偏微分方程的有限元法求解.docx

1、偏微分方程的有限元法求解16.901讲义笔记一维有限首先，我们考虑个比上一节稍微复杂点的问题; 豎二 f(X),卫冲，V(O) = O.V(L)=O在这里，f(X)是)C的般函数，我们来看个特别的 情形：f(x)=x(L-x),此时，方程的梏确解如F：有限元方法利用加权残差的方法其中:(1)设va)=Ma), v()()是我们对v(x)的近似，省为未知常数9 V|(x)是用户选择的歯数，即形状朗数：(2)定义N个加权残差LRj = p(x)R(V)dx j = l- N to其中，RV)二器f为绒差凹足“用户”选择的加权函数，即权函数:(3)令加权残并为冬町以确定的值，即 求耳使得对所fi 1

2、=I-N, Rj=Oe令限元方法( )是加权残若法的一种，下血看看我们是如何用它来解决问题的。一维有限元方法有限元方法（ 扌野个连续区域离散化-系列小单尤，这些单元与有限差分法（ ）或有限体积法（ ）产牛的网格完全相同，而 佼之前两者 主耍的优点在于：能够容易地把握单元的变化范囤。 对于我们讨论的一维问题,可以将区域（数轴离散 化为如下图所示:这里，叫三单元的个数。我们还会用別下血i些定义：个三角划分；尽管令限元法对于一维，二维，三维甚 至高细问题都是仃效的，们我们还是要谈及区域离 散化的一种方浓，即三角划分。4 T定义为第I个单元所在的区域。对于_维问题,这表明，TS-个满足片心的X的集合。

3、接卜来耍确定的是毎个单兀该用什么样的函数，典型 的函数形式就是用从一个单元到卜一个单兀保持解连续的多项式。例如：一个线性有限元如卜團;i示:在毎个单元内的函数是线形的，在毎两个单元的交点 处足连续的。对于专门诜择的满足线件变化的形状函数,右估计残 差时有一个很明显的问题： 回忆前曲的内容，RV)二器一f,它在一个单冗里等于 什么呢?因为函数是线性的,所以器=0,则有:R(V)=f ,即R(V)与无关。冋时，满足线性变化的形状函数似乎也是一个好的近 似，我们举-个例子来说明。如果我们把-个区域三 角划分为10个相同的小区域，采舟线性插值求苴精确 解，这是一个合理的解。(见附图实际上， 的标灌方法

4、足利用分部积分浓)，将対V求导转化为刈抑求导：Rj=在这种形式下，我们能用线性的形状函数，这就足标 准的 方法。（如杲可能的话，分部积分法对V和具有相同阶数的导数。）注意，*分部积分汉的另一个优点足保讦遵循所观测 到的导怛律（尽骨这个优点不是很容易农现）*在积分和微分时我们嗖格外小心因为在节 点处，分段线性函数的导数不存在，这也足 一个高级的话题。节点基存很多种不冋的方式描述网格；的分段线形凶数，在 有限元法屮，通常使用的是所谓的“节点基”。V（X）的节点基的形式如下所示：V（X）=Wg（X）,这里.是未知常数，（X）娈满足以下条件：尙（卸= j在同一个节血处所以，对线性单元,我们有;由此,我

5、们注意到:V（斗V衙（申_片英中，5（片）除了 i= j时都为所以,片是一个常数,表示节点处的解。绒参考元和内无式|在一个单尤屮，我们需耍为两个节点构适线性内井K +歹而三在单元丁内节点i的节点插值，G+新在甲元壬内节点i+1的节点插隹 尽 维线性元内节点插值式可容易地表为:但対十高阶的（例如二次，三次等）、尤瓦是直绒的单 元,这是非常麻烦的。所以,我们耍做的是把单元映 射为主单元或参考单元。-维参考元将x轴上以X|和甩为节点的单元映射刘轴上节点为 &严+1和=+1的参考单元上。在参考单元里，线性 内插式:为：映射过程保持歹一X,反z亦然。考虑到多纽的 单 元，我们将用等参数映射。特别地，我们

6、设对给定的：位置，x位置可表为：x（5）=粘忆）+妬点）或者刈計=右船） 显然，有；X,）=X-1）=X 因为=0 x（：）=Ki） = X：因为以i, 5（1） = 0在中点，=0我们有：X0）= &（o）十Xc,o） R.4 （0）= ：2（o）= +x（0）=卅乜）为平均值所以,一般函数的内差式（例如函数对应方程的解） 在给定的维线性元内拥冇下血的形风；/需耍求出W帚专砖似X）对于-维线性元,我们能很容易地衍到逆映射;-幣理解得c5( x) = r2 扣：7)注意:容易验证眞片）=-1利（均）=1。所以.为了右三角单元中找到v（x）,我们可以采取以 下步骤：（1） 利用員狗映射找到g的位

