第四单元分数的意义和性质教材分析.docx

1、第四单元分数的意义和性质教材分析【第四单元分数的意义和性质】从本单元起，将系统教学分数的知识。包括分数的意义和性质、分数的四则计算和混合运算、分数的实际应用等内容，它们都是小学数学里十分重要的内容。学生在三年级初步认识了分数，遇到把一个物体平均分或者把若干个物体组成的整体平均分的时候，会用分数表示其中的一份或几份；能够在直观的情境里比较同分母分数的大小；会进行同分母分数的加、减法计算。在本册教科书的第三单元里，学生又掌握了因数和倍数的知识，会求两个数的最大公因数和最小公倍数。可以说，他们已经具备了深入学习分数知识的条件。系统教学分数知识，在知识技能方面，认数与运算的范围将有很大的扩展，不仅能用

2、整数、小数，而且能用分数刻画现实生活里的一些现象；在数学思考方面，由于分数的意义比整数、小数更加抽象，分数的运算比整数、小数更加复杂，思维能力会有更大的发展；在问题解决方面，分数能够表示部分与整体的关系，能够表示两个数量之间的倍比关系，将会认识许多新的数量关系，发现并提出、理解并解决问题的能力会有新的提高；在情感态度方面，会对数学以及数学学习更有兴趣，会对数学与人类社会相互影响、共同发展的关系更有体会。本单元教学分数的意义和性质，编排了十五道例题。具体安排见下表：例1 分数的意义例2、例3 分数与除法的关系例4 用分数表示两个数量的倍比关系例5、例6 真分数和假分数例7、例8 假分数化成整数或

3、带分数例9、例10 分数和小数的相互改写例11、例12 分数的基本性质例13 约分例1/4 通分例1/5 比较分数的大小单元整理与练习从表格里可以看到，本单元的内容很多，编排的例题和练习也多。如果整体把握教材，主要是分数的意义和分数基本性质两大部分。在分数意义这个部分，要在直观认识分数的基础上形成分数的概念，利用分数表示部分和整体的关系，或者表示两个数量之间的倍比关系；要在分数与除法之间建立联系，实现分数和小数的互化；要利用分数单位，从真分数推理出假分数，联系整数或带分数感受假分数的数值。分数基本性质这个部分，要理解分数性质的内容，并且和除法的商不变性质建立对应关系；要应用分数性质进行分数大小

4、比较以及约分和通分，为以后的分数计算作准备。分数的意义和性质历来是小学数学的重要内容，与传统小学数学里分数意义与性质的教学相比较，本单元教材有两点显著变化：一是加强用分数表示两个同类数量之间的倍比关系，既能充实对分数意义的理解，又能为解决分数实际问题打下基础。二是教学分数与除法的关系、真分数和假分数、分数化成整数或带分数、分数的基本性质等内容，各编排两道例题，加强了知识的形成过程，学生的数学学习更加具有探索性和层次性，有利于他们理解和掌握这些重要的基础知识。（一） 概括已有的关于分数的感性认识，建立单位“1”的概念，给出分数的描述性定义小学数学关于分数意义的表述是：把单位“1”平均分成若干份，

5、表示这样的一份或几份的数，叫作分数。这是对分数的描述式定义。其中单位“1”、平均分、表示一份或几份的数，是定义里的几个要点。单位“1”是教学分数意义的关键，学生理解单位“1”不容易，是必须突破的教学难点。例1教学分数的意义，分四步进行。第一步用分数表示一块饼的四分之一、一个长方形的八分之五、一根长1米直条的五分之三、6个圆组成的整体的三分之一，并要求结合直观图形说说写出的各个分数的含义，引起对已有知识的回忆。感受被平均分的对象十分广泛，为建立单位“1”和深入理解分数意义收集了资源，积累了丰富的感性材料。第二步指出被平均分的一个物体、一个图形、一个计量单位、一个整体都可以用自然数1来表示，通常把

