磁聚焦和磁发散.docx

1、磁聚焦和磁发散磁聚焦和磁发散一、带电粒子的汇聚特点：磁场是圆形磁场磁场圆的半径和轨迹圆的半径相等大量带正电的粒子平行入射。结论：这些粒子会汇聚一点射出磁场。几何关系：磁场圆的两条半径，轨迹圆的两条半径组成的四边形是菱形。因为00 是角平分线，所以/ 仁/ 2，因为0B=0B所以/ 2=7 3, 所以/仁/3，四边形A0B0是菱形。如图所示，大量的同种带正电的粒子，速度大小相同，平行入射到圆形磁场区域，如果轨迹圆半径与磁场圆半径相等即 R= r,则所有的带电粒子将从磁场圆的最低点 B点射出.平行四边形 0A0 B为菱形，可得 B0为轨迹圆的半径，可知从 A点 发出的带电粒子必然经过 B点.1、如

2、图所示，x轴正方向水平向右，y轴正方向竖直向上.在 xOy平面内有与y轴平行的匀强电场，在半径为 R的圆内还有与x0y平面垂直的匀强磁场.在圆的左边放置一带电微粒发射装置,束带电微粒分布在 0y2R的区间内.已知重力加速度大小为 g.(1)从A点射出的带电微粒平行于 x轴从C点进入有磁场区域，并从坐标原点 0沿y轴负方向离开，求电场强度和磁感应强度的大小和方向.(2)请指出这束带电微粒与 x轴相交的区域，并说明理由.(1)带电粒子平行于 x轴从C点进入磁场，说明带电微粒所受 重力和电场力平衡。设电场强度大小为 E,由(2)这束带电微粒都通过坐标原点方法一：从任一点P水平进入磁场的带电微粒在磁场

3、中做半径为 R的匀速圆周运动，其圆心位于其正下方的 Q点，如图乙所示，这束带电微粒进入磁场后的圆心轨迹是如图乙的虚线半圆，此圆的 圆心是坐标原点方法二：从任一点P水平进入磁场的带电微粒在磁场中做半径为 R的匀速圆周运动。如图乙所示，高P点与0点的连线与y轴的夹 角为0，其圆心Q的坐标为(-Rsin 0 , Rcos 0 )，圆周运动轨迹 方程为(:r+Rsin cos得 x=0, y=0 或 x=-Rsin 0 , y=R(1+cos 0 ) 2、如图所示，在一个半径为 R的圆形区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场,子以相同速度从磁场边界上的 B点水平射入磁场，两速度方向与圆周在一平面内，且 A、

4、B两点n间圆弧长度为；4农 则第二个电子在磁场中运动的时间为( A )3A、 第二个电子在磁场中运动的时间为 -t23B、 第二个电子在磁场中运动的时间为 t8C第二个电子从 C点的左侧圆弧 AC上某点射出1D第二个电子在磁场中运动轨迹所对应的圆心角为 0 = 二43、如图所示，半径为 R的半圆形区域内分布着垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为 B,半圆的左边垂直 X轴放置一粒子发射装置，在 -RC y 0)的粒子以速度 v从O点垂直于磁场方向且速度方向沿x轴正方向射入第一象限，粒子恰好从 0点正上方的A点射出磁场，不计粒子重力。(1)求磁感应强度B的大小；(2)求粒子从0点进入磁场到最终离开

5、磁场所通过的路程。(3)若粒子以速度v从0点垂直于磁场方向且与 x轴正方向的夹角0 =30射入第一象限，求粒子从射入磁场到最终离开磁场的时间 t。 (1)设粒子在磁场中做圆运动的轨迹半径为 R(3)经分析粒子在磁场运动的路程 Si=粒子在电场中的路程 S2 E q=maS=S+S2=(3)粒子运动轨迹如图所示粒子在磁场中做圆运动的周期 粒子从磁场中的 P点射出，因磁场圆和粒子的轨迹圆的半径相等， 00P0构成菱形，故粒子从 P点的出射方向与y轴平行，粒子由 0到P所对应的圆心角为 =60由几何知识可知，粒子由 P点到x轴的距离S=acos粒子在电场中做匀变速运动，在电场中运动的时间 粒子由P点

