直角三角形等腰直角三角形斜边直线专题.docx

1、直角三角形等腰直角三角形斜边直线专题直角三角形、斜边中线、等腰直角三角形专题、直角三角形的性质1一块直角三角板放在两平行直线上，如图， 1+2= 度2如图， ABC中， BAC=90 ， ADBC， ABC的平分线 BE交 AD于点 F，AG 平分 DAC，求证： BAD=C； AEF=AFE；AGEF3如图所示，在 ABC中，CD，BE是两条高，那么图中与 A 相等的角有4 如图，已知 ABC中， ABAC，BE、 CF都是 ABC的高， P 是 BE上一点且BP=AC，Q是 CF延长线上一点且 CQ=A，B 连接 AP、AQ、QP， 求证： APQ是等腰直角三角形、含 30角的直角三角形的

2、性质5在 RtABC中， ACB=60 ，DE是斜边 AC的中垂线，分别交 AB、AC于 D、E 两点若 BD=2，求 AD的长6 如图， AOP=BOP=15 ， PCOA交 OB于 C，PDOA于 D，若 PC=6，AB= AD，E为 BC上的一点，且 AE=AD，8如图， ABC为等边三角形，点 D 为 BC边上的中点， DF AB于点 F，点 E在 BA的延长线上，且 ED=EC，若 AE=2，求 AF 的长9如图所示，已知 1=2，AD=BD=，4 CE AD，2CE=AC，求 CD的长10如图，在 Rt ABC中， ACB=90 ， B=30， AD平分 BAC，DEAB于E，求证

3、：（1）CD=D；E（2）AC=BE；（3）BD=2C；D、直角三角形斜边中线问题11如图，在 ABC中A=60， BMAC于点 M，CNAB于点 N，P为 BC边的中 点，连接 PM，PN，求证： PMN为等边三角形；12 已知锐角 ABC中，CD，BE分别是 AB，AC边上的高， M是线段 BC的中点， 连接 DM，EM（1）若 DE=3，BC=8，求 DME的周长；（ 2）若 A=60，求证： DME=60 ；（3）若 BC2=2DE2，求 A的度数13如图，在 ABC中，D是 BC上一点， AB=AD，E、F 分别是 AC、BD的中点，EF=2，求 AC的长14 如图，在 ABC中，A

4、B=6，AC=8，BC=10，P为边 BC上一动点， PEAB于 E，PFAC于 F，M为 EF中点，求 AM的最小值15 如图，在 ABC中， ACB=90 ， B=20， D在 BC上，AD=BD，E为AB求 DFE等于多少16如图，在 RtABC中，ACB=90 ，将边 BC沿斜边上的中线 CD折叠到 CB，17如图， ABC中，AB=AC，D为AB中点， E在AC上，且 BEAC，若 DE=5， AE=8，求 BC的长度 18如图，在平行四边形 ABCD中，以 AC为斜边作 RtACE，又 BED=90 求证： AC=BD19已知：如图，在 Rt ABC中， ACB=90 ，点 M是

5、AB边的中点， CHAB于 点 H，CD平分 ACB（ 1）求证： 1=2（2）过点 M作 AB的垂线交 CD延长线于 E，求证： CM=E；M（ 3） AEB是什么三角形证明你的猜想20如图，已知在 ABC中，延长 CA到 D，使 BA=BD，延长 BA到 E，使 CA=CE， 设 P、M、N 分别是 BC、 AD、AE的中点求证： PMN是等腰三角形四、等腰直角三角形问题21如图， ACB、 CDE为等腰直角三角形， CAB=CDE=90 ，F为 BE的中 点，求证： AF DF，AF=DF22已知等腰直角三角形 ABC中，CD是斜边 AB上的高，AE平分 CAB交 CD于E， 在 DB

