1、离散数学左孝凌版课后习题答案1-1,1-2(1)解:a)是命题,真值为T。b)不是命题。c)是命题,真值要根据具体情况确定。d)不是命题。e)是命题,真值为T。f)是命题,真值为T。g)是命题,真值为F。h)不是命题。i)不是命题。(2)解:原子命题:我爱北京天安门。复合命题:如果不是练健美操,我就出外旅游拉。(3)解:a)(P R)Qb)QRc)P d)PQ(4)解:a)设Q:我将去参加舞会。R:我有时间。P:天下雨。Q (RP):我将去参加舞会当且仅当我有时间和天不下雨。b)设R:我在看电视。Q:我在吃苹果。RQ:我在看电视边吃苹果。c) 设Q:一个数是奇数。R:一个数不能被2除。(QR)
2、(RQ):一个数是奇数,则它不能被2整除并且一个数不能被2整除,则它是奇数。(5) 解:a)设P:王强身体很好。Q:王强成绩很好。PQ b)设P:小李看书。Q:小李听音乐。PQc)设P:气候很好。Q:气候很热。PQd)设P: a和b是偶数。Q:a+b是偶数。PQe)设P:四边形ABCD是平行四边形。Q :四边形ABCD的对边平行。PQf)设P:语法错误。Q:程序错误。R:停机。(P Q) R(6) 解:a)P:天气炎热。Q:正在下雨。 PQb)P:天气炎热。R:湿度较低。 PRc)R:天正在下雨。S:湿度很高。 RSd)A:刘英上山。B:李进上山。 ABe)M:老王是革新者。N:小李是革新者。
3、 MNf)L:你看电影。M:我看电影。 LMg)P:我不看电视。Q:我不外出。 R:我在睡觉。 PQRh)P:控制台打字机作输入设备。Q:控制台打字机作输出设备。PQ1-3(1)解:a)不是合式公式,没有规定运算符次序(若规定运算符次序后亦可作为合式公式)b)是合式公式c)不是合式公式(括弧不配对)d)不是合式公式(R和S之间缺少联结词)e)是合式公式。 (2)解: a)A是合式公式,(AB)是合式公式,(A(AB) 是合式公式。这个过程可以简记为:A;(AB);(A(AB) 同理可记b)A;A ;(AB) ;(AB)A)c)A;A ;B;(AB) ;(BA) ;(AB)(BA)d)A;B;(
4、AB) ;(BA) ;(AB)(BA)(3)解:a)(AC)(BC)A)(BC)A)(AC)b)(BA)(AB)。(4)解: a) 是由c) 式进行代换得到,在c) 中用Q代换P, (PP)代换Q. d) 是由a) 式进行代换得到,在a) 中用 P(QP)代换Q. e) 是由b) 式进行代换得到,用R代换P, S代换Q, Q代换R, P代换S.(5)解:a) P: 你没有给我写信。 R: 信在途中丢失了。 P Qb) P: 张三不去。Q: 李四不去。R: 他就去。 (PQ)Rc) P: 我们能划船。 Q: 我们能跑步。 (PQ)d) P: 你来了。Q: 他唱歌。R: 你伴奏。 P(QR)(6)
5、解:P:它占据空间。 Q:它有质量。 R:它不断变化。 S:它是物质。这个人起初主张:(PQR) S后来主张:(PQS)(SR)这个人开头主张与后来主张的不同点在于:后来认为有PQ必同时有R,开头时没有这样的主张。(7)解:a) P: 上午下雨。 Q:我去看电影。 R:我在家里读书。 S:我在家里看报。(PQ)(P(RS)b) P: 我今天进城。Q:天下雨。QPc) P: 你走了。 Q:我留下。QP1-4 (4)解:a) P Q RQRP(QR)PQ(PQ)RT T TT T FT F TT F FF T TF T FF F TF F FTFFFTFFFTFFFFFFFTTFFFFFFTFFF
6、FFFF所以,P(QR) (PQ)Rb) P Q R QR P(QR) PQ (PQ)R T T T T T F T F T T F F F T T F T F F F T F F F所以,P(QR) (PQ)R)()()()所以,P(QR) (PQ)(PR))P QPQPQ(PQ)PQ(PQ)T TT FF TF FFFTTFTFTFTTTFTTTFFFTFFFT所以,(PQ) PQ, (PQ) PQ(5)解:如表,对问好所填的地方,可得公式F1F6,可表达为 P Q R F1 F2 F3 F4 F5 F6 T T T T F T T F F T T F F F T F F F T F T
7、T F F T T F T F F F T F T T F F T T T F F T T F F T F T F F F T F F F T T F T T T F F F F F T F T T TF1:(QP)RF2:(PQR)(PQR)F3:(PQ)(QR)F4:(PQR)(PQR)F5:(PQR)(PQR)F6:(PQR)(6)PQ1 234 5678910111213141516FF FTF TFTFTFTFTFTFTFTFFTTFFTTFFTT FFTTTFFFFFTTTTFFFFTTTTTTFFFFFFFFTTTTTTTT解:由上表可得有关公式为1.F 2.(PQ) 3.(QP
