最小二乘法的应用.docx

1、最小二乘法的应用 最小二乘法的应用 最小二乘法 的应用 最小二乘法是一种数学优化技术， 它通过最小化误差的平方和找到一组数据的最佳函数匹配。 用最简的方法求得一些绝对不可知的真值， 而令误差平方之和为最小， 通常用于曲线拟合。 很多其他的优化问题也可通过最小化能量或最大化熵用最小二乘形式表达。 最小二乘法分的应用能简化物理和工程技术方面的问题， 使问题简化并有利于计算机处理问题， 便于进行研究。 常用最小二乘法各数学量之间的函数关系在实际研究工作中有很重要的作用。 在现代科学研究中， 各数学量之间的相互关系通常是用函数来描述的， 最小二乘法现在已应用到各个领域中去， 并在这些领域中发挥着重要的

2、作用。 应用一 最小二乘法在距离保护中的应用 电压和电流信号中存在的非周期分量和高次谐波分量会影响到距离保护测量阻抗的真实性。 通过滤除非工频信号而获得的基波阻抗值, 可以确保距离保护动作的正确性。 基于最小二乘原理的参数估计是应用相当普及的方法, 将最小二乘法应用于距离保护中, 构建了 基于微分方程的系统模型, 提出通过测量电感参数获得测量电抗,为解决基于微分方程测量电阻参数估计模型误差大的问题, 提出基于有功功率概念构建的测量电阻参数估计模型, 并就所提出方法进行了 仿真验证, 表明通过最小二乘法进行的测量阻抗参数估计是可以应用于距离保护的。 1.1 测量阻抗的在线估计算法 阻抗保护的测量

3、阻抗是一个复数, 实部为测量电阻, 虚部为测量电抗, 可以通过以下公式计算出来 IUZJ （.1） 或 03KIIUZJ （2） 前者用于输电线路的相间短路故障保护, 后者用于接地保护。 两者在阻抗继电器实现上的差别在于采用了 不同的测量电流。 以上计算公式采用的电压和电流信号均为频域量, 这也是需要对电压和电流信号进行滤波的原因之一。 采用通过测量电压和测量电流估计出测量电阻(对应测量阻抗的实部) 和测量电感(与电力系统的角频率相乘即为测量阻抗的虚部) , 则对测量电压信号和测量电流信号没有特殊的滤波要求。 对于一条输电线路, 忽略分布电容, 其母线电压 tv和保护测量电流 t i之间存在以

4、下关系 tidtdLtRitv)()()( （3） 其中,R 为测量电阻,L 为测量电感。 以 T 为采样时间间隔,则式(4.3)在第 k 时刻的离散表达式为 TiiLRivkkkk 1 （4） 如果进行 N 次观测, 则各误差的平方和为 211)( k NkkkkTiiLRivJ （5） 要使 J 达到极小值, 分别对 R 和 L求偏导并使之等于零, 则有 0)(211 k kNkkkkRRiTiiLi RvRJ （6） 0)(2111 kTiiTiiLi RvLJkkkkNkkLL （7） 解由式(6)和式(7)组成的二元一次方程组, 可以得出电感参数估计值 L的计算公式为 k1 k k1

5、 k j NNkNkkkkkkNNkNNkkkkkkkkkTiiiTiiiTiiiivTiiviL1121212111112)()( （8） 同样可以得出电阻参数估计值 R的计算公式为 R k1 k k N k T NkNkkkkkkNNkNNkkkkkkkkkkkiiiTiiiTiiiTiivTvivi112121211111121)()()( （9） 利用公式（8） 进行短路电感仿真计算的结果如表 1 所示, 参与估计的样本数据窗口长度为每周波采样点数。 而利用公式(9)进行的短路电阻仿真计算结果由于误差较大(达 30%50%)。 通过表 1 的仿真结果,可以看出:应用公式(8)进行的电感

6、参数估计时,所获得结果的误差与每周波采样点数存在一定关系, 每周波采样点数越多, 估计值与理想值之间的误差就越小, 同样地, 所获得的结果的误差也与发生短路点的位置有关系, 近端短路电感估计误差比远端短路估计误差大。 在短路点与保护测量位置达到50%线路长度以上后, 如果每周波采样点数达到 30 点, 电感参数的估计值计算误差将不大于 1%,而在近端短路时, 如短路点距离馈出线出口为 10%线路全长时, 估计误差将会比较大, 这与近端短路时母线残压较低有关, 对于这种情况, 由于测量阻抗模值比保护动作值小许多, 只要保护的测量阻抗角没有大的误差, 近端短路时电感估计误差将不会影响到保护动作的正

