2均匀电场中球形介质的电场分布的Mathematica仿真课程设计说明书.docx

1、2均匀电场中球形介质的电场分布的Mathematica仿真课程设计说明书淮南师范学院课程设计说明书课程设计说明书设计题目：半导体激光器可饱和吸收晶体被动调 Q实现学生学号： 1106020103学生姓名： 陈丽指导教师： 张科起止日期： 2014. 2014.物理与电子信息系光电信息科学与工程专业- I -均匀电场中球形介质的电场分布的 Mathematica 仿真摘 要本文首先利用分离变量法求解均匀电场中球形介质静电场的拉普拉斯方程， 根据边界条件得出具体的分析解。然后，利用 Mathematica 程序求解均匀电场中球形介质的电场分布，并绘制电场的空间分布的矢量图。本文的特点是：数学上的分

2、析解不能直观地给出静电场的矢量图；利用 Mathematica 程序绘制的电场空间分布的矢量图具有直观性。关键词：静电场的拉普拉斯方程；球形介质； Mathematica 仿真-II-淮南师范学院课程设计说明书第 1 章 Mathematica 软件 . 11.1 Mathematica 简介 11.2 Mathematica 运算 2第 2 章 分离变量法求解静电场 . 42.1 拉普拉斯方程的分析解 42.2 均匀电场中球形介质的电场分布 5第 3 章 Mathematica 仿真 . 7程序 12参考文献 14致谢 15-III-淮南师范学院课程设计说明书第 1 章 Mathematic

3、a 软件第 1 章 Mathematica 软件1. 1Mathematica 简介Mathematica 是美国 Wolfram Research 公司开发的数学软件。它的主要使用者是从事理论研究的数学工作者和其它科学工作者、以及从事实际工作的工程技术人员。 Mathematica 可以用于解决各种领域的涉及复杂的符号计算和数值计算的问题。对以前必须借助于手工推导才能解决的问题， 现在可以很方便地用计算机来完成。Mathematica 是一款科学计算软件，很好地结合了数值和符号计算引擎、图形系统、编程语言、文本系统、和与其他应用程序的高级连接。很多功能在相应领域内处于世界领先地位，截至 20

4、09年，它也是为止使用最广泛的数学软件之一。 Mathematica 的发布标志着现代科技计算的开始。Mathematica 是世界上通用计算系统中最强大的系统。自从 1988 发布以来，它已经对如何在科技和其它领域运用计算机产生了深刻的影响。Mathematica 主要可以做数值运算、符号运算和图像处理三项工作。尤其在符号演算工作中，显示了它的强大功能。它能对符号进行多项式的计算、因式分解、展开，以及求解方程、极限、导数、积分等。它也能进行数值的或一般代数式的向量、矩阵的各种计算。用 Mathematica 可以很方便地画出用各种方式表示的一元和二元函数的图形。 通过这样的图形，我们可以立即

5、形象地把握住函数的某些特性，而这些特征一般很难从函数的符号表达式中看清楚。 Mathematica 还是一个很容易扩充和修改的系统，它提供了一套描述方法，相当于一个编程语言，用这个语言可以写程序，解决各种特殊问题。Mathematica 和 MATLAB、Maple 并称为三大数学软件。1. 2 Mathematica 运算如果在 Windows 环境下已安装好 Mathematica 5.0，启动 Windows 后，在“开始”菜单的“程序”中单击 Mathematica 5.，0在屏幕上显示如图的 Notebook窗口，系统暂时取名 Untitled-1，直到用户保存时重新命名为止。Mat

6、hematica 的基本语法特点：(1) Mathematica 中大写小写是有区别的，如 plot 、Plot 是不同的变量名或函数名。自定义的变量可以取几乎任意的名称，长度不限，但不可以数字开头。 Mathematica 中的函数分为两类，- 1 -均匀电场中球形介质的电场分布的 Mathematica 仿真一类是常用的数学函数，如：绝对值函数 Absx ，正弦函数 Sinx ，余弦函数 Cosx ，以 e为底的对数函数 Logx ，以 a 为底的对数函数 Loga，x 等；第二类是命令意义上的函数，如作函数图形的函数 Plotfx ，x ，xmin，xmax，解方程函数 Solveeqn