6、上取点 F，使 DF=DE，求证： CF 平分 DCB23如图， OBD和OCA是等腰直角三角形， ODB= OCA=90 M是线段 ABM为，点EC的中点1）求证： BMD为等腰直角三角形；2）将图中的 ADE绕点 A 逆时针旋转 45，如图所示，则（ 1）题中的结论“ BMD为等腰直角三角形”是否仍然成立请说明理由线段 AB，AC上，且 EDF=901）求证： DEF为等腰直角三角形；2）求证： S 四边形 AEDF=S BDE+S CDF；3）如果点 E 运动到 AB的延长线上，F在射线 CA上且保持 EDF=90， DEF还仍然是等腰直角三角形吗请画图说明理由26 ABC中， ABC=

7、45 ，ABBC，BEAC于点E，ADBC于点 D1）如图 1，作 ADB的角平分线 DF交 BE于点 F，连接 AF求证：FAB=FBA；2）如图 2，连接 DE，点 G与点 D 关于直线 AC对称，连接 DG、EG 依据题意补全图形；用等式表示线段 AE、 BE、DG之间的数量关系，并加以证明 27如图，在 ABC中， ACB=90 ， AC=BC，D为 BC中点， DEAB，垂足为点 E，过点 B作 BFAC交 DE的延长线于点 F，连接 CF、AF、AD，AD与 CF交于点 G （ 1）求证： ACD CBF；（ 2） AD与 CF的关系是 ；（ 3）求证： ACF是等腰三角形；（4）

8、 ACF可能是等边三角形吗 （填“可能”或“不可能”） 直角三角形斜边中线等腰直角三角形专题参考答案与试题解析1【解答】解：如图， 1= 3， 2= 4（对顶角相等）， 3+4=90， 1+2=90【点评】本题考查了直角三角形两锐角互余的性质， 对顶角相等， 熟记性质是解 题的关键2如图， ABC中， BAC=90 ， ADBC， ABC的平分线 BE交 AD于点 F，AG平分 DAC，给出下列结论： BAD=C；AEF=AFE；EBC=C；AG EF其中正确的结论是（ ）A B C D【分析】 根据同角的余角相等求出 BAD= C，再根据等角的余角相等可以求出 AEF=AFE；根据等腰三角形

9、三线合一的性质求出 AG EF【解答】 解： BAC=90 ， ADBC， C+ABC=90 ， BAD+ABC=90 ， BAD=C，故正确； BE是 ABC的平分线， ABE=CBE， ABE+AEF=90，CBE+BFD=90， AEF=BFD，又 AFE=BFD（对顶角相等）， AEF=AFE，故正确； ABE=CBE，只有 C=30时 EBC=C，故错误； AEF=AFE，AE=AF，AG平分 DAC，AGEF，故正确综上所述，正确的结论是故选 C【点评】 本题考查了直角三角形的性质， 等腰三角形三线合一的性质， 同角的余 角相等的性质以及等角的余角相等的性质， 熟记各性质并准确识图

10、理清图中各角 度之间的关系是解题的关键3如图所示，在 ABC中， CD，BE是两条高，那么图中与 A 相等的角的个数A1个 B2个 C3个 D4个【分析】 根据已知条件 CD， BE是两条高可知： A+DCA=90 ， ABE+ BHD=90 ，A+ABE=90，CHE+HCE=90 ， 再根据同角的余角相等即可得 到答案【解答】 解： CDAB， CDA=BDH=90 ， A+DCA=90 ， ABE+BHD=90 ，BEAC，A+ABE=90，CHE+HCE=90 ， A= BHD= CHE， 故选： B【点评】此题主要考查了直角三角形的性质， 关键是根据垂直得到有哪些角互余 4如图，已知

11、 ABC中，ABAC，BE、CF都是ABC的高，P是 BE上一点且BP=AC，Q是 CF延长线上一点且 CQ=A，B连接 AP、AQ、QP，判断 APQ的形状【分析】 利用 BE、CF都是 ABC的高，求证 1=2，然后求证 ACQ PBA， 利用 AQ=AP，AQAP，即可证明 APQ是等腰直角三角形【解答】 解： APQ是等腰直角三角形BE、CF都是 ABC的高， 1+ BAE=90， 2+CAF=90（同角（可等角）的余角相等） 1= 2又 AC=BP， CQ=A，B在 ACQ和 PBA中， ACQ PBAAQ=A，PCAQ=BPA=3+90 QAP=CAQ 3=90AQAP APQ是等