6、它叫作单位“1”。这里把自然数1作为建立单位“1”概念的台阶，出于以下的原因：首先，被平均分的对象都是“一个”，即一个物体、一个图形、一个计量单位、一个整体，“一个”用自然数1表示，学生容易接受。在理解可以用自然数1表示以后，再提升成单位“1”，降低了认知的坡度。其次，解决实际问题时，往往用自然数1代替单位“1”参与列式计算，学生应该知道单位“1”可以用自然数1表示。另外，初步体现了分数与自然数的联系，对后面教学假分数起铺垫作用。第三步回答“茄子”卡通的问题，再认例题写出的四个分数的单位“1”各是什么，把抽象的概念回归到具体的情境里面，加强对单位“1”的体验。学生按“茄子”卡通的要求回答问题，

7、说出例题的四个分数分别“把单位1平均分成几份，表示这样的几份”，就为接受分数的描述式定义准备了数学语言。第四步揭示分数的意义和分数单位的含义。体会教材讲述的分数意义，是对许多分数含义的抽象与概括。每一个分数都有它的分数单位，都是一个或几个分数单位组成的数。由于在前三步的教学中，逐渐建立了单位“1”的概念，这一步的教学就顺理成章了。“练一练”围绕分数的意义和分数单位的概念进行安排。三年级初步认识分数时，学生已经能够用分数表示图形里的涂色部分，也能通过涂色表示已经给出的分数。现在再次进行这样练习，要联系分数概念和分数单位来思考与解释，体现出比过去要求的提高。如，第1题右边的图，把8个圆组成的整体看

8、成单位“1”，平均分成4份，如果用分数表示这样的1份或几份，分数单位是1/4；涂色部分占3份，可以用3/4表示，这个分数含有3个1/4。又如，第2题用数轴上的点表示分数，应该把数轴上01那一段看成单位“1”。如果平均分成三份，其中的一份就是三分之一，两份就是三分之二。如果平均分成六份，其中的一份就是六分之一，几份就是六分之几。练习八第1题要求涂色表示3个、6个、12个桃的2/3。可以这样思考和解释：把3个、6个或12个桃组成的整体看成单位“1”，平均分成3份，每份是这些桃的1/3；2/3是2个1/3，应该涂这样的2份。第4题要求解释具体情境里的分数的含义，希望学生运用描述分数意义的语言模式，连

9、贯地说出把什么看作单位“1”，平均分的份数和表示的份数。如，五年级一班学生中，会打乒乓球的占5/9。这个分数把五年级一班学生看作单位“1”，平均分成9份，会打乒乓球的学生有这样的5份。再如，一节课的时间是2/3小时。这个分数把1小时作为单位“1”，平均分成3份，一节课的时间有这样的2份。这些练习，有利于加强分数的概念，蕴含了解决分数实际问题的思路。（二） 通过操作感受分数与除法的关系，发展对分数的认识，完善分数概念数学教育家都指出，建立分数与除法的联系，对完善分数概念十分重要。利用分数与除法的关系，不只能把分数化成整数或小数，而且与除法意义有关的知识及其应用，就能向分数迁移。例2和例3都教学分

10、数与除法的关系。教材安排两道例题教学这一个知识。这是因为沟通分数与除法的关系不大容易。学生需要多次进行平均分物体的操作活动，从1块饼平均分成4份到3块饼平均分成4份，再到3块饼平均分成5份，反复感受除法的商不能用整数表示，可以采用分数表示，体会分数与除法的联系是有规律的，从而认识分数与除法的关系。例2把1块饼平均分给4个小朋友，求每人分得多少块。对学生来说，这个问题难度不大。无论凭生活经验还是应用分数的初步认识，都能得出每人分得1/4块。教学要抓住三点：一是让学生通过实物操作或者经过形象思维，得出和“番茄”卡通同样的结果“每人分得这块饼的1/4，是1/4块”。二是引导学生列出解决这个问题的算式

11、，联系平均分的问题可以用除法计算的经验，像“蘑菇”卡通那样用14求每人分得多少块。三是用分数1/4表示除法14的商，得出等式141/4，从而明白整数除法如果得不到整数的商，可以用分数表示除法的结果，初步感受除法算式14和商1/4的内在关系。例3把3块饼平均分给4个小朋友，求每人分得多少块。教学线索仍然是“列出算式分出得数组成并体验等式”。分析学生的现实情况，他们根据“平均分的问题可以用除法计算”，列出除法算式34应该困难不大，从3块饼平均分成4份的操作活动得出每人分得3/4块有点难度。教学要因势利导，抓住“每人分得多少块”这个问题适时给出点拨。有些学生会像“萝卜”卡通那样把饼1块1块地分，每人