7、 ，x ，求导函数 Dfx ，x 等。(2) 在 Mathematica 中，我们应注意四种括号的用法： ( ) 圆括号表示项的结合顺序 方括号表示函数，如 Logx ，BesselJx ，1 ； 大括号表示一个“表” ( 一组数字、任意表达式、函数等的；集合 ) ，如 2x ，Sin12 Pi ，1+A，y*x ； 双方括号表示“表”或“表达式”的下标，如 a2 ，3 、a ，b，c1=a 。(3) Mathematica 还定义了一些系统常数，如 Pi 表示圆周率的精确值，还有 E 表示自然对数的底数、 I 表示复数单位， Degree 表示角度一度， Pi/180 ，Infinity 表

8、示无穷大等，这些常数在运算中发挥了重要的作用。(4) 乘法即可以用 * ，又可以用空格表示，如 2 3 2*36 ，x y ，2 Sinx 等；乘幂可以用“ ”表示，如 x4，Tanxy 。(5) 在输入语句时， 以分号结束的语句行或表达式， Mathematica 默认不显示计算结果，否则将输出计算的结果。(6) 要想查询某一函数的具体用法可在 Notebook 界面下，用 ？或 ? 可向系统查询运算符、函数和命令的定义和用法，获取简单而直接的帮助信息。 也可用 Options 函数名 查询。 当然，要想主动地去了解更多的函数，可在 Mathematica 界面上单击帮助菜单项的 Help

9、Browser，可了解有关函数的更多信息。代数运算：（1）数的表示及计算在 Notebook 界面上，可以对大量数值进行计算， Mathematica 总会以非常精确的形式输出结果。例如12+ 57 33431231如果要想得到近似值可用求值函数 Nexpr ，n ，expr 是数值表达式， n 是有效数值的位数。125N, 307331.86580086580086580086580086580- 2 -淮南师范学院课程设计说明书Mathematica 许多函数直接可以用来做数值计算， 例如求方程数值解函数 NSolve、数值积分函数 NIntegrate 、数值求和函数 NSum等等。（2

10、）变量与变量赋值在 Mathematica 中，给变量赋值常用“ =”表示，我们既可以给变量赋数字值，也可以给变量赋符号值。例如让 x 赋值 5，而 y 赋值 a。x = 5; y = a;则在以后的运算中，当需调用 x 或 y 的表达式时， Mathematica 将用所赋的值替代它们， 例如x2 + y 225 + a 2如果你需要用到上一步的运算结果， 可以用%代替整个上一步的运算结果，事实上， 你也可以用以前运算的第 n 次结果如%表示倒数第二次的运算结果。%+ b25 + a 2 + b另一种变量赋值类似于变量的替换，用 (/. )表示，例如在代数式 4x2+2 中进行 x2 的替换

11、4x2+2/.x218表达式 x27 x 3 由 xa b 代替x2-7x+3/.xa+b3 7a ba b 2在同一行中可以输入多个语句， 语句之间用 ( ；) 分开。当你需要 Mathematica 进行运算而不需要对结果输出时，可以在表达式后面放一个分号 ( ；)（3）函数的定义在 Mathematica中，函数的定义是用“ :=” 表示。例如fx_:=x2+6定义以后， Mathematica会自动使用己定义的规则， 例如求 x=a+b 时的 fx 值fa+b6 a b2- 3 -均匀电场中球形介质的电场分布的 Mathematica 仿真第 2 章 分离变量法求解静电场应用分离变量法