7、确性。 基于微分方程的测量电感参数估计仿真结果如下： 短路点（线路长度 的百分比） /% 采样点数 （每周波） 测量电感估计值 （H， 期望值） 测量电感 理论值（H） 相对误差 /% 100 30 20 12 0.0894 0.0902 0.0928 0.089 0.089 0.089 0.45 1.35 4.27 50 30 20 10 0.0449 0.0453 0.0466 0.0455 0.0455 0.0455 0.90 1.80 4.72 10 30 20 10 0.00916 0.00925 0.00952 0.0089 0.0089 0.0089 2.93 3.93 6.97

8、 1.2 应用最小二乘法完善质量流量计的工作曲线 应用最小二乘法分析拟合质量流量计(MFC)的工作曲线, 以完善流量计的使用操作参数。 首先根据已有的工作曲线通过拟合找出设定流量(msetting)工作时间(t)的变化规律, 再根据此规律拟合找到流量计的设定流量(m)稳定时间(tsteady)曲线。 并根据此结果指导流量计实际的工艺参数设定调整。 美国 Emerson 公司的 Brooks 5850 系列质量流量计是 UHP(包括半导体) 行业常用的流量控制仪器之一。 此种仪器采用热质量流量感知技术, 具有反应速度快, 灵敏度高, 精度高等特点。 此种流量计有自己的一套工作曲线。 此工作曲线上

9、, 部分设定流量变化与稳定时间的特性曲线已经描绘出来, 但对实际生产使用来说, 数据不够全面。 在实际生产中, 特别是在设计工艺时, 希望有确切的数学表达式。 这里就是利用最小二乘法拟合的方法得到了设定流量msetting与时间 t的关系式以及流量计的流量m 与滞后的稳定时间 tsteady 的关系。 2 1 最小二乘法在流量计工作曲线分析中的具体应用 资料来源： 马松龄. 最小二乘法在热电偶热电势温度特性线性化中的应用M. 西安： 西安建筑科技大学学报(自然科学版) . 2019： 01 从特性曲线的线形（图 1） 来看,可用非线性最小二乘拟合。 设定公式: btaem （10） 首先对第一

10、个流量变化 0100%量程的变化。 进行拟合。 在曲线上取五个点,如表： I 0 1 2 3 4 5 It iM 0 0 1 86.00 2 96.00 3 99.00 4 99.50 5 99.90 求得拟合曲线为 )(0319. 0100,2373.87tsettingem （11） 对于此种流量计, 当其流量从 20%变为 80%时, 根据传感器的作用公式 mCpPAT （12） 式中: T 为传感器探测到的温度差； Cp 为在恒定压力下的气体比热； P 为加热器功率； M 是质量流量； A 为比例常数。 把（4.12） 式变换后得 )()(dmCpPATd （13） 即流量的变化对结果

11、的影响只与流量的变化范围相关,与具体流量的位置无关。 即流量从 20%变为 80%时与流量从 0%变为 60%时相同。 由图 1 中流量数据曲线,当流量从 0 变到 20%量程时 tsettingem01071. 020,7420.14 （14） 当流量从 20%变到 80%量程时的曲线,即相当于流量从 0%变为 60%时 tsettingem0399. 060,1442.50 （15） 审定流量变化范围 0-20% 0-60% 0-100% 拟合公式的系数 a 拟合公式的系数 b 14.7421 0.1107 50.1442 0.0399 87.2047 0.0320 表中只有三个设定流量随

12、时间的变化关系, 而进行实际应用时, 会用到各种流量设定制。 因此再应用最小二乘法中的多项式拟合过程对以上数据进行拟合, 用以得到系数 ba, 与所有流量的变化关系式。 拟合后 a 的关系式为 20195180. 08436. 01304. 2 settingsettingmma （16） 拟合后的关系式成为 201901966. 0003343. 01697. 0settingsettingmmb （17） 结果得到拟合后的关系式 2)(0005180. 0)(8436. 01304. 2(settingsettingmmm2)(00001966. 0 )(003343. 0 1697. 0

13、 (esettingsettingmm （18） 此关系式即是设定流量与各自设定流量相关的滞后时间的关系式。 应用（4.18） 式可推导出设定流量变化为 50%时tsettingem0517. 050,35.41 （19） 即当流量变化 50%时,流量计是 4.05s 达到新的设定值。 同理,当设定流量变化 80% tsettingem02808. 080,6728.68 （20） 则当流量变化 80%时,流量计要 5.44s 达到新的设定值。 应用二 最小二乘法在石油闪点检测中的应用 以铂电阻分度函数为基础， 利用最小二乘法算法， 给出了 拟合多项式， 很好地 解决了 石油闪点检测系统中铂电

