高等数学同济第七版上册知识点总结.docx

1、高等数学同济第七版上册知识点总结.高等数学(同济第七版)上册-知识点总结第一章函数与极限一.函数的概念1.两个无穷小的比较f(x)设limf(x)0,limg(x)0且llimg(x)（1）l=0，称f(x)是比g(x)高阶的无穷小，记以f(x)=0g(x)，称g(x)是比f(x)低阶的无穷小。（2）l0，称f(x)与g(x)是同阶无穷小。（3）l=1，称f(x)与g(x)是等价无穷小，记以f(x)g(x)2.常见的等价无穷小当x0时sinxx，tanxx，arcsinxx，arccosxx，1-cosxx2/2，xe-1x，ln(1x)x，(1x)1x二求极限的方法1两个准则准则1.单调有界

2、数列极限一定存在准则2.（夹逼定理）设g(x)f(x)h(x)若limg(x)A,limh(x)A，则limf(x)A2两个重要公式sinx公式11limx0x1/x公式2xelim(1)x03用无穷小重要性质和等价无穷小代换4用泰勒公式当x0时，有以下公式，可当做等价无穷小更深层次xe1x2x2!3x3!.nxn!no(x)sinxx3x3!5x5!.(n1)(2nx2n11)!2no(x1)WORD格式可编辑版.cosx12x2!4x4!.(2nxnox2n1)(2n!)ln(1x)x2x23x3.(nxnoxn11)(n)(1x)1x(1)2!2xnoxn(1).(n1)x.(n!)ar

3、ctanxx3x35x5.(2n1xnox2n11)(2n11)5洛必达法则定理1设函数f(x)、F(x)满足下列条件：（1）lim()0fxxx0，limF(x)0xx0；（2）f(x)与F(x)在x的某一去心邻域内可导，且F(x)0；0（3）f(x)limxx0Fx)(f(x)f(x)存在（或为无穷大），则limlimxx0FFx(x)xx()0这个定理说明：当f(x)limx0Fxx()存在时，f(x)limxx0Fx()也存在且等于f(x)limxx0F(x)；当f(x)limxx()0Fx为无穷大时，f(x)limx()x0Fx也是无穷大这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来

4、确定未定式的极限值的方法称为洛必达（LHospital）法则.型未定式定理2设函数f(x)、F(x)满足下列条件：（1）lim()fxxx0，limF(x)xx0；（2）f(x)与F(x)在x的某一去心邻域内可导，且F(x)0；0（3）f(x)limx)x0F(x存在（或为无穷大），则f(x)f(x)limlimxx0F(x)xxF(x)0注：上述关于x时未定式型的洛必达法则，对于x时未定式型x0同样适用使用洛必达法则时必须注意以下几点：（1）洛必达法则只能适用于“00”和“”型的未定式，其它的未定式须先化简变形成“00”或“”型才能运用该法则；（2）只要条件具备，可以连续应用洛必达法则；（3

5、）洛必达法则的条件是充分的，但不必要因此，在该法则失效时并不能断定原极限不存在6利用导数定义求极限WORD格式可编辑版.f(xx)f(x)00基本公式()limfx0x0x(如果存在）3.利用定积分定义求极限基本格式1n1klimf()f(x)dxnnnk10（如果存在）三函数的间断点的分类函数的间断点分为两类：（1）第一类间断点设x是函数y=f(x)的间断点。如果f(x)在间断点x0处的左、右极限都存在，0则称x0是f(x)的第一类间断点。左右极限存在且相同但不等于该点的函数值为可去间断点。左右极限不存在为跳跃间断点。第一类间断点包括可去间断点和跳跃间断点。（2）第二类间断点第一类间断点以外

6、的其他间断点统称为第二类间断点。常见的第二类间断点有无穷间断点和振荡间断点。四闭区间上连续函数的性质在闭区间a,b上连续的函数f(x)，有以下几个基本性质。这些性质以后都要用到。定理1（有界定理）如果函数f(x)在闭区间a,b上连续，则f(x)必在a,b上有界。定理2（最大值和最小值定理）如果函数f(x)在闭区间a,b上连续，则在这个区间上一定存在最大值M和最小值m。定理3（介值定理）如果函数f(x)在闭区间a,b上连续，且其最大值和最小值分别为M和m，则对于介于m和M之间的任何实数c，在a,b上至少存在一个，使得f()=c推论：如果函数f(x)在闭区间a,b上连续，且f(a)与f(b)异号，

7、则在(a,b)内至少存在一个点，使得f()=0这个推论也称为零点定理WORD格式可编辑版.第二章导数与微分一基本概念1可微和可导等价，都可以推出连续，但是连续不能推出可微和可导。二求导公式三常见求导WORD格式可编辑版.4.复合函数运算法则5.由参数方程确定函数的运算法则设x=(t)，y=(t)确定函数y=y(x)，其中(t),(t)存在，且(t)0，则dydx(t)(t)6.反函数求导法则设y=f(x)的反函数x=g(y)，两者皆可导，且f(x)011则()0)g(y)fxf(x)f(g(y)7.隐函数运算法则设y=y(x)是由方程F(x,y)=0所确定，求y的方法如下：把F(x,y)=0两