12、每次分得1/4块，3次分得3个1/4块，合起来是3/4块。这种分法的数量关系“3个1/4块是3/4块”，一方面可以通过3个1/4块拼起来是3/4块形象地理解，另一方面可以通过分数单位与分数意义来理解。有些学生会像“蘑菇”卡通那样把3块饼叠起来同时分，每人分得3块的1/4，合起来也是3/4块。这种分法的数量关系“3块的1/4是3/4块”，要联系3块饼同时被平均分成4份，表示其中1份的事实，帮助学生理解“3块的1/4”的意思，体会“是3/4块”的合理性。在列出算式、分出得数以后，仍然要组成和体验等式。联系343/4继续感受整数除法的商可以用分数表示，体会除法式子与分数的对应联系。例3还有一段延伸：

13、如果把3块饼平均分给5个小朋友，求每人分得多少块，并且用分数表示35的商。联系前面两次分饼的经验，应该不难得出这次分饼的结果。或是从3个1/5是3/5，或是从3的1/5是3/5，写出除法算式35及其商3/5，进一步丰富对除法与分数关系的感性认识。在例2和例3的三个等式里发现分数与除法的关系，是这两道例题的教学重点所在。不仅要得出一个十分重要的数学知识，而且能培养学生的概括能力。因为得出分数与除法的关系，要仔细观察组成的三个等式，对除法算式以及分数进行分析、比较，找到对应的联系，进行综合、概括，说出从除法算式到分数的转换方法与要领。实事求是地说，小学生开展这样的思维活动需要教师的帮助，如果全放手

14、、全放开地让他们独立发现，将会是困难的，甚至是混乱的。教师的点拨可以是先确认除法算式里的被除数和除数，然后研究把除法算式写成分数，被除数和除数分别在分数的哪里，分别是分数的什么。先后用两种形式表达分数与除法的关系，即像“萝卜”卡通那样用数学语言讲述，像“辣椒”卡通那样用数量关系式表示。语言讲述比较具体，有利于理解和交流；数量关系式比较模式化，有利于操作。教材还把字母表示的除法算式改写成分数，使分数与除法关系从数学知识变成学生的改写技能，而且从“除数不能是0”推理出“分母不能是0”，完善对分数与除法关系的认识。例3后面的“试一试”应用分数与除法的关系，把较小单位的名数聚成较大单位的名数。如，7分

15、米小于1米，把7分米改写成米作单位的名数，结果不会是整数，可用分数表示。因为7107/10，所以7分米7/10米。类似的23分不满1时，把23分改写成以时作单位的名数，只能用分数表示结果。因为236023/60，所以23分23/60时。“试一试”通常先让学生独自完成，再组织交流。要帮助学生弄明白两点：一是为什么用除法计算，明白这里是把把较低单位表示的名数改写成较高单位的名数。二是怎样写出除法算式的商，明白要正确应用分数与除法的关系。“练一练”第1题把1公顷地平均分成5份，计算每一份的公顷数。可以先根据现实的数量关系列出除法算式，再应用分数与除法的关系写出除法算式的商，让学生重温学到的新知识。第

16、2题既把除法算式改写成分数，又把分数改写成除法算式。这样的双向改写，能使学生对分数与除法的关系理解得更全面，掌握得更扎实。从除法算式写出相应的分数，是按照分数与除法关系的推理；从分数写出对应的除法算式，利用分数与除法关系的推理是逆向的，要注意改变思维方向可能会给学生带来的困难。练习八第68题配合例2与例3的教学。第6题的第（2）小题把2根1米长的绳子平均分成3份，要求写出每份有2个1/（）米，是（）/（）米。解答这道题要关注2个1/3米是2/3米，2米的13也是23米。第7题把一袋2千克的糖果平均分成5份，要求用填空的形式写出每人分得这袋糖果的（）/（），是（）/（）千克。理解两个问题时，都要