12、求解拉普拉斯方程，具体的步骤是：首先在选定的坐标系下，将电位函数表示为三个未知函数的乘积，其中每个函数只含一个坐标变量。将三个未知函数般乘积代入拉普拉斯方程，从而分离出三个常微分方程，由它们的解的乘积可构成电位函数的级数形式通解。然后再根据绐定的边界条件来确定通解中的待定系数。2.1 拉普拉斯方程的分析解直角坐标系中拉普拉斯方程为2V 2V 2Vx2 y2 z2 0(2-1)设位函数 V(x ，y，z)为三个函数的乘积，即V (x, y, z) X ( x)Y( y)Z ( z)(2-2)则可求得拉普拉斯方程的解为V ( x, y, z) ( a1 a2 x)(a3 a4 y)( a5 a6

13、z) X ( x)Y( y)Z ( z)(2-3)X ( x ) A s i nk (x )B ckoxs ( kx 2 0x x(2-4)Y( y) C sin( ky y) D cos(ky y) ky 2 0(2-5)Z ( z) F s h( kz z) G c h( kz z) kz2 0(2-6)式中 kx , k y, kz 为分离常数，且满足kx2 k y2 kz2 0(2-7)需要指出的是，式中 k 可以是实数，也可以为虚数。应当指出中任何两个如为实数，其余一个必为虚数。即 X（x），Y(y)和 Z(z)中必有两个为三角函数而其余一个为双曲函数。有时将双曲函数解- 4 -淮南

14、师范学院课程设计说明书写成指数形式解是方便的。为满足边界条件，分离常数常常需取一系列值，形成级数解。若电位与某个量（如 z）无关，则解的形式可简化成二维。在球坐标系中，标量电位 V 的拉普拉斯方程为1R(R2 V)1(sinV )12V0R2RR2 sinR2 sin 22(2-8)当电位 与方位角 无关时，拉普拉斯方程的通解为V(An Rn Bn) Pn (cos )n 0Rn1(2-9)Pn (cos ) 为勒让德多项式， An 和 Bn 是待定常数由具体问题的边界条件给出。2.2 均匀电场中球形介质的电场分布一半径为 a 介电常数为 的介质球放置在均匀电场 E0 中。求介质球内、外的电位

15、及电场。解：介质球外电位 V1 和球内电位 V2 满足拉普拉斯方程，它们都具有轴对称性，其通解分别为1anRnbnPn cosRn 1n（2-10）2cn RndnPn cosnRn1（2-11）其中 an ,bn , cn , dn 是待定系数。电位的边界条件是（1） R,V1E0R cos（2） R0,V2 为有限值（3） R a : V1 V20 (V 1 )(V 2 )RR由边界条件（ 1）可得a1 E0 , an 0; n 1（2-12）- 5 -均匀电场中球形介质的电场分布的 Mathematica 仿真由边界条件（ 2）可得dn 0（2-13）由边界条件（ 3）可得b10 E0

16、R03 , c13 0E02020bn cn 0; n1（2-14）所有常数已经确定，解为1 E0 Rcos0E0 R03 cos， 23 0E0 R cos 。2 0R22 0（2-15）- 6 -淮南师范学院课程设计说明书第 3 章 Mathematica 仿真Mathematica 仿真程序如下。程序顶格，输出结果居中并标有公式数码。解：介质球外电位 V1 和球内电位 V2 满足拉普拉斯方程，它们都具有轴对称性，其通解分别为ClearGlobal*V1SumA nR nBnR n1pn ,n,0,mV2SumCnR nDnR n1p n ,n,0,mmAn RnBnpnRn 1n 0mC

17、n RnDnpnn 0Rn 1（2-16）电位的边界条件是（1） R,V1E0R cos（2） R0,V2 为有限值（3） R a : V1 V20 (V 1 )(V 2 )RR由边界条件可知，求和只需取至 n=1 的项。勒让德函数前两顶是 P01 和 P0 cos( ) 。电位的通解可以简化为V1SumA nR nBnR n1pn ,n,0,1.p 01,p1CosV2SumCnR nDnR n1p n ,n,0,1.p 01,p1CosB0CosB1A0R A1RR2D0CosD1C0R C1RR2（2-17）把电位代入边界条件（ 1）V1. B0 0,B1 0E0 RCosA0R Cos