8、边的各项对x求导，把y看作中间变量，用复合函数求导公式计算，然后再解出y的表达式（允许出现y变量）8.对数求导法则（指数类型如yxsinx）sinx）先两边取对数，然后再用隐函数求导方法得出导数y。对数求导法主要用于：幂指函数求导数多个函数连乘除或开方求导数（注意定义域。关于幂指函数y=f(x)g(x)常用的一种方法,y=g(x)lnf(x)e这样就可以直接用复合函数运算法则进行。9.求n阶导数（n2，正整数）先求出y,y,总结出规律性，然后写出y(n)，最后用归纳法证明。有一些常用的初等函数的n阶导数公式（1）ye,xy(n)exxy(n)ex（2）ya,(ln)xy(n)aaxy(n)aa

9、xn(nn)（3）ysinx,)ysin(x2(nn)（4）ycosx,)ycos(x2(5)ylnx,(n)nxn1y(1)(1)!nWORD格式可编辑版.第三章微分中值定理与导数应用一.罗尔定理设函数f(x)满足（1）在闭区间a,b上连续；（2）在开区间(a,b)内可导；（3）f(a)=f(b)则存在(a,b)，使得f()=0二拉格朗日中值定理设函数f(x)满足（1）在闭区间a,b上连续；（2）在开区间(a,b)内可导；f(b)f(a)则存在(a,b)，使得()fba推论1若f(x)在(a,b)内可导，且f(x)0，则f(x)在(a,b)内为常数。推论2若f(x),g(x)在(a,b)内皆

10、可导，且f(x)g(x)，则在(a,b)内f(x)=g(x)+c，其中c为一个常数。三.柯西中值定理设函数f(x)和g(x)满足：（1）在闭区间a,b上皆连续；（2）在开区间(a,b)内皆可导；且g(x)0则存在(a,b)使得fg(b)(b)f(a)a)g(fg()(ab)（注：柯西中值定理为拉格朗日中值定理的推广，特殊情形g(x)=x时，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。）四.泰勒公式（估值求极限（麦克劳林）定理1（皮亚诺余项的n阶泰勒公式）设f(x)在0x处有n阶导数，则有公式，称为皮亚诺余项定理2（拉格朗日余项的n阶泰勒公式）设f(x)在包含0x的区间(a,b)内有n+1阶导数，在a,b

11、上有n阶连续导数，则对xa,b，有公式，,称为拉格朗日余项上面展开式称为以0(x)为中心的n阶泰勒公式。当x=0时，也称为n阶麦克劳林0WORD格式可编辑版.公式。常用公式(前8个)WORD格式可编辑版.五导数的应用一基本知识设函数f(x)在x处可导，且x0为f(x)的一个极值点，则f(x0)0。0我们称x满足()0fx的x0称为f(x)的驻点，可导函数的极值点一定是驻点，0反之不然。极值点只能是驻点或不可导点，所以只要从这两种点中进一步去判断。极值点判断方法10.第一充分条件f(x)在x0的邻域内可导，且f()0，则若当xx0时,x0f，当xx0时，f(x)0，则x0为极大值点；若当xx0时

12、，(x)0f，当xx0时，f(x)0，则x0为极小值点；若在x0的两侧(x)0f(x)不变号，则x0不是极值点.11.第二充分条件f(x)在x处二阶可导，且f()0，f(x)0，则若()0xfx，0000则x0为极大值点；若f()0，则x0为极小值点.x012.泰勒公式判别法（用的比较少，可以自行XX）二.凹凸性与拐点1凹凸的定义设f(x)在区间I上连续，若对任意不同的两点12x,x，恒有则称f(x)在I上是凸（凹）的。在几何上，曲线y=f(x)上任意两点的割线在曲线下（上）面，则y=f(x)是凸（凹）的。如果曲线y=f(x)有切线的话，每一点的切线都在曲线之上（下）则y=f(x)是凸（凹）的

13、。2拐点的定义曲线上凹与凸的分界点，称为曲线的拐点。3凹凸性的判别和拐点的求法设函数f(x)在(a,b)内具有二阶导数f(x)，如果在(a,b)内的每一点x，恒有f(x)0，则曲线y=f(x)在(a,b)内是凹的；WORD格式可编辑版.如果在(a,b)内的每一点x，恒有f(x)0，则曲线y=f(x)在(a,b)内是凸的。求曲线y=f(x)的拐点的方法步骤是：第一步：求出二阶导数f(x)；第二步：求出使二阶导数等于零或二阶导数不存在的点x1,x2,.xk；第三步：对于以上的连续点，检验各点两边二阶导数的符号，如果符号不同，该点就是拐点的横坐标；第四步：求出拐点的纵坐标。三渐近线的求法四曲率WOR

14、D格式可编辑版.第四章不定积分一基本积分表：tgxdxctgxdxsecxdxlncosxxsecxlnsinlnCCtgxCdx2cosdx2sinxx2sec2cscxdxxdxtgxCctgxCsecxtgxdxsecxCcscxdxlncscxctgxC2a2xdx2xdx2a1arctgxlnxa12axaaaCCcscxctgxdxxaxadxlnashxdxchxCCcscxC2adx2x12alnaaxxCchxdxshxCdx2a2xxarcsinaCdx2x2aln(x2x2a)C22n1nnIsinxdxcosxdxInnn0022xa2dxx22x2a2a2ln(x2x