17、把这袋糖果平均分成5份，不过前者应该把糖果看成单位“1”，后者应该把糖果看作2千克。第8题把4平方米平均分成7份，求每份多少平方米。应该列出算式，并根据分数与除法的关系写出结果：47=4/7（平方米）。（三） 用分数表示两个同类数量的倍比关系，充实对分数意义的体验初步建立分数概念时，分数只表达部分与整体的关系。如地球表面有71/100被海洋覆盖，这里的地球表面是整体，把它看作单位“1”，被海洋覆盖的是地球表面的一部分，占整体的71/100。其实分数的应用并不局限于部分和整体的关系，还经常用来表示两个同类数量之间的倍比关系。如，男生人数相当于女生人数的4/5，女生人数相当于男生人数的5/4，这里

18、的4/5和5/4都是倍比的结果。把分数的应用从部分与整体关系，扩展到两个数量的倍比关系，学生的分数概念会更加完善，而且能为以后教学分数和百分数实际问题打下良好的基础。例4画出了一条红彩带和一条黄彩带，红彩带被平均分成4份，黄彩带和这样的1份同样长。要求回答的问题是黄彩带的长是红彩带的几分之几。学生看着直观图形，能够知道“黄彩带的长是红彩带的1/4”。如果仔细体会这句话的含义，应该理解两点：一点是分数1/4表示两个长度的倍数关系；另一点是分数1/4的含义是把红彩带的长看作单位“1”，平均分成4份，黄彩带的长相当于其中1份的长。这两点体会，使分数意义从原来表示部分与整体关系发展到表示倍比关系。这道

19、例题还要教学用除法计算一个数是另一个数的几分之几的问题。教学方法是组织学生推理，帮助学生体会。得出黄彩带的长是红彩带的1/4以后，先根据分数与除法的关系，从得数1/4推理出除法算式14，形成等式141/4。接着是联系所求问题和算式及得数，体会求黄彩带的长是红彩带的几分之几，以红彩带的长为单位“1”，数量关系是“黄彩带的长红彩带的长黄彩带是红彩带的几分之几”。“试一试”里的红彩带长4米，蓝彩带长3米，要求用分数表示蓝彩带和红彩带长度的关系。观察直条图，红彩带被平均分成4份，蓝彩带的长相当于这样的3份，可见红彩带的长度是作为单位“1”的数量。分析问题“蓝彩带的长是红彩带的几分之几”，应该把蓝彩带的

20、长度和红彩带的长度相比，以红彩带的长度作为单位“1”的量。由此得出解决问题的数量关系：蓝彩带长度红彩带长度蓝彩带的长是红彩带的几分之几，列式计算是343/4。和过去求一个数是另一个数的几倍一样，这里的3/4也是倍数，也不带单位名称。练习八着力加强对分数意义的认识，这里就几道习题的编排作些简单说明。第11题，小明家养11只白兔和19只灰兔，要求回答两个问题：白兔只数是灰兔的几分之几？白兔只数占兔子总数的几分之几？这两个问题是白兔只数与两个不同数量相比，在白兔与灰兔相比时，灰兔只数是单位“1”的数量，应该用“白兔只数灰兔只数”；在白兔只数与兔子总数相比时，兔子总数是单位“1”的数量，应该用“白兔只

21、数兔子总数”。学生明白上述的道理与算法，就能较好地解答简单的求一个数是另一个数的几分之几的问题了。第12题要求在数轴上表示分数。要引导学生思考各个分数的意义，以加强分数概念。教材在直线0到1的那一段上给出若干个等分点，为学生找到表示分数的点提供方便，要指导他们合理利用这些等分点。如，1/2是“1”平均分成2份里的1份，要找到把0到1的线段平均分成2份的点。1/4是“1”平均分成4份里的1份，要找到把0到1的线段平均分成4份的点。第13题，有12支铅笔，平均分给2个同学。分别问每支铅笔是铅笔总数的几分之几，每人分得铅笔总数的几分之几。解答这题要抓住三个要点：一要把铅笔总数看作单位“1”，题目给出

22、铅笔12支，把它抽象为单位“1”是有点难度的。二要仔细理解问题，体会把单位“1”平均分的份数。求每支铅笔是铅笔总数的几分之几，要把单位“1”平均分成12份，才能看出每支铅笔与铅笔总数的关系。求每人分得的铅笔是铅笔总数的几分之几，要把单位“1”平均分成2份，才能看出每人分得的铅笔与铅笔总数的关系。三要反思写出的两个分数，比较它们的相同点与不同点，加强对分数意义的体验。第1/4题要求看图写出一个数的几分之几是多少。左图把10个苹果平均分成5份，1/5是其中的一份，是2个；右图把12只鸡平均分成4份，3/4是其中的3份，有9只。学生能看图直接说出10个的1/5是几个，12只的3/4是几只，但不会联系