6、第2次进入磁场，由 Q点射出，P OQ 03构成菱形，由几何知识可知 Q点在x轴上，粒子由P到Q的偏向角为 =1200,贝U粒子先后在磁场中运动的总时间 粒子在场区之间做匀速运动的时间解得粒子从射入磁场到最终离开磁场的时间8如图所示，在直角坐标系 xOy平面的第n象限内有半径为 R的圆O分别与x轴、y轴相切于P (-r, 0)、Q( 0, r)两点，圆O内存在垂直于xOy平面向外的匀强磁场，磁感应强度为 B.与联立解得：一工 J 1分）（2）粒子A的轨迹圆半径为r，由洛仑兹力和向心力公式可得:（2 分）联立解得： 二： 炉（2分）（3）设粒子A在磁场中圆周运动的圆心为 O ,因为/ O CA

7、=90 , O C=r,以 O 为圆心、r为半径做A的轨迹圆交圆形磁场 O于H点，则四边形 CO H O为菱形，故 O H/ y 轴，粒子A 从磁场中出来交y轴于I点，HI丄O H,所以粒子A也是垂直于y轴进入电场。（2分）设粒子A从J点射出电场，交 x轴于K点，因与粒子 A在电场中的运动类似，由（1）式可得：OI - JG=r 2 分）又 Ol=r+rcos30 （1 分）由式解得:根据图中几何知识可得：/ JKG=45, GK=GJ三、磁发散问题中和数学相关的最值问题象限内以D （- L, L）为圆心、L为半径的寸圆形区域内，分布着方向垂直 xOy平面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场；在

8、第一象限三角形 OP（之外的区域，分布着沿y轴负方向的匀强电场.现 有大量质量为 m电荷量为+q的相同粒子，从 A点平行xOy平面以相同速率、沿不同方向射向磁场区域，其中沿AD方向射入的粒子恰好从 不考虑粒子间的相互作用及其重力，求：（1） 电场强度的大小；（2） x正半轴上有粒子穿越的区间.P点进入电场，经电场后恰好通过 C点.已知a=30JD Pi4 i:B :t * * j1 * V /yh J*7 J d fl怯rFF厂 oC JI解：(1)带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，设半径为r，粒子初速度为 vo,由几何关系得：r=L ,沿AD方向的粒子由P点进入电场时，速度方向与 设在电场中运

9、动的时间为 t o,电场强度为E,则 qE=may轴垂直,L _ 叱 ranfl1L=2q&2LI解得：E=(2)若粒子的速度方向与 X轴正方向的夹角为ADFO为菱形，O F 平行 AD, Vf 丄 O F,带电粒子离开磁场时，速度方向沿 X轴正方向，则有:yF=L (1-cos 0 ),粒子从F 通过PC,则0，粒子从F点射出磁场，由于 r=L ,故四边形-匸YF x F tana粒子在电场中运动的时间为 t，从C通过X轴离开电场，沿 X轴方向的位移为X,X=Vot ,粒子到达X轴的坐标为 Xc , Xc =Xf +XC = J3-(cos0+ l-gj.010)(0v 0 90)当0 =9

10、0时，xc的最小值时，Xc，的最大值UKLX11所以x正半袖上有粒子穿越的区间为答：（1）电场强度的大小为 3册；（2）x正半袖上有粒子穿越的区间为变式1、在直角坐标系xoy中，A （-0.3 , 0）、C是x轴上两点，P点的坐标为（0, 0.3 ）。在第 二象限内以D（-0.3,0.3 ）为圆心、0.3m为半径的1/4圆形区域内，分布着方向垂直 xoy平面向 外、磁感应强度大小为 B=0.1T的匀强磁场；在第一象限三角形 OPC之外的区域，分布着沿 y轴 负方向的匀强电场（如图所示）。现有大量质量为 m=3 10kg、电荷量为q =1 104C的相同粒子，从A点平行xoy平面以相同速率v=1

11、03m/s沿不同方向射向磁场区域，其中沿 AD方向射入的粒子恰好从 P点垂直y轴进入电场，恰好通过 C点。已知a = 37。，不考虑粒子间的相互作用及其重力，求:（2）粒子穿越x正半轴的最大值。mvqB,、 mv(1) r (2) 0.5mqB【解析】（1）带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，设半径为 r,粒子的初速度为 v2_ mv qvBr根据题意和几何知识，可得:3r=DP=0.3m v=1 x 10 m/s沿AD方向的粒子由P点进入电场时，速度方向与 y轴垂直。所以，该粒子在电场中做类平抛运动，运动时间为tOC=vt1 20P= at2OP=OCtan aqE=maE=112.5V/m（2