12、腰直角三角形【点评】此题考查学生对全等三角形的判定和性质和等腰直角三角形的理解和掌 握，难度不大，属于基础题5（ 2016秋? 泰山区期中）在RtABC中，ACB=60 ，DE是斜边 AC的中垂线， 分别交 AB、AC于 D、E 两点若 BD=2，则 AD的长是（ ）A3 B4 C5 D【分析】 根据直角三角形的性质求出 A 的度数，根据线段垂直平分线的性质得 到 DA=D，C 解答即可【解答】 解： ACB=60 ， B=90，A=30， DE是斜边 AC的中垂线，DA=D，C ACD=A=30，BD=2，AD=4，故选 B【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质、 直角三角形的性质， 掌握

13、线段的 垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键6（2016秋? 大丰市月考）如图， AOP=BOP=15 ， PCOA交 OB于 C，PDOA于 D，若 PC=6，则 PD等于（ ）A4 B3 C2 D1 【分析】过点P作PEOB于E，根据两直线平行，内错角相等可得 AOP=COP， 然后利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出 PCE=AOB=30 ，再根据直角三角形 30角所对的直角边等于斜边的一半解答 【解答】 解：如图，过点 P作 PEOB于 E，PCOA， AOP=COP， PCE=BOP+COP= BOP+AOP=AOB=30 ，又 PC=6， PE=

14、PC=3，AOP=BOP，PDOA，PD=PE=，3 故选 B【点评】 本题考查了直角三角形 30角所对的直角边等于斜边的一半，三角形 的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质， 以及平行线的性质， 作辅助 线构造出含 30的直角三角形是解题的关键点，且 AE=AD，则 EDC的度数是（ ）分析】 根据矩形性质得出 C=ABC=90，AB=CD，DCAB，推出 AE=2AB，得出AEB=30= DAE，求出 EDC的度数，即可求出答案 【解答】 解：四边形 ABCD是矩形， C=ABC=90 ， AB=CD，DCAB，AB= AD，E为 BC上的一点，且 AE=AD，AE=2AB，AEB=

15、30，ADBC， AEB=DAE=30 ，AE=AD， ADE=AED= (180 EAD)=75， ADC=90 ， EDC=90 75=15，【点评】本题考查了矩形性质，三角形的内角和定理，平行线性质，等腰三角形 的性质，含 30 度角的直角三角形性质的应用，解此题的关键是求出 ABC和 EBA的度数，题目比较好，是一道综合性比较强的题目8（2013 春? 重庆校级期末）如图， ABC为等边三角形，点 D为 BC边上的中 点，DFAB于点 F，点 E在 BA的延长线上，且 ED=EC，若 AE=2，则 AF的长为（ ）A B2 C +1 D3【分析】过点E作EHAC交 BC的延长线于 H，

16、证明 ABH是等边三角形，求出 CH，得到 BD的长，根据直角三角形的性质求出 BF，计算即可【解答】 解：过点 E作 EHAC交 BC的延长线于 H， H=ACB=60 ，又 B=60， EBH是等边三角形，EB=EH=B，HCH=AE=，2ED=EC， EDC=ECD，又 B=H， BED=HEC，在 BED和 HEC中， BED HEC，BD=CH=，2 BA=BC=，4 BF= BD=1，AF=3故选： D性质，掌握直角三角形中， 30角所对的直角边等于斜边的一半、 等边三角形的 三个角都是 60是解题的关键9（2012 春 ? 古冶区校级期中）如图所示，已知 1= 2，AD=BD=，

