概率论与数理统计学习总结.docx

1、概率论与数理统计学习总结概率论与数理统计学习报告学院学号：姓名：概率论与数理统计学习报告通过短短一学期的学习，虽然学习、研究地并不深入，但该课程 的每一处内容都有不同的奇妙吸引着我，让我对它在生活中饰演的角 色充满遐想；它将我带入了一个由随机变量为桥梁， 通过表面偶然性 找出其内在规律性，从而与其它的数学分支建立联系的世界， 让我对 这种进行大量的随机重复实验，通过分析研究得出统计规律性的过程 产生了极大地兴趣。我很喜欢这门课程，但也不得不说课后在它上面 花的时间并不多，因此学得还不深入，但它真的深深地吸引了我，我 一定会找时间进一步深入地学习它。先简单地介绍一下概率论与数理统计这门学科。概率

2、论是基于给出随机现象的数学模型， 并用数学语言来描述它 们，然后研究其基本规律，透过表面的偶然性，找出其内在的规律性， 建立随机现象与数学其他分支的桥梁，使得人们可以利用已成熟的数 学工具和方法来研究随机现象，进而也为其他数学分支和其他新兴学 科提供了解决问题的新思路和新方法。数理统计是以概率论为基础， 基于有效的观测、收集、整理、分析带有随机性的数据来研究随机现 象，进而对所观察的问题作出推断和预测， 直至为采取一定的决策和 行动提供依据和建议。概率论与数理统计是研究随机现象及其规律性的一门数学学科。 研究随机现象的规律性有其独特的思想方法， 它不是寻求出现每一现 象的一切物理因素，不能用研

3、究确定性现象的方法研究随机现象， 而 是承认在所研究的问题中存在一些人们不能认识或者根本不知道的 随机因素作用下，发生随机现象。这样，人们既可以通过试验来观察 随机现象，揭示其规律性，作出决策，也可根据实际问题的具体情况 找出随机现象的规律，作出决策。至今，概率论与数理统计的理论与方法已经广泛应用于自然科 学、社会科学以及人文科学等各个领域中，并随着计算机的普及，概 率论与数理统计已成为处理信息、 制定决策的重要理论和方法。它们 不仅是许多新兴学科，如信息论、控制论、排队论、可靠性论以及人 工智能的数学理论基础，而且与其他领域的新兴学科的相互交叉而产 生了许多新的分支和边缘学科，如生物统计、统

4、计物理、数理金融、 神经网络统计分析、统计计算等。概率论应用随机变量与随机变量的概率分布、数字特征及特征函 数为数学工具对随机现象进行描述、分析与研究，其前提条件是假设 随机变量的概率分布是已知的；而数理统计中作为研究对象的随机变 量的概率分布是完全未知的，或者分布类型已知，但其中的某些参数 或某些数字特征是未知的。概率论研究问题的方法是从假设、命题、 已知的随机现象的事实出发，按一定的逻辑推理得到结论，在方法上 是演绎式的。而统计学的方法是归纳式的，从所研究地对象的全体中 随机抽取一部分进行试验或观测，以获得试验数据，依据试验数据所 获取的信息，对整体进行推断，是归纳而得到结论的。因此掌握它

5、特 有的学习方法是很重要的。在学习的过程中，不论是老师提出的一些希望我们课后讨论的问 题还是自己在做作业看书过程中遇到的一些问题都引发了我的一些 思考，或许解答得并不全面甚至还可能是不正确的， 但确实是自己的一点思考，提出来以后逐步地去解决完善吧。随机事件及其概率问题：(1)事件 A二 P(A) =0,那么 P(A) = 0=A： 对吗？解析：此种说法不对。概率论里说了不可能事件的发生概率是 0,但0概率事件可能发生比如在宇宙中抽一个人，抽到你的概率。 这就是一个0概率事件可能发生的例子！随机变量分连续和离散两种，它们各自的分布描述是不同的。对 于离散随机变量，如果它的事件域是有限个事件，则可

6、以认为概率为 0的事件一定不会发生，概率为1的事件必然发生。但若事件是无限 的，则还要具体分析。既然0概率事件都是有可能发生的，那么概率 趋近于零的事件果然有可能发生，只不过我们平时在处理问题的时 候，把概率趋近于零的事件算作0概率事件，只是算作，不是绝对的 是。对于连续性随机变量，单个具体点的概率密度值为一有界常数， 这个值可以是任意的(包括0和1)，但因为点是没有长度的，所以 该点的概率密度积分为0 (因为该点概率密度值有界)，即该点所对 应的事件发生的概率为0，但这个事件仍然是可能发生的，因为这个 事件在事件域内。也就是说，概率为0的事件并不一定不会发生。同 理，某个点的概率密度值为1,

