向量方法在高中数学解题中的应用.docx

1、向量方法在高中数学解题中的应用向量方法在高中数学解题中的应用摘要:向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一，它融数、形于一体,是一个具有几何和代数双重身份的概念，通过运用向量对传统问题的分析,可以帮助学生更好的建立代数与几何的联系,使它成为中学数学知识的一个交汇点，成为联系多项内容的媒介，因此,向量的引入大大拓宽了学生解题的思路和方法。本文通过对相关文献的总结，以例题的形式阐述了向量在代数、解析几何和空间几何中的具体应用，着重体现向量在高中数学解题中的具体应用，在某种程度上揭示了应用向量解题的简便性和易掌握性，同时也使学习者能够更清晰地掌握向量的应用。关键词:高中；数学解题；向量方法向量的引入

2、,有利于处理几何问题.它可以把一些复杂的逻辑推理过程转化为简单的计算,有利于学生克服空间想象力的障碍和作图的困难，既直观又容易接受,降低了几何学习的难度,有利于丰富学生的思维结构,提高学生运用数学解决问题的能力。数学高考命题注重知识的整体性和综合性,重视知识的交互渗透，在知识网络的交汇点上设计试题，由于向量具有代数与几何形式的双重身份,使它成为中学数学知识的一个交汇点,成为联系多项知识的媒介。同时它为我们解题提供了一个有力的工具，对于许多问题,若能合理地引入向量,借助向量的运算法则和性质,常常使解题思路清晰,过程简洁,收到事半功倍的效果。利用向量分析传统问题,可以帮助学生更好的建立代数与几何的

3、联系,也为中学生以后进一步学习高等数学奠定直观的基础。1.向量在代数中的应用1.1.用向量法证明代数不等式利用向量数量积公式：（为向量，的夹角），显然，等号在，共线且同向时成立,注意观察所给不等式的结构,设法构造出合理的向量,利用数量积可以巧妙给出证明。例1.1设，求证：证明：（方法一）两边同时加上，有有即（方法二）利用向量证明设的夹角为利用有注:方法一采取常规做法,运算复杂,特别是配凑上不易掌握,而方法二中,只要合理地构造出，利用数量积,不等式便可水到渠成,巧妙证明。类似的,通过向量可证明。1.2.用向量法求有关三角问题例1.2求函数的最值。解：原式可根据二倍角公式化为假设构造向量例1.3已

4、知，且，求的值。解：原等式可化为，构造向量整理得,所以可得，.1.3.用向量法求解无理函数的最值求无理函数最值问题，按常规方法求解具有一定的难度，若能用向量知识求解将会使求解变得容易。例1.4求函数的最大值.解：构造向量,当且仅当，即时，.例1.5求函数的最小值。解： 构造向量应用向量不等式的性质当且仅当和同向平行时，等号成立所以（此时）.注：此题要将向量积与向量的基本不等式结合起来使用。用向量解代数问题时，主要是将数量关系转化为向量关系，利用向量的性质来求解。在这个过程中，关键是由向量的性质设出恰当的向量，从而将题中的代数式转化为向量形式相乘、相加等，然后再结合向量知识来解决。2.平面向量在

5、解析几何中的应用2.1.平面向量在公式方面的应用2.2.1.用向量法求点到直线的距离公式例2.1求点P0到直线的距离。解：设点，是直线上任意两点，则有（1）（2），得由向量数量积的知识可知:即是与垂直的向量当与的夹角为锐角时，（如图2.1）；当与的夹角为钝角时（如图2.2）又因为所以.2.1.2.用向量法求两直线平行、垂直的判定公式例2.2已知两直线不重合，且斜率分别为，求直线与互相垂直、互相平行的判定公式。解：由向量的知识可知：的方向向量为，的方向向量为再由平面向量的有关知识得/.2.2.用向量法求动点轨迹方程2.2.1.用向量法求直线方程例2.3求过点，斜率为的直线方程。解：因为所求直线的

6、一个方向向量，设为直线上任一点，则向量与共线由向量共线的充要条件可得：为点斜式方程。特殊地，当点为点时，可得直线的斜截式方程为：.例2.4求过两定点，的直线方程解：设为所求直线上任一点,则因为向量与共线，用向量共线的充要条件得:为直线的两点式方程特殊地，当两点为和时，可得直线的截距方程：2.2.2.用向量法求圆的方程和圆的切线例2.5已知一个直径的两端点为，求圆的方程。解:设为圆上异于的两点 ，由周角定理有：若是与点或点重合的点，则或故都有成立所以即为所求圆的方程，对其进行整理配方，可得圆的标准方程：，其中为圆的圆心坐标，为半径。例2.6已知圆的方程为，求经过圆上一点的切线方程。解：设为切线上

7、异于的任一点，那么，因为，所以整理可得：显然，当与重合时，其坐标也满足此方程故所求切线方程为：.2.3.平面向量在具体解题中的应用例2.7如图2.3所示，求证：的三条中线、相交于一点.证明：在平面内任取一点设，又设为上一点，且，则因为是的中点，故，即同理，即故三点重合特别地，当为原点时，由此推出的重心的坐标公式：若三角形的三定点分别为，则重心为.可见当运用平面几何知识证明三线或点问题较复杂,叙述也繁时,用向量共线充要条件来解决则显得十分方便、简洁、思路清晰。例2.8如图2.4，已知椭圆:,直线：，是上的一点，射线交椭圆于，又点在上，且满足，当点在上运动时，求的轨迹方程。解：设，那么,（为正实数