17、4 CEAD， 1=2=30， AD=BD=，4 B=2=30， ACD=180 30 3=90， CD= AD=2故选 A【点评】 本题利用了：（1）直角三角形的性质；2）三角形内角和定理；3）等边对等角的性质10（2012秋? 包河区期末）如图，在 Rt ABC中， ACB=90 ， B=30， AD 平分 BAC，DEAB于E，以下结论（ 1）CD=D；E（2）AC=BE；（3）BD=2C；D（4）A1个 B2个 C3个 D4个【分析】 根据角平分线的性质可得 CD=D，E AC=BE，结合含 30角的直角三角形 的性质可得 BD=2C，D而 AC和 BD不一定相等，所以可得出答案【解答

18、】 解： ACB=90 ， B=30， AD平分 BAC， DEAB，DC=D，E ADC=ADE=60 ，AD平分 CDE，AC=AE，在 RtBDE中， B=30，BD=2DE=2C，D在 RtADE中， DE= AE= AC，正确的有（ 1）、（2）、（ 3），故选 C【点评】 本题主要考查角平分线的性质及含 30角的直角三角形的性质，掌握 角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键11（2015 秋? 江阴市期中）如图，在 ABC中A=60， BMAC于点 M，CNAB于点 N，P为 BC边的中点，连接 PM，PN，则下列结论： PM=P；N PMN为等边三角形；下面判断正确是( )

19、A正确 B正确 C都正确 D都不正确 【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可判断正确； 根据直角 三角形两锐角互余的性质求出 ABM= ACN=30 ，再根据三角形的内角和定理求 出 BCN+CBM=60 ，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的 和求出 BPN+CPM=120 ，从而得到 MPN=60 ，又由得 PM=P，N 根据有一 个角是 60的等腰三角形是等边三角形可判断正确【解答】 解： BMAC于点 M，CN AB于点 N，P 为 BC边的中点， PM= BC，PN= BC， PM=P，N 正确； A=60， BMAC于点 M，CNAB于点 N， ABM=A

20、CN=30 ，在 ABC中， BCN+CBM18060302=60，点 P是 BC的中点， BMAC，CNAB，PM=PN=PB=，PC BPN=2BCN，CPM=2 CBM， BPN+CPM=(2 BCN+CBM)=260=120，MPN=60 ， PMN是等边三角形，正确； 所以都正确故选： C【点评】 本题主要考查了直角三角形 30角所对的直角边等于斜边的一半的性 质，等边三角形的判定与性质，熟练掌握性质是解题的关键12已知锐角 ABC中，CD，BE分别是 AB，AC边上的高， M是线段 BC的中点， 连接 DM，EM（1）若 DE=3，BC=8，求 DME的周长；（ 2）若 A=60，

21、求证： DME=60 ；（3）若 BC2=2DE2，求 A的度数【分析】（1）根据直角三角形斜边上中线性质求出 DM= BC=4，EM= BC=4，即可 求出答案；（ 2）根据三角形内角和定理求出 ABC+ACB=120 ，根据直角三角形斜边上中 线性质求出 DM=B，MEM=C，M推出 ABC= BDM，ACB=CEM，根据三角形内角 和定理求出即可；（ 3）求出 EM= EN，解直角三角形求出 EMD度数，根据三角形的内角和定理 求出即可【解答】 解：（1）CD， BE分别是 AB，AC边上的高， BDC=BEC=90 ， M是线段 BC的中点， BC=8， DM= BC=4， EM= B

22、C=4， DME的周长是 DE+EM+DM=3+4+4=；11 （ 2）证明： A=60， ABC+ACB=120 ， BDC=BEC=90 ，M是线段 BC的中点， DM=B，MEM=C，M ABC=BDM，ACB=CEM， EMC+ DMB= ABC+ACB=120 ， DME=180 120=60；3）解：过 M作 MNDE于 N， DM=E，MEN=DN=DE，ENM=90 ， EM= EN， sin EMN= =EMN=45 ，同理 DMN=45 ，DME=90 ， DMB+ EMC=180 90=90，ABC=BDM，ACB=CEM， ABC+ACB= (180 DMB1+80 E