15、a2)C2x2adxx22x2a2a2lnx2x2aC2a2xdxx22a2x2a2arcsinxaCWORD格式可编辑版.二换元积分法和分部积分法换元积分法（1）第一类换元法（凑微分）：f(x)(x)dxf(u)duu(x)（2）第二类换元法（变量代换）：f(x)dxf(t)(t)dtt1(x)分部积分法udvuvvdu使用分部积分法时被积函数中谁看作u(x)谁看作v(x)有一定规律。xarcsin，应该是记住口诀，反对幂指三为u(x)，靠前就为u(x)，例如exdxarcsinx为u(x)，因为反三角函数排在指数函数之前，同理可以推出其他。三有理函数积分P(x)()fx，其中P(x)和Q(

16、x)是多项式。有理函数：()Qx简单有理函数：P(x)P(x)f(x),f(x)21x1xf(x)(xP(x)xa)(b)P(x)f(x)xab2()1、“拆”；2、变量代换（三角代换、倒代换、根式代换等）.WORD格式可编辑版.第五章定积分一概念与性质1、定义：baf(x)dxlim0in1f()ixi2、性质：（10条）(3)WORD格式可编辑版.3.基本定理变上限积分：设x(x)f(t)dt，则(x)f(x)推广：adx()dx(x)f(t)dtf(x)(x)f(x)(x)bNL公式：若F(x)为f(x)的一个原函数，则f(x)dxF(b)F(a)a4.定积分的换元积分法和分部积分法WO

17、RD格式可编辑版.二定积分的特殊性质WORD格式可编辑版.第六章定积分的应用一平面图形的面积13.直角坐标：bAf(x)f(x)21adx12214.极坐标：A()()d212二体积1.旋转体体积：a)曲边梯形yf(x),xa,xb,x轴，绕x轴旋转而成的旋转体的体积：b2Vxf(x)dxab)曲边梯形yf(x),xa,xb,x轴，绕y轴旋转而成的旋转WORD格式可编辑版.体的体积：bVy2xf(x)dx（柱壳法）a三.弧长15.直角坐标：sba1f(x)2dx2()216.参数方程：s(t)tdt2()2极坐标：s()dWORD格式可编辑版.第七章微分方程一概念17.微分方程：表示未知函数、

18、未知函数的导数及自变量之间关系的方程.阶：微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数.18.解：使微分方程成为恒等式的函数.通解：方程的解中含有任意的常数，且常数的个数与微分方程的阶数相同.特解：确定了通解中的任意常数后得到的解.(1).变量可分离的方程g()()，两边积分g(y)dyf(x)dxydyfxdx(2).齐次型方程dydx(yx)yu，则，设xdydxuxdudx；dxx或()dyyxv，则，设ydxdyvydvdy(3).一阶线性微分方程dydxP(x)yQ(x)P(x)dxP(x)dx用常数变易法或用公式：yeQxedxC()(4).可降阶的高阶微分方程(fxn)1、()y

19、，两边积分n次；2、yf(x,y)（不显含有y），令yp，则yp；3、yf(y,y)（不显含有x），令yp，则ypdpdy（一）线性微分方程解的结构1、y1,y2是齐次线性方程的解，则C1y1C2y2也是；2、y1,y2是齐次线性方程的线性无关的特解，则C1y1C2y2是方程的通解；3、*yC1yCyy为非齐次方程的通解，其中122y1,y为对应齐2WORD格式可编辑版.次方程的线性无关的解，*y非齐次方程的特解.（二）常系数齐次线性微分方程二阶常系数齐次线性方程：ypyqy0特征方程：0r2prq，特征根：r1,r2特征根通解实根yr1Ce1xrCe22xr1r2p2y(C1C2x)r1ex

20、rix1ye(C1cosxC2sinx),2（三）常系数非齐次线性微分方程ypyqyf(x)x1、f(x)ePm(x)0,不是特征根*xkexQx设特解y()m，其中k1,是一个单根2,是重根x()cos()sin2、f(x)ePxxPxxln*kx(1)()cos(2)()sin设特解yxeRxxRxxmm，0,i不是特征根k其中mmaxl,n，1,i是特征根工程部维修工的岗位职责1、严格遵守公司员工守则和各项规章制度，服从领班安排，除完成日常维修任务外，有计划地承担其它工作任务;2、努力学习技术，熟练掌握现有电气设备的原理及实际操作与维修;3、积极协调配电工的工作，出现事故时无条件地迅速返回机房，听从领班的指挥;4、招待执行所管辖设备的检修计划，按时按质按量地完成，并填好记录表格;5、严格执行设备管理制度，做好日夜班的交接班工作;6、交班时发生故障，上一班必须协同下一班排队故障后才能下班，配电设备发生事故时不得离岗;7、请假、补休需在一天前报告领班，并由领班