8、）则，即即（1）又因点分别在直线与椭圆上，（2）（3）将(2)(3)带入(1)得：整理可得：（其中不同时为0）。注：利用平面向量的运算解决圆锥曲线相关问题，可使繁琐的运算得以简化。3.向量在空间立体几何中的应用在新研制的高中数学课程标准（实验稿）中空间向量是标准中选修课程系列2的重要内容之一。从结构上看，它虽然不是必修内容，但是希望在理工(包括部分经济类)等方面发展的学生，必须选修。实际上，如果按照以往的文理分科，“空间向量”是理工科学生必修的知识，可见它是限制性的选修内容，虽然选学的主动权由学生个人掌握；从内容上看,空间向量是新知识，用它解决立体何问题,有着其自身的特点，“提供了新的视角”。

9、3.1.求空间角引理1：设向量与的夹角为（通常用表示），则有,即.引理2:设，是与轴同方向的向量，在上的射影为，在上的射影为，则叫做向量在轴或上的正射影，简称射影。设向量与的夹角为，则CD=（这是变成有向线段CD，方向与或轴的方向要么相同要么相反）。3.1.1.求两异面直线所成的角向量内积公式可方便用于求两异面直线所成的角。例3.1在平行六面体中，若P、Q分别是、的中点，求：（1）； （2）对角线与的夹角。分析：此题若通过解三角形求解，过程复杂利用向量方法可轻松求得；解：（1）如图3.1，根据向量内积公式得：同理求得，所以将有关数据代入得，故.（2）根据（1）所求，同理可得，故所以设与的夹角为

10、，则.注：直线夹角有时与两向量夹角为互补关系，需予注意。3.1.2.求线面角设为平面的法向量，为平面的斜线，则（）满足因此 斜线与平面所成的角为。例3.2已知正方体的边长为4，M、N、E、F分别是、的中点。(1)求证平面/平面；(2)求与平面所成的角。解：建立空间直角坐标系，如图3.2所示：(1)易证四边形为梯形，设为平面的法向量则，所以，取，则，所以又，因为，所以也为平面的法向量所以平面/平面.(2)因为，所以所以与平面所成的角为.3.1.3.求二面角设向量、分别是二面角的两个面与的法向量，则满足：，则二面角的大小为或。例3.3（2001年高考题）如图，在地面是直角梯形的四棱锥中，垂直平面，

11、求平面与平面所成的二面角的正切值。解：如图3.3所示，建立空间直角坐标系易证垂直平面，则为平面的法向量，设为平面的法向量，则，即，取则，,故所以 平面与平面所成的二面角的正切值为.3.2.求空间的距离3.2.1.空间两点之间的距离直接用公式，或可易于求空间两点之间的距离，在此再次就不举例了。3.2.2.点到平面的距离如图3.4，P是平面外一点，过P分别作的斜线QP(Q为斜足)，和垂线PO（O为垂足），设为平面的法向量，则必为直线PO的方向向量。由于OQ垂直于OP，所以OP为向量在上的射影，于是.例3.4求例3.2中平面与平面的距离。解：因为，又所以平面与平面的距离.两异面直线之间的距离如图3.

12、5，a、b为异面直线，设为a与b的公垂线，为的方向向量，为a、b上任意两点的连线。由于AB垂直，垂直，所以为向量在上的射影，易证.例3.5在棱长为1的正方体中，P为的中点，、分别是正方形,的中心，求异面直线与的距离。解：如图3.6所示，建立空间直角坐标系由题意：，设是异面直线BD与的公共法向量，则，即取，则，所以又因为所以 异面直线与的距离为.3.2.4.线面距离和面面距离转化为求点到面得距离。注：要用空间向量解决立体几何问题，首先必须根据问题的特点，以适当的方式把问题中涉及的点、线、面等元素用空间向量表示出来，建立起空间图形与空间向量的联系；然后通过空间向量的运算，研究相应元素之间的关系（夹

13、角和距离等问题）；最后对运算结果的几何意义作出解释，从而解决立体几何的问题。3.3.根据相等向量证线共点欲证线共点，可先在某线上找出一定点（常是唯一的特殊点），再证其余各线都过这一定点。例3.6求证四面体不共面的三对棱的中点连成的三条线段相交于一点,且都在此点平分。证明：如图3.7，在四面体中，、分别是棱、的中点设，、的中点依次为、则同理可推得，故、重合，即、共点与，且被点平分。3.4.根据共线向量定理证点共线欲证点共线,通常先构造共始点的向量,再根据共线向量定理证之。例3.7已知，如图12，在长方体中，为的中点，在上，且，为的中点，求证、三点共线。证明：设，则所以，故、三点共线。3.5.根据

14、共线向量定理证点（或线）共面例3.8已知，如图3.9，、分别为正方体的棱、的中点。求证、三线共面证明：设，则，同理：，因为故、三线共面。3.6.根据共线向量定理证两直线平行欲证两直线平行,只需证明分别在两直线上的非零向量共线即可。例3.9如图3.10，已知五边形中，、分别是边、的中点，、分别是、的中点，求证/，且.证明：任取一点，则所以故/，且.3.7.做法小结如果图形中垂直关系较多且容易建立空间直角坐标系时,首先建立空间直角坐标系,用坐标表示向量,这是最简便的方法。如果图形中没有垂直关系或不太容易建立空间直角坐标系时,可以根据条件以三个不共面的向量作为基向量,用基向量表示空间向量,并利用条件求出这三个向量间模数和数量积的关系。结束语:无论在初等代数、初等几何还是三角中,利用向量的性质和运算法则,构造合理的向量,对证明不等式而言,又多了一个有力工具。这不仅拓宽了我们的解题思路和方法,而且加深了我们对不等式的理解和认识,优化了我们的学习策略,使得学习如鱼得水,更上一层楼