7、但该点的概率密度积分仍为 0,所以 概率为1的事件也不一定必然发生。总之，对于连续性随机变量，讨 论单个点的概率是没有意义的(都为 0)，我们讨论的是，这个随机 变量落在一个区间内的概率。(2) 事件A、B、C，它们两两独立，是否 A、B、C 一定是相互独 立？解析：不一定。举一个反例：某一个袋中有 4个球，一个白色， 一个黑色，一个红色，一个为这三色，现任取一个球观察颜色。可知： 设事件A,B,C,A=(有红色)，B=(有白色)，C=(有黑色)。1P(A) =P(B) =P(C) J，1 1 1P(AB)二 P(AC)二 P(BC) P(A)P(B)二 P(A)P(C)二 P(B)P(C)二

8、 A、1111B、C 两两独立，又 P(ABC) P(A)P(B)P(C)二 A、B、C 不是相互独立。所以几个事件两两独立不一定它们就是相互独立。(对于此反例，有一个问题就是1 1 1P(AB) = P(AC)二 P(BC) ，P(A)P(B)二 P(A)P(C)二 P(B)P(C) ,虽然在数值上相等，但会是一个数值上的巧合吗？ P(AB)二 P(A)P(B)一定成立吗？)(3) 独立与互不相容的关系：(独立条件： P(AB) = P(A)P(B),互不相 容条件：P(AB) = 0)P(AB)二 P(A)P(B) . 0= A、B 相容。 b: A、B 不独立，P(AB) =0= A、B

9、 互不相容；P(AB) = P(A)P(B) . 0= A、B 相容(4) A与B互相独立，C B, A、C是否一定互相独立?解析：A、C不一定独立。举一反例：如图:P(AB)二 P(A) P(B) =0, C BA、C不独立。 随机变量及其分布问题：概率论中引入随机变量，从而使研究对象由随机事件扩大为随机 变量，对于随机变量的分布函数，我们能够用微积分为工具进行研究, 强有力的数学分析工具大大地增强了我们研究随机现象的手段一一 研究随机现象手段 一一般性随机变量 分布函数 随机变量数字特征与极限定理：我们都知道随机变量的概率分布能够完整地描述随机变量的统计 规律，但在许多的实际问题中，求概率

10、分布并不容易，另一方面，有 时不需要知道随机变量的概率分布，而只需要知道他的某些数字特征 就够了。数字特征虽然不像概率分布那样完整地描述了随机变量的统 计规律，但它能集中地反映随机变量的某些统计特性， 而且许多重要 分布中的参数都与数字特征有关，因而数字特征在概率论与数理统计中占有重要地位。我们也学习了几种常见的分布的数字特征， 包括期望、方差、协方差、相关系数以及矩等。(1)不相关与独立之间的关系：解析：不相关的等价命题： 1。0 2。cov(x,y)=0 3。E(XY)二E(X)E(Y) 4。D(X+Y)二D(X)+D(Y)独立=E(XY)二E(X)E(Y)(有数字特征)=不相关结论：(1

11、)X与丫独立，则X与丫一定不相关(2)X与丫不相关，则X与丫不一定独立证明：(1)由于X与Y独立，所以f(xy)=f(x)f(y), (f为概率密度函数)于是:E(XY)二 / f(xy)dxdy= / f(x)*f(y)dxdy二 / f(x)dx* / f(y)dy=E(X)E(所以：E(XY)=E(X)E(Y),即 X, 丫不相关。(2)反例：X=cost,Y=sint，其中t是(0,2 n上的均匀分布随机变量。易得X和丫不相关，因为：E(XY)=E(cost sint)= (1/2 n) * / sint cost dt = 0E(X)= (1/2 n) * / cost dt =,0

12、E(Y)二(1/2 n) * / sint dt = 0所以E(XY)=E(X)E(Y)。但是他们是不独立的。因为：X和丫各自的概率密度函数在(-1,1 )上有值，但是XY的联合概率密度只在单位圆内有值，所以 f(XY)不等于f(x)*f(y),两者不独立。(2 )切比雪夫不等式：PX - E(X)|启Z切比雪夫不等式给出了在随机变量 X的分布未知的情况下，利用E(X)和D(X )对X的概率分布进行估计的方法，有很广泛的应用 注意一些应用中的独立条件：1。概率密度f(x,y)= fx(x)fY (y)；2。卷积公式 .fZ(z)二fX(x)fY(z-x)dx ； 3。N个独立正态分布之和n n