12、）若速度方向与x轴正方向的夹角为 B的入射粒子，从x正半轴穿过时距离 0点最远。 粒子从F点离开磁场，其中 0 是粒子运动的圆心。由于粒子的运动半径等于磁场的半径，所以 四边形ADFO 为菱形， OFjAD , vF _ O F，而AD又是竖直方向，所以 vf垂直于y轴从F 点进入电场，仍做类平抛运动。1运动时间为t x=v yF at 22粒子到达x轴的坐标为xC x = x xFr - yFxF - yF 1 -costta na联合接的 xC =0.4 1-cosr 0.4cosr设-,1 -COST - k，所以 Xc：=0.4k - 0.4 1 -k2 当 k=0.5 时 Xc 有最

13、大值且为 0.5m10、如图所示，在xOy平面内，紧挨着的三个“柳叶”形有界区域内（含边界上）有磁感应强度为 B的匀强磁场，它们的边界都1 1是半径为a的；圆，每个；圆的端点处的切线要么与 x轴平行、要么与y轴平行区域的下端恰在 O点，区域在 A点平滑连接、区域在C点平滑连接.大量质量均为 m电荷量均为q的带正电的粒子依次从坐标原点 O以相同的速率、各种不同的方向射入第 一象限内（含沿x轴、y轴方向），它们只要在磁场中运动，轨道半径就都为 a.在yw a的区域，存在场强为E的沿一x方向的匀强电场整个装置在真空中，不计粒子重力、不计粒子之间的相 互作用.求：(1) 粒子从0点射出时的速率V0;

14、这群粒子中，从 O点射出至运动到 x轴上的最长时间;(4)这群粒子到达y轴上的区域范围.四、磁场的最小区域问题11、电子质量为 m电荷量为e,从坐标原点 O处沿xOy平面射入第一象限，射入时速度方向不 同，速度大小均为 vo，如图所示。现在某一区域加一方向向外且垂直于 xOy平面的匀强磁场，磁感应强度为B,若这些电子穿过磁场后都能垂直射到荧光屏 MN上，荧光屏与y轴平行，求:(1)荧光屏上光斑的长度；(2)所加磁场范围的最小面积。解：(1 )如图所示，求光斑长度，关键是找到两个边界点，初速度方向沿x轴正方向的电子，沿弧OB运动到P;初速度方向沿y轴正方向的电子, 沿弧OC运动到Q由图可知电子在

15、磁场中的半径(2)沿任一方向射入第一象限的电子经电场偏转后都能垂直打到荧光屏 MN上，所加最小面积的磁场的边界是以 O(0 , R)为圆心，R为半径的圆的一部分，如图中实线所示，所以磁场范围的最 小面积为J戒+疋-丄欣？=(兰+1)竽代4 4 212、如图，ABCD是边长为a的正方形。质量为 m电荷量为e的电子 ，以大小为v0的初速度沿纸面垂直于 BC变射入正方形区域。在正方形 - 内适当区域中有匀强磁场。电子从 BC边上的任意点入射，都只能从 A点射出磁场。不计重力，求：(1)此匀强磁场区域中磁感应强度的方向和大小;(2)此匀强磁场区域的最小面积。磁场中的运行轨道。电子所受到的磁场的作用力

16、(2)由(1)中决定的磁感应强度的方向和大小，可知自 向射出，且自BC边上其它点垂直于入射的电子的运动轨道只能在 是所求的最小磁场区域的一个边界。C为x轴，AD为y轴的坐标系中，P点的坐标为x = a win 3y - - (z-a gqs =-a cqs0 三 &三一 _*.这意味着，在 范围内，p点形成以D为圆心、a为半径的四分之一圆周厂，它是电 子做直线运动和圆周运动的分界线，构成所求磁场区域的另一边界因此，所求的最小匀强磁场区域时分别以 B和D为圆心、a为半径的两个四分之一圆周 心-和13、一水平放置的平板 MN的上方有匀强磁场，磁感应强度的大小为 B，磁场方向垂直于纸面向里 许多质量为m带电量为+q的粒子，以相同的速率v沿位于纸面内的各个方向， 由小孔0射入磁场区域不计重力，不计粒子间的相互影响 下列图中阴影部分表示带电粒子可能经过的区域，其中正确的图是 （A ）