14、阻不平衡电桥法测温方案中的非线性误差， 其方便性和实用性已在应用中得到验证。 闪点是指石油产品的试验油样在规定的线性升温速率下， 当它的蒸气与扫描的试验火焰发生闪火时的最低温度。 石油产品的闪点是表征该产品在使用、 储存、 运输条件下安全性的一个重要指标， 因此， 石油产品闪点的测量精度是关系工业安全生产的一个重要因素。 最小二乘法结合工具软件Matlab 对非线性误差进行校正， 具有方便简单、 速度快、 准确度高、 非线性误差小等特点， 在以 89C51 为核心的抗燃油石油闪点智能实时检测系统中已经得到了应用，效果良好。 在设计时， 将如图 2 所示的不平衡电桥的输出电压经高性能单芯片测量放

15、大器 AD521 后送人 12bit 逐次逼近型快速 A/D 变换器 AD1674， 在 89C51 单片机上 使 用 4 字 节 单 符 号 单 精 度 浮 点 数 格 式 ，数 的 表 示 范 围 可 以 达 到383107 . 1109 . 2 ， 4 字节浮点数中阶码占 1 个字节， 模 2 补码. 为了节省单片机的资源和运算时间， 需将拟合温度多项式的系数1b 3b 预先转换成浮点数并安排在程序内存中。 在 89C51 读出 A/D 数后， 根据 A/D 分辨率可以方便地得出， 随后可直接采用上述算法实现非线性校正。 应用三 最小二乘法在分析和校正影响奶牛产奶量因素上的应用研究 在奶

16、牛育种工作中， 利用遗传指标鉴定和选择公母牛个体时， 必须考虑所有影响产奶量的环境因素。 许多研究资料表明， 在奶牛生产中产犊季节和胎次对产奶量影响较大。 为了准确选种必须剔除或校正这些环境因素的影响， 才能提高选种效果。 过去多凭经验用平均数比较法或回归分析法， 由于以上方法未校正在同一标准上进行统计分析， 造成顾此失彼， 系统误差较大。 最小二乘法是近年来发展起来的新的统计分析方法。 它在样本含量较少、 资料不平衡的情况下， 可以把固定效应(如产犊季节、 胎次等) 分析出来， 并设法消除， 从而得到最精确的最小二乘均数， 由此减少了取样误差和消除了系统误差， 故此方法又称为最佳线性无偏估计

17、。 研究人员应用最小二乘法不仅准确分析了产犊季节和胎次对奶牛产奶 t 的影响， 也直接估计了 群体均值和各因家的校正系数(值) ， 对原始资料进行校正， 提高了 选种的准确性。 最小二乘分析适用于次级样本含量不等的资料分析， 它除了 能检验各因素水平效应差异是否显著外， 还可估计其均数及各因家水平效应值(后者用常规方差分析是无法求出的并可求出各因素水平组合的最小二乘均数， 对原始资料进行校正， 使能在同一标准上进行统计分析， 加大样本含 t， 提高结论准确性。 所求出的群体最小二乘均数， 具有统计学所要求的一致性、 无偏性和有效性， 因而它是群体平均基因型的最佳估计， 用其可提高奶牛选种的准确

18、性。 此研究表明应用最小二乘分析原理不仅对影响奶牛产奶量的胎次和产犊季节进行分析和校正， 还可推广到不同场、 年度、 种畜个体、 初产月龄、 产犊间隔等资料的校正及影响程度的分析。 因此， 最小二乘法在育种和生产中具有广泛实用价值。 总结 最小二乘法能将从实验中得出的一大堆看上去杂乱无章的数据中找出一定规律， 拟合成一条曲线来反映所给数据点总趋势， 以消除其局部波动。 它为科研工作者提供了 一种非常方便实效的数据处理方法。 在科学实验及统计方法的研究中， 由于因素的复杂性或其他原因， 往往难以得到量与量之间一种完全确定的关系。 常常只能从系统运行中采集到反应变量 x 和 y 之间的关系的一些数据。 而不能确切的知道函数的表达式， 然而对系统的运行作某些定量分析， 又常常需要函数表达式。 最小二乘法是一个目前最常用的解决手段之一。 随着计算机的发展， 最小二乘法也随之发展而得到更广泛的应用。