13、 n仍然是正态分布 V XiN(W G2) ； 4。E(XY) =E(X)E(Y)，i 4 i 4 i4D(X Y)二 D(X) D(Y) 数理统计与参数估计：数理统计以概率论为理论基础，根据试验或观测到的数据，研究 如何利用有效的方法对这些已知的数据进行整理、分析和推断，从而 对研究对象的性质和统计规律作出合理科学的估计和判断。 然而在实际问题中，所研究的总体分布类型往往是已知的， 但依赖于一个或几 个的未知参数，如何从样本估计总体的未知参数就成为数理统计的基 本问题之一。通过学习，简单地了解了一些关于点估计和区间估计的 问题，能够解决一些简单的实际问题。(1)如何推导出的样本方差：S2二1

14、、n(xi-X)2二1Xi2-nX2)n 1 7 n 12推导过程：XN (仁2)，X N (J )。(注意独立条件 )nZ xjXi j i,j -i n Txi - X = xi = xin n T nn n7 Xj 3 29 N (丄J _4n 3n 1 匚 2)由 S2 n -1 n n (n -1)ij是D(X)的无偏估计从，中随机抽取n个样本， 是样本均值，S士立工一对1 ; = ! 是样本方差。那么为什么样本方差是除以而不是n呢？对于一个随机变量， 分别表示其数学期望和方差，从中随机抽取匸1是样本均值,n个样本； ,记 ： 1为】的方差和期望。=古 DW)=担匸二仪兀)2IIE(

15、X2)D(X) + E2(X) - 1+ /?Eg)n 广E需工二(许古E(=；m 2兀疋+巧)號屮)=诃疋)=琳 (&) + 矽(疋)= n(7 + /i2)E(E=1 兀寿-E(无；=1兀)=nE(X2)=nD(X) + E2(X)E(S2)概率论与数理统计与生活实际问题有着很密切的联系。 它能将生 活中的一些问题建立成一种数学模型，并且教给我们一些收集、分析、 处理试验数据能力，使我们能够利用学过的成熟的数学工具和方法来 研究随机现象解决生活实际问题。以下就是几类我认为比较经典的模 型和处理方法：（1） “抓阄”是否是真正的公平？解析：建立一个概率论模型：袋中有 a个黑球，b个白球。随

16、机地（不放回）把球一个个地摸出来。求 A= “第k次摸出的是黑球” 的概率（a b）.解题：把a个黑球与b个白球看作是不同的，且把a b个球的 每一种排列看作是基本事件。于是基本事件总数 （a b）!。由于第k 次摸得黑球有a种可能，而另外a - b-1次摸得球的排列有（a b1） ! 种可能。所以 A中包含的基本事件数为 a （ab 1） ！。因此有： P（A） = =一。由结果得出它与k值无关，无论哪一次取（a b） . a b得黑球的概率都是一样的，或者说是取得黑球概率与先后次序无关。 这就从理论上说明了平常人们采取的“抓阄”的办法是公平合理的。（2） 把一个比较复杂的随机变量X拆成n个

17、比较简单的随机变量Xi的和，然后通过这些比较简单的随机变量的数学期望， 根据数学期望的性质求得X的数学期望。这是概率论中常采用的处理方法。建立一 个数学模型：r个人在楼的底层进入电梯，楼上有n层，每个乘客在任一层下电梯的概率是相同的。如到某一层无乘客下电梯，电梯就不停下。求Xi = 直到乘客都下完时电梯停车的次数 X的数学期望。解题：设Xi表示在第i层电梯停车的次数，则0,第i层没有人下电梯,1第i层有人下电梯。易见n nX 八 Xi,且E(X)八 E(Xi)i 4 i J由于每个人在任一层下电梯的概率均为 丄，n故r个人同时不在第i层下电梯的概率为(1-丄)，即：P(Xi =0) =(1一)

18、。n n从而，P(Xi =1) =1 一(1 一 1)r 于是：n得 E(X)=迟 E(Xi) =n 1 _(1 丄)r 1y 1 n(3)贝叶斯公式的应用：卩(人冋=卩(人护)一式中P(A)称为先验 送 P(Aj)P(B|Aj)概率，一般在试验前就已知，常常是以往的经验总结； P(AB)称为后验概率，它反映了试验之后对各种原因发生的可能性大小的新知识。 贝叶斯公式实际就是根据先验概率求后验概率的公式。例题模型：设患病的人经过检查，被查出的概率为 0.95,而为患病的人经检查，被误认为有肺病的概率为 0.002。又设在全城居民中患病的概率为0.1%。若从居民中随机抽一人检查，诊断为有肺病， 求这个人确实患有肺病的概率。解题：以A表示某居民患肺病的事件，A以表示某居民无肺病。设B 为检查后诊断为有肺病的事件，于是问题就是求P(AB).由于 B A 代又A与A 互 不 相 容 ，概率论与数理统计有太多的奥妙， 在我们的生活中有太多的“可 能性” “把握有多大” “估计值” “预测”。都与概率论与数理 统计有着密切的联系，当我们真正的去深入研究它的时候， 我相信我 们一定会有意想不到的收获。