F,x,a,right) %返回符号对象F当xa时的右极限 limit(F,x,a,left) %返回符号对象F当xa时的左极限 limit(F,x,inf) %返回符号表达式F当x趋于无穷大时的极限例：clear; syms x; %说明x为符号变量limit(sin(1/x),x,0)clear; syms n

9、;limit(1+1/n)n,n,inf)(2) 求积分函数的调用格式 int(F) %求符号对象F关于默认变量的不定积分 int(F,v) %求符号对象F关于指定变量v的不定积分 int(F,a,b) %求符号对象F关于默认变量的从a到b的定积分 int(F,v,a,b) %求符号对象F关于指定变量v的从a到b的定积分 (3) 求微分函数的调用格式 diff(F) %求符号对象F关于默认变量的微分 diff(F,v) %求符号对象F关于指定变量v的微分 diff(F,n) %求符号对象F关于默认变量的n次微分，n为自然数1、2、3 diff(F, v,n) %求符号对象F关于指定变量v的n次

10、微分 例：已知,求的微分. f=sym(a*x2+b*x+c) %定义函数表达式f =a*x2+b*x+c diff(f) %对默认变量求一阶微分ans =2*a*x+b diff(f,a) %对符号变量求一阶微分ans =x2 diff(f,x,2) %对符号变量求二阶微分ans =2*a diff(f,3) %对默认变量求三阶微分ans =08、符号级数a) symsum函数语法： symsum(s,x,a,b) %计算表达式s的级数和说明：x为自变量，x省略则默认为对自由变量求和；s为符号表达式；a,b为参数x的取值范围。【例】求级数和1+x+x2+xk+的和。syms x ks1=sy

11、msum(1/x2, 1,10) %计算级数的前10项和s2=symsum(1/k2,1,inf) %计算级数和s3=symsum(xk,k,0,inf) %计算对k为自变量的级数和b) taylor函数语法： taylor (F,x,n) %求泰勒级数展开说明：x为自变量，F为符号表达式；对F进行泰勒级数展开至n项，参数n省略则默认展开前5项。【例】求ex的泰勒展开式为：。 syms xs1=taylor(exp(x),8) %展开前8项s2=taylor(exp(x) %默认展开前5项9、符号积分变换a) 傅里叶(Fourier)变换及其反变换fourier变换和反变换可以利用积分函数in

12、t来实现，也可以直接使用fourier或ifourier函数实现。1. fourier变换语法： Ffourier(f,t ,w) %求时域函数f(t)的fourier变换F说明：返回结果F是符号变量w的函数，当参数w省略，默认返回结果为w的函数；f为t的函数，当参数t省略，默认自由变量为x。2. fourier反变换语法： f=ifourier (F) %求频域函数F的fourier反变换f(t) f=ifourier (F,w,t) 说明：ifourier函数的用法与fourier函数相同。【例】计算f(t)=的fourier变换F以及F的fourier反变换。syms t wF=four

13、ier(1/t,t,w) %fourier变换 f=ifourier(F,t) %fourier反变换 f=ifourier(F) %fourier反变换默认x为自变量 b) 拉普拉斯(Laplace)变换及其反变换1. Laplace变换语法： F=laplace(f,t,s) %求时域函数f的Laplace变换F说明：返回结果F为s的函数，当参数s省略，返回结果F默认为s的函数；f为t的函数，当参数t省略，默认自由变量为t。【例】求sin(at)和阶跃函数的Laplace变换。 syms a t s F1=laplace(sin(a*t),t,s) %求sinat的Laplace变换 F1

14、 =a/(s2+a2) F2=laplace(sym(Heaviside(t) %求阶跃函数的Laplace变换 F2 =1/s 2. Laplace反变换语法： filaplace(F,s,t) %求F的Laplace反变换f【例】求和1的Laplace反变换。 syms s a t f1=ilaplace(1/(s+a),s,t) %求1/s+a的Laplace反变换 f1 =exp(-a*t) f2=ilaplace(1,s,t) %求1的Laplace反变换是脉冲函数 f2 =Dirac(t) 10、 符号方程的求解 (1) 常规方程求解函数的调用格式 g = solve(eq) %求

15、方程(或表达式或字串)eq关于默认变量的解 g = solve(eq,var) %求方程(或表达式或字串)eq关于指定变量var的解 g = solve(eq1,eq2,.,eqn,var1,var2,.,varn) %求方程(或表达式或字串)组eq1,eq2,.,eqn关于指定变量组var1,var2,.,varn的解 (2) 常微分方程求解 求解常微分方程的函数是 dsolve。应用此函数可以求得常微分方程(组)的通解，以及给定边界条件(或初始条件)后的特解。 常微分方程求解函数的调用格式： r = dsolve(eq1,eq2,.,cond1,cond2,., v) r = dsolve

16、(eq1,eq2,.,cond1,cond2,.,v)说明： 以上两式均可给出方程 eq1、eq2 .对应初始条件 cond1、cond2 .之下的以 v作为解变量的各微分方程的解。 2 常微分方程解的默认变量为 t。 3 第二式中最多可接受的输入式是 12 个。 微分方程的表达方法。在用MATLAB求解常微分方程时， 用大写字母Dy表示微分符号，用D2y表示，依次类推。 边界条件以类似于 y(a) = b 或 Dy(a) = b 的等式给出。其中 y为因变量，a、b 为常数。如果初始条件给得不够，求出的解则为含有 C1、C2 等待定常数的通解。例：对方程组进行求解。例： 解方程组当时，求微分

17、方程组的解。11、 符号函数的图形绘制 ezplot(F,xmin,xmax,fig) %画符号表达式的图形说明：F是将要画的符号函数；xmin,xmax是绘图的自变量范围，省略时默认值为2，2；fig是指定的图形窗口，省略时默认为当前图形窗口。【例】画出y(x)特解的图形，如图3.2所示。y =sym(-1/3*x3+1/3*x4) ezplot(y) ezplot(y,0,100) %绘制符号函数y在0,100中的图形 【例】用ezplot3绘制三维符号表达式曲线。x=sym(sin(t);z=sym(t);y=sym(cos(t);ezplot3(x,y,z,0,10*pi,animate) %绘制t在0,10*pi范围的三维曲线 三、练习：1. 创建符号表达式：。 （用三种方式分别创建）2. 创建符号矩阵。3. 已知表达式，计算当时的值；计算与的复合函数，、的逆函数。4. 符号函数，分别对、进行微分，对趋向于1求极限，并计算对的二次、三次微分，用findsym得出符号变量。5. 求极限。6. 求定积分和不定积分。7. 求微分方程在满足，的解，并画出图形。8. 求解微分方程组，其中9. 解微分方程的通解。10. 利用符号绘图函数绘制图形，范围为。