23、MC)=135， BAC=180 ( ABC+ ACB)=45解直角三点评】 本题考查了等腰三角形的判定和性质， 三角形的内角和定理，角形的性质， 直角三角形斜边上中线性质的应用， 能综合运用性质进行推理是解 此题的关键，本题综合性比较强，有一定的难度，注意：直角三角形斜边上的中 线等于斜边的一半13（2014 春? 永川区校级期中）如图，在 ABC中，D是 BC上一点， AB=AD，E、 F分别是 AC、BD的中点， EF=2，则 AC的长是（ ）【分析】 连结 AF由 AB=AD，F 是 BD的中点，根据等腰三角形三线合一的性质 得出 AFBD再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得

24、 AC=2EF=4【解答】 解：如图，连结 AFAB=AD，F 是 BD的中点，AFBD在 Rt ACF中， AFC=90， E是 AC的中点， EF=2，AC=2EF=4故选 B【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线的性质： 在直角三角形中， 斜边上 的中线等于斜边的一半利用等腰三角形三线合一的性质得出 AF BD是解题的关键14（2011 秋? 姜堰市期末）如图，在 ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，P为边 BC上一动点， PE AB于 E， PFAC于 F，M为 EF中点，则 AM的最小值为（ ）A2 B C D3【分析】先求证四边形 AFPE是矩形，再根据直线外一点到直线上任

25、一点的距离， 垂线段最短，利用相似三角形对应边成比例即可求得 AP最短时的长，然后即可 求出 AM最短时的长【解答】 解：连结 AP，在 ABC中，AB=6，AC=8，BC=10， BAC=90 ，PEAB，PFAC，四边形 AFPE是矩形，EF=AP M是 EF的中点， AM= AP，根据直线外一点到直线上任一点的距离，垂线段最短，即 APBC时， AP最短，同样 AM也最短，当 APBC时， ABP CBA，AP最短时， AP=当 AM最短时， AM=故选 B【点评】此题主要考查学生对相似三角形判定与性质、 垂线段最短和直角三角形 斜边上的中线的理解和掌握， 此题涉及到动点问题， 有一定的

26、拔高难度， 属于中 档题15（2010? 武隆县模拟）如图，在 ABC中， ACB=90 ， B=20， D在 BC上， AD=BD， E为 AB的中点， AD、CE相交于点 F， DFE等于（ ）A40 B50 C60 D70【分析】 根据已知得， BAC=70 ， BAD= B，再根据直角三角形斜边上的中 线等于斜边的一半， 得出 ECB=B，从而得出 ACE，再由三角形的内角和定理 得 AFC，根据对顶角相等求出答案【解答】 解： ACB=90 ， B=20， BAC=70 ，AD=BD， BAD=B=20， DAC=50 ，E 为 AB的中点，BE=CE， ECB=B=20， ACE=

27、70 ，在 ACF中， ACF+AFC+FAC=180，AFC=60， DFE=AFC=60（对顶角相等） ， 故选 C直角三角形斜边上的中线等于斜边的一【点评】本题考查了等腰三角形的性质、 半，是基础知识要熟练掌握16（2016? 江岸区模拟）如图，在 RtABC中， ACB=90 ，将边 BC沿斜边上分析】 根据三角形内角和定理求出 A 的度数，根据直角三角形的性质分别求 出 BCD、 DCA的度数，根据翻折变换的性质求出 BCD的度数，计算即可解答】 解： ACB=90 ， B=50， A=40，ACB=90 ， CD是斜边上的中线， CD=B，D CD=AD， BCD=B=50， DCA=A=40， 由翻折变换的性质可知， BCD=BCD=50 ， ACB=BCD DCA=10 ， 故答案为： 10【点评】本题考查的是直角三角形的性质、 翻折变换的性质， 掌握在直角三角形 中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键17（2016秋? 嵊州市期末）如图， ABC中，AB=AC，D为 AB中点，E在AC上，且 BE AC，若 DE=5， AE=8，则