18、A1E0 R Cos（2-18）比较系数知A0=0; A1 =- E0;- 7 -均匀电场中球形介质的电场分布的 Mathematica 仿真由边界条件（ 2）显然可知D0 =0; D1 = 0;由边界条件（ 3）的第一条件(V1/.R a) (V2/.R a)B0a E0B1C0 a CosC1Cosa 2a（2-19）用 Coefficient函数比较上方程 cos( ) 的系数得方程 eq1，比较上方程 P0 的系数得方程 eq2eq1 CoefficientB0a E0B1CosCos,aa2CoefficientC0 a CosC1, Cosa E0B1a C1a 2（2-20）B0

19、eq2 C0aB0C0a（2-21）由边界条件（ 3）的第二条件得0 D V1, R. R aDV2,R. R aB0E02 B10CosC1Cosa3a2（2-22）比较上方程 cos( ) 的系数得方程 eq3eq3E02 B10C1a3显然有B0 =0;结合方程 eq3有C0=0;联立求解 eq1和 eq3可求出 B1和 C1solSolveeq1, eq3 , B1, C1a 3 E0a3 E0 03 E0B1, C120200- 8 -淮南师范学院课程设计说明书（2-23）把上面的解代入 V1 和 V2 就可求出球外电位 V11 和球内电位 V22V11=V1/.sol/FirstC

20、osa3 E0a 3 E0 0E0 R2 0R2（2-24）V22=V2/.sol/First3 E0 R Cos020（2-25）为求出电场强度需调用矢量分析软件包CalculusVectorAnalysis球外电场强度E1=Grad-V11,SphericalR, /SimplifyE0 Cos12 a 30R32,0E0 Sina 3R3a 32 R30R320, 0（2-26）球内电场强度E2=Grad-V22,SphericalR, /Simplify3 E0 Cos03 E0 Sin02,2, 000（2-27）球内电位也可写为直角坐标形式3 E0 * z * e0V22=-;e

21、+ 2e0在直角坐标形式下，球内电场强度E2=Grad-V22,Cartesianx,y,z0,3 E00,200（2-28）所以介质球内的电场强度是均匀场。- 9 -均匀电场中球形介质的电场分布的 Mathematica 仿真把电场强度的球坐标形式转换为直角坐标形式， 再利用 Mathematica图形函数可作出介质球附近电场线分布平面图如下。CalculusVectorAnalysisGraphicsPlotFieldr2xRule=r, , CoordinatesFromCartesianx,y,z,Spherical/Thread;k=10v12z_,x_k1Cos. r2xRule.

22、 y0rk r 22v11z_,x_3 r Cos. r2xRule. y02 kz3x 2z 2x 2z24x 2z2（2-29）z-4（2-30）由上面结果可定义球外电位和球内电位分别为z3x2z 2x 2 z 2v34; 1x 2 z2z_, x_ :x 2z 2v3z; 0x 2 z 21z_, x_ :4根据公式 EV ，并用函数 PlotGradientField和 Plot3D 分别绘制出介质球附近的电场线和介质球附近的等位面。PlotGradientField-v3z,x,z,-2.0,2.0,x,-2.0,2.0, ScaleFunction (3&),PlotPoints

23、20图 3-1 介质球附近的电场线-10-淮南师范学院课程设计说明书Plot3Dv3z,x,z,-2,2,x,-2,2,PlotPoints 30,BoxRatios 1,1,1210-1-2210-1-2-2-1012图 3-2 介质球附近的等位面由图 3-2 可以看出，图中有一圆型区域内的电位是相同的，这反映了介质球内的电场是匀强电场。-11-均匀电场中球形介质的电场分布的 Mathematica 仿真程序Mathematica 程序如下：ClearGlobal*V1SumAnR nB nR n1p n ,V2SumCnR nDnR n1p n ,V1SumAnR nB nR n1p n ,p0 1,p1Cosn,0,mn,0,mn,0,1.V2SumCnR nDnR n1p n , n,0, 1.p01,p1CosV1.B00,B10E0RCosA00;A1E0;D00;D10;(V1/.Ra )(V