23、分数意义进行相对严谨的思考。解题的重点应放在分数的意义上面，让学生解释苹果总数的1/5是什么意思，怎样理解鸡的只数的3/4。加强对分数意义的理解，是编排这道题的目的。练习八的后面是一次“动手做”。教材用图画给出八根彩条，它们长相等、宽相等，颜色不同。把每根彩条都看作单位“1”，从上到下，绿彩条平均分成2份，有2个1/2；红彩条平均分成3份，有3个1/3；紫彩条平均分成4份，有4个1/4。接着的动手做安排两个活动：一个是按上面的规律继续把其他彩条分一分，并在彩条上写出适当的分数。另一个是回答两个问题。按规律继续分其他彩条，能够分出5个1/5，6个1/6，7个1/7，8个1/8。每次分，都要把一根

24、彩条平均分成若干份，都要用分数几分之一表示其中的一份，都要在彩条上写出若干个几分之一。这就加强了对分数几分之一的体验。回答的两个问题中，第一个问题是“每根彩条里各有多少个分数单位？任选两个分数单位比较它们的大小，有什么发现？”从彩条上能够直观看到：单位“1”里有2个1/2、3个1/3、4个1/48个1/8，这就初步感受了1与几分之一的关系。比较两个分数单位的大小，是比两个几分之一分数的大小。能够直观体验：把单位“1”平均分的份数越多，其一份就越小，即分数单位越小。从而理解分子是1的分数，分母大的分数比较小，分母小的分数比较大。第二个问题是“看彩条图填空：1/3=（）/6，12=（）/4=（）/

25、8，还能找到其他相等的分数吗？”知道两个分子不同、分母不同的分数也会相等，也就渗透了即将教学的分数基本性质。（四） 以分数单位为新知识的生长点，教学真分数和假分数教学分数的意义，从部分与整体的关系切入，呈现的都是真分数。用分数表达两个数量之间的倍比关系，有时是较小的数与较大的数相比，有时会是较大的数与较小的数相比，结果不一定都是真分数。所以，教材及时安排假分数的教学。例5和例6以分数单位为生长点，先要求写出分子比分母小的分数，再陆续引出分子与分母相等的分数以及分子比分母大的分数，由此教学真分数和假分数的概念。例5把一个圆看作单位“1”，要求在圆里涂色分别表示分母是4的各个分数，让学生一边涂色一

26、边体会每个分数是几个1/4，初步引出假分数，感受它的含义。教材由易到难设计了两个小题。第（1）题在三个同样的圆里涂色依次表示1/4、3/4和4/4，从已经认识的1/4与3/4带出要认识的4/4，并通过说出每个分数各有几个1/4，体会4/4的含义。教学这道题，要把认知的重点放在4/4上面，理解它是4个1/4组成的分数。还要形成几个四分之一是四分之几的认识，概括1/4、3/4和4/4的共同属性，为接下来的教学构造平台。第（2）题教学5/4。这要比教学4/4难得多。学生也许能够从5个1/4推出5/4，而用图形表示5/4并解释它的含义就那么不容易了。为此，教材画了两个完全相同的圆，每个圆都平均分成四份

27、，两个圆的下面有一条括线，要求学生在圆里涂色表示5个1/4，在括线下面写出分数5/4，得出这个分数并感悟其意义。涂色应该一个1/4、一个1/4地进行，左边的圆里最多只能表示4个1/4即4/4，还有一个1/4需要表示在右边的圆里。写在括线下面的5/4，要把两个圆里的涂色部分合在一起才能表示它的含义。学生经历这样的涂色活动，直观形象地体会了5/4的含义，也初步形成了5/4比1大的认识。教学这道题应该让学生明白三点：一是把每个圆都看作单位“1”，都平均分成4份，分数单位是1/4；二是在一个圆里最多只能表示4个1/4，还有一个1/4要在另一个圆里表示出来；三是两个圆里一共涂了5个1/4，表示5/4。例