8、) 4.P 5.(PQ) 6.Q 7.(PQ) 8.(PQ) 9.PQ 10.PQ 11.Q 12.PQ 13.P 14.QP 15.PQ 16.T(7) 证明:a)A(BA) A(BA) A(AB) A(AB) A(AB)b)(AB) (AB)(AB) (AB)(AB)(AB)(AB) 或 (AB) (AB)(BA)(AB)(BA)(AB)(AA)(BB)(BA)(AB)(BA)(AB)(AB) (AB)(AB)c)(AB) (AB) ABd)(AB)(AB)(BA)(AB)(BA)(AB)(AB)e)(ABC)D)(C(ABD) (ABC)D)(C(ABD) (ABC)D)(ABC)D)
9、(ABC)(ABC)D (ABC)(ABC)D (AB)(AB)C)D (C(AB)D)f)A(BC) A(BC) (AB)C(AB)C (AB)Cg)(AD)(BD)(AD)(BD) (AB)D (AB)D (AB)Dh)(AB)C)(B(DC) (AB)C)(B(DC) (AB)(BD)C(AB) (DB)C(AB)(DB)C (AD)B)C (B(DA)C(8)解:a)(AB) (BA)C (AB) (BA)C (AB) (AB)CTCCb)A(A(BB) (AA)(BB) TF Tc)(ABC)(ABC) (AA) (BC)T(BC)BC(9)解:1)设C为T,A为T,B为F,则满足A
10、CBC,但AB不成立。 2)设C为F,A为T,B为F,则满足ACBC,但AB不成立。 3)由题意知A和B的真值相同,所以A和B的真值也相同。习题 1-5(1)证明:a)(P(PQ)Q(P(PQ)Q(PP)(PQ)Q(PQ)Q(PQ)QPQQPTTb)P(PQ)P(PQ) (PP)QTQTc)(PQ)(QR)(PR)因为(PQ)(QR)(PR)所以(PQ)(QR)为重言式。d)(ab)(bc) (ca)(ab)(bc)(ca)因为(ab)(bc)(ca)(ac)b)(ca)(ac)(ca)(b(ca)(ac)(bc)(ba)所以(ab)(bc) (ca)(ab)(bc)(ca) 为重言式。(2)
11、证明:a)(PQ)P(PQ)解法1:设PQ为T(1)若P为T,则Q为T,所以PQ为T,故P(PQ)为T(2)若P为F,则Q为F,所以PQ为F,P(PQ)为T命题得证解法2:设P(PQ)为F,则P为T,(PQ)为F,故必有P为T,Q为F,所以PQ为F。解法3:(PQ) (P(PQ)(PQ)(P(PQ)(PQ)(PP)(PQ)T所以(PQ)P(PQ)b)(PQ)QPQ设PQ为F,则P为F,且Q为F,故PQ为T,(PQ)Q为F,所以(PQ)QPQ。c)(Q(PP)(R(R(PP)RQ设RQ为F,则R为T,且Q为F,又PP为F所以Q(PP)为T,R(PP)为F所以R(R(PP)为F,所以(Q(PP)(
12、R(R(PP)为F即(Q(PP)(R(R(PP)RQ成立。(3)解:a) PQ表示命题“如果8是偶数,那么糖果是甜的”。b)a)的逆换式QP表示命题“如果糖果是甜的,那么8是偶数”。c)a)的反换式PQ表示命题“如果8不是偶数,那么糖果不是甜的”。d)a)的逆反式QP表示命题“如果糖果不是甜的,那么8不是偶数”。(4)解:a)如果天下雨,我不去。设P:天下雨。Q:我不去。PQ 逆换式QP表示命题:如果我不去,则天下雨。逆反式QP表示命题:如果我去,则天不下雨b)仅当你走我将留下。设S:你走了。R:我将留下。RS逆换式SR表示命题:如果你走了则我将留下。逆反式SR表示命题:如果你不走,则我不留下
13、。c)如果我不能获得更多帮助,我不能完成个任务。设E:我不能获得更多帮助。H:我不能完成这个任务。EH逆换式HE表示命题:我不能完成这个任务,则我不能获得更多帮助。逆反式HE表示命题:我完成这个任务,则我能获得更多帮助(5)试证明PQ,Q逻辑蕴含P。证明:解法1:本题要求证明(PQ) QP, 设(PQ) Q为T,则(PQ)为T,Q为T,故由的定义,必有P为T。所以(PQ) QP解法2:由体题可知,即证(PQ)Q)P是永真式。 (PQ)Q)P (PQ) (PQ) Q)P (PQ) (PQ) Q) P (PQ) (PQ) Q) P (QPQ) (QPQ) P (QP) T) PQPPQT T(6)