7、宣（2） 计算形状苗数在占的值，例如:3）估计va）=隔（$）+2利用参考兀计养梯度为了进行有限尤分析，我们通當需耍在一个单元中仙计v（x）的梯度，利用参島兀的等参数映対冇: 密卜仝V|f| G（切+ %2（乱談）再用他式法则，可展开为：毛煌卷回忆前面的维参考元;d x-d 筑x）二 乂曲扣f 将上面几项带入原等式，有:dV（不兄在边界上）回顾有限元方法的加权残差衷迖式:除了在边界*=0和x=L 1:7只有第二和第三项可能是 非零项。利用伽辽金冇顒兀汕计舁i兽兽企伽辽金加权殁差広即鬥=，所以不为零，其值在 节点j的周帽单元内变化，例如：TH.Tr2 0 0心竺1岂dx I dx dx；d dV

8、 .d dV j珂F詰.*不如 现在.我们可以展开：v（x）龙 a匸讐龙v.警0 I 1 0所以，例如：cbcA i dx dx 台 *但现在在三角单元0内,只有上j-hi= j对应的 岂糾不为零！dx吆岂心训丄吆虹却叭吆业$*| dx dx 1 知 dx dx Fi dx dx 最后，因为&Jj 则有:1吆岂关畛如生1业改n dx ch 1 -m dx dx 1 . dx dx剰余的步骤就是利用我们的丰单元内斧式和映射找岀每一项二瞥2焙訣这时利用链式法则，可得；芝j寸埜岂虫生dxJ* dx dx 丄 l 码 dx 哲 dx J这是把对x的枳分化为对的枳分，则上式变为:!*此、4_制卍；型（丄

9、生血 1盂詁叮苕訓灵亚 这里，我们已经用过d“会改或者曲Tl蛮 和我们前面提到的一样：1$产+1d. I 一 几一 1所以，用类似的方法我们可以得flJK他的非咨项:而口，对丁线性元,我们有:计算禹fdx0丙为fg可能是X的一个普通歯数，我们阳亥用一般的 积分技巧來求bjfdx.至少可以足很好的近似。0和前面一样.除了在单元W 内，叫=0L= （網 fdx =少 fcbc 4 Q fdx我们还像从前一样利用参考兀 将対X的积分转化为对石的积分,仲借）吗无论哪种情况,我们都会碰到一个潜衣的困雄，就是卜面这种形式的一维积分MJ fl（）df 这里的g（即是的普通函数I高斯求柄高斯求积就是把一个积分

10、近似列被积函数曲数值的加 权求和，即；厂I NJ, g如工叩这里的厲.疳是通过对多项式g(0耕确积分来确定的， 看下而这个具体的例子，刈于所有q的值，OQSM首先,我们注意到:1-1 I JN“：_亦斯求积法则我们遇过单个加权点寻找最高阶多项式的积分; f , g&)d“qg(G2 q十*q十* G.十=$十十鸟济十G铲十q昇十现在，逐顼进行比较有：G：2=q n|“ 产 2|q:O=a =2, =(=0|G. :az =0 = 不满足=j g(2g(0)对于线性多项式,能楮确求积!, =g, = l最后，来看对于G的约束:g（f）df = g（- ）4 g（卜书）这个公式对丁-三次多项代也是

11、精确的，例如:的求积过程中，我们发现:其中 g(GW)f)()边界条件的殛方程=f(x)(或Vv= f )的边界条件通常有卜価的 两种；1，狄里希茱条件：V在边界上有确定的值；2,纽曼条件:里在边界上有确定的值dx处理这些边界条件的标准方法如下：狄里希莱条件；要使V在边界上等于一个给定的值,并且令所有的 权甫函数在边界上为零，则加权残差方程幻在H前我们止在研究的问题中，如果令V/|-x=O, x=L 时为零,有：对所有的 j, j(0)=0, (L) = 0R V(0)=0. V(L)=O注盘：V(0) = vq(O)=O 除 了 i=l.RO)均为零IIV(L)=JviL = V,=OI I

12、如果我们比较方程和未知数的个数，会白：未知数：V, i = l-Ne + lR)=0 |=2-* Ne方程：v,=oV.I= 0=N, + I个未知数o=N.4-I个方程纽址条件:假使令款Z时为即孰）小*最后,除了y=i时，叫（o）=i,恒有（0）-0；Wilt, 1对应的加权残苏的形式为；*加权妓丼边界约束具有如卜形式：R U f罢罢dx.V罢罢妇鳥冲和前面一样，一哄anc+i个未知数，而对血的方程:也足叫J个，所以可以求解中dWdx dM2dx%对所冇单元循坏汁畀刚性和妙差%for ii = l:Ne,knl = i i ：kri2 = ii-H;xl = x(knl):x2 = x(kn

13、2);dx - x2 - xl: dxidx = 2/dx; dxdxi = l/dxidx:dMldxi = -1/2:(iM2dxi = 1/2; dNldxi*dxidx;=dM2dxidxidx;%用高撕积分估计力项的积分 tor nn = 1:NGf,、得到高斯点的xixiG = xiGH(nn);%求N1利N2 (即在xiG的权重/插值N1 = 0. 5*l-xiG)：N2 = 0. 5*l+xiC);%对高斯点求ffG = xG*(l - xG)：%在节点处估计权凶数在斋斯点的被积负数 gCl Nl*iG*dxlxi:rC2 = N2*tG*dxixi;%利用上面结果来修正右端项 b (kul) b(knl) + aGf*(nri*gGl; b(kn2) = bkn2) + aGf(nn*gG2;endend%在x = 0设置Dirichlet条件 kn