28、6的教学分两段进行。第一段给出三个分母是5的分数，要求在图形中涂色表示它们，让学生继续体验假分数的意义。其中25是2个1/5，可以在一个五等分的圆里表示出来；10/5是10个1/5，在一个五等分的圆里最多只能表示5个1/5，表示10个1/5需要两个完全一样的圆；13/5是13个1/5，需要三个同样的圆才能表示，前面两个圆里表示10/5，第三个圆里表示3/5，合起来是13/5。教材希望学生根据分数单位与分数的组成，在画图的同时体会这些分数都是若干个1/5组成的数。第二段认识真分数和假分数的特征，建立真分数与假分数的概念。例5和例6陆续出现了七个分数，有分子比分母小的、分子比分母大的，以及分子和分

29、母相等的各种情况，这就具备了教学真分数与假分数的条件。先比较各个分数分子和分母的大小，把七个分数分成两类，然后分别定义真分数和假分数。学生按分子与分母的大小关系，往往会把七个分数分成三类，这是正常现象。教学时只要把分子比分母大和分子与分母相等这两类合并为一类，指出这些分数都是假分数。“练一练”第1题看图写分数表示图中的涂色部分，写出的分数里有真分数，也有假分数；有分子和分母相等的假分数，也有分子比分母大的假分数。学生写出各个分数以后，可以组织他们说说各个分数是什么分数，以加强对真分数和假分数的识别。第3题体验真分数与假分数都由若干个分数单位（几分之一）所组成，看到一个分数，都可以根据它的分母确

30、定其分数单位，根据它的分子确定其含有分数单位的个数。练习九第14题配合真分数与假分数的教学。第1题着重巩固真分数与假分数的概念，要求在图中涂色表示每一个分数，都要按“分数单位是几分之一，有几个这样的单位”进行思考。如，涂色表示3/5，要涂出3个1/5；表示5/5，要涂出5个1/5；表示7/4，要涂出7个1/4。这样的练习有利于学生进一步体会表示真分数或分子与分母相等的假分数，只要在一个图形里涂色；如果表示分子大于分母的假分数，要在两个或多个同样的图形里涂色。第2题在数轴上整理真分数和假分数。可以看到表示真分数的点都在0与1之间，这就表明真分数都小于1。还可以看到表示假分数的点或者就是表示1的点

31、，或者在1的右边，表明假分数等于1或者大于1。第3题用真分数或假分数表示一个数是另一个数的几分之几。如果是较小的数量与较大数量相比，通常用真分数表示它们之间的倍比关系；如果是较大数量与较小数量相比，一般用假分数表示它们之间的倍比关系。第4题要求写出分母是5或7的所有真分数，写出分子是5或7的所有假分数。当真分数的分母确定以后，其分子只会是那么几个数，写出的真分数的个数是有限的，总是“分母减1”个。如，分母是5的真分数有4个，分母是7的真分数有6个。当假分数的分子确定以后，其分母只会是那么几个数，写出的假分数的个数也是有限的，分子是几就能写出几个。如，分子是5的假分数有5个，分子是7的假分数有7

32、个。（五） 利用假分数可以化成整数或者带分数，进一步认识假分数例5和例6教学了假分数的意义，从分数单位以及含有分数单位的个数，初步认识了假分数，知道假分数最为显著的特点是分子和分母相等或者分子比分母大。但是，由于当分数大于或等于1，尤其是分子比分母大许多、分数值比1大得多的假分数，其大小仍然难以体验，于是教材接着编排例7和例8，引导学生利用假分数和整数或者和带分数的相等关系，从分数值的角度进一步体验假分数。例7先特殊后一般，依次教学分子是分母倍数的假分数可以化成整数，分子不是分母倍数的假分数可以化成带分数。学生理解并掌握这个规律，对假分数又多了一份认识。例题先要求把4/4、10/5、28/7分别化成整数，其中4/41、10/52曾经在例5和例6里出现过。现在把这三个假分数化成整数，可以利用已有的经验，通过形象思维进行改写。如，4/4是4个1/4，把一个图形看作单位“1”，平均分成4份，涂色表示4/4刚好把一个图形都涂上颜色，这表明4/41。又如，10/5是10个1/5，因为5/51，10/5里有2个5/5，所以10/52。类似地28/7是28个1/7，7个1/7是1，14个1/7是2，21个1/7是3，28里有4个7，28/7=4。教材接着问学生“能化成整数的假分数，分子