14、解:P:我学习 Q:我数学不及格 R:我热衷于玩扑克。如果我学习,那么我数学不会不及格: PQ如果我不热衷于玩扑克,那么我将学习: RP 但我数学不及格: Q因此我热衷于玩扑克。 R即本题符号化为:(PQ)(RP)QR证:证法1:(PQ)(RP)Q)R (PQ)(RP)Q) R (PQ)(RP)QR (QP)(QQ)(RR)(RP) QPRP T所以,论证有效。证法2:设(PQ)(RP)Q为T,则因Q为T,(PQ) 为T,可得P为F,由(RP)为T,得到R为T。故本题论证有效。(7)解:P:6是偶数 Q:7被2除尽 R:5是素数如果6是偶数,则7被2除不尽 PQ或5不是素数,或7被2除尽 RQ
15、5是素数 R所以6是奇数 P即本题符号化为:(PQ)(RQ)R P证:证法1:(PQ)(RQ)R)P (PQ) (RQ) R) P (PQ) (RQ) R) P (PP) (PQ) (RR) (RQ) (PQ) (RQ)T所以,论证有效,但实际上他不符合实际意义。证法2:(PQ)(RQ)R为T,则有R为T,且RQ 为T,故Q为T,再由PQ为T,得到P为T。(8)证明:a)P(PQ)设P为T,则P为F,故PQ为Tb)ABCC假定ABC为T,则C为T。c)CABB因为ABB为永真,所以CABB成立。d)(AB) AB 设(AB)为T,则AB为F。若A为T,B为F,则A为F,B为T,故AB为T。若A
16、为F,B为T,则A为T,B为F,故AB为T。若A为F,B为F,则A为T,B为T,故AB为T。命题得证。e)A(BC),DE,(DE)ABC设A(BC),DE,(DE)A为T,则DE为T,(DE)A为T,所以A为T又A(BC)为T,所以BC为T。命题得证。f)(AB)C,D,CDAB设(AB)C,D,CD为T,则D为T,CD为T,所以C为F又(AB)C为T,所以AB为F,所以AB为T。命题得证。(9)解:a)如果他有勇气,他将得胜。P:他有勇气 Q:他将得胜 原命题:PQ 逆反式:QP 表示:如果他失败了,说明他没勇气。b)仅当他不累他将得胜。P:他不累 Q:他得胜 原命题:QP 逆反式:PQ
17、表示:如果他累,他将失败。习题 1-6(1)解:a)(PQ)P(PP)Q(TQ)b)(P(QR) PQ (P(QR)PQ(PPQ)(QPQ)(RPQ)(PQ)(PQ)(PRQ)PQ(PQ)c)PQ(RP)PQ(RP) (PQR)(PQP)(PQR)FPQR(PQR)(2) 解:a)P PPb)PQ(PQ) (PQ)(PQ)c)PQPQ (PP)(QQ)(3)解:P(PQ)P(PQ)TPP (PP)(PP)P(PP) P(PQ)P(PQ)TPP(PP)(PP)P)(PP)P)(PP)P)(4)解:PQ(PQ)(PP)(QQ) (PP)(QQ)(PP)(QQ)(5)证明:(BC)(BC) BC(B
18、C)(BC)BC(6)解:联结词“”和“”不满足结合律。举例如下:a)给出一组指派:P为T,Q为F,R为F,则(PQ)R为T,P(QR)为F故 (PQ)R P(QR).b)给出一组指派:P为T,Q为F,R为F,则(PQ) R为T,P(QR)为F故(PQ)R P(QR).(7)证明:设变元P,Q,用连结词,作用于P,Q得到:P,Q,P,Q,PQ,PP,QQ,QP。但PQQP,PPQQ,故实际有:P,Q,P,Q,PQ,PP(T) (A)用作用于(A)类,得到扩大的公式类(包括原公式类):P,Q,P,Q,(PQ), T,F, PQ (B)用作用于(A)类,得到:PQ,PPF,PQ(PQ),P(PQ)
19、Q,P(PP)P,QP(PQ),QQF,Q(PQ)P,QTQ, PQPQ,P(PQ)Q,PTP, Q(PQ)P,QTQ,(PQ)(PQ)PQ.因此,(A)类使用运算后,仍在(B)类中。对(B)类使用运算得:P,Q,P,Q, PQ, F,T,(PQ), 仍在(B)类中。对(B)类使用运算得:PQ,PPF,PQ(PQ),P(PQ)Q,PTP,PFP,P(PQ)Q, QP(PQ),QQF,Q(PQ)P,QTQ, QFQ, Q(PQ)P, PQPQ,P(PQ)Q,PTP, PFP,P(PQ)Q, Q(PQ)P,QTQ, QTQ,Q(PQ)P,(PQ)T(PQ),(PQ)FPQ,(PQ)(PQ)FTFF,T(PQ) PQF(PQ) (PQ)(PQ)(PQ)PQ.故由(B)类使用运算后,结果仍在(B)中。由上证明:用,两个连结词,反复作用在两个变元的公式中,结果只能产生(B)类中的公式,总共仅八个不同的公式,故,不是功能完备的,更不能是最小联结词组。已证,不是最小联结词组,又因为P Q (PQ),故任何命题公式中的联结词,如仅用 , 表达,则必可用,表达,其逆亦真。故 , 也必不是最小联结词组。(8)证明,和
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