射影几何入门.docx

1、射影几何入门1.1-1 对应的定义 12.1-1 对应的意义和性质 23.1-1 对应在数学中的应用 44.无穷集之间的 1-1 对应 45.部分和整体的 1-1 对应, 无穷集的定义 96.无穷远点. 点列和线束 107.轴束. 基本形 118.三种基本形的六种透视对应 129.射影关系 1410.1 到无穷或无穷到 1 的对应 1611.平面点的无穷阶数 1712.一阶与二阶无穷集 1713.通过空间一点的所有直线 1714.通过空间一点的所有平面 1815.平面上所有的直线 1816.平面系和点系 1917.空间中的所有平面 1918.空间中的所有点 2019.空间系 2020.空间中的

2、所有直线 2021.点与数之间的对应 2022.无穷远元素 22（二）1-1 对应 基本形之间的关系 2523.七种基本形 2524.射影性 2525.Desargues 定理 2626.关于二个完全四边形的基本定理 2727.定理的重要性 2828.定理的重述 2829.四调和点概念 2930.调和共轭的对称性 3031.概念的重要性 3032.四调和点的投影不变性 3133.四调和线 3134.四调和平面. 3135.结果的概要性总结 3236.可射影性的定义 3337.调和共轭点相互之间的对应 3338.调和共轭的元素的隔离 3439.无穷远点的调和共轭 3440.射影定理和度量定理,

3、线性作图法 3541.平行线与中点 3642.将线段分成相等的 n 个部分 3743.数值上的关系 3744.与四调和点关联的代数公式 3745.进一步的公式 3846.非调和比（交比） 39(三)射影相关 基本形的结合 4147.叠加的基本形, 自对应元素 4148.无自对应点的情况 4249.射影对应的基本定理, 连续性假设 4350.定理应用于线束和平面束 4451.具有一公共自对应点的射影点列 4452.无公共自对应点的射影相关点列 4553.透视对应的两个射线束 4754.透视对应的面束（轴束） 4755.二阶点列 4756.轨迹的退化 4857.两阶线束 4858.退化情况 485

4、9.二阶圆锥面 49(四) 二阶点列 4960.二阶点列与二阶线束 4962.切线 5063.轨迹生成问题的陈述 5064.基本问题的解决 5165.图形的不同构作法 5266.将轨迹上四点连到第五点的直线 5267.定理的另一种陈述形式 5368.更为重要的定理 5469.Pascal 定理 5470.Pascal 定理中点的名称的替换 5471.在一个二阶点列上的调和点 5672.轨迹的确定 5673.作为二阶点列的圆和圆锥线 5674.通过五点的圆锥曲线 5775.圆锥线的切线 5876.内接四边形 5977.内接的三角形 6078.退化圆锥线 61(五)二阶线束 6379.已定义的二阶

5、射线束 6380.圆的切线 6381.圆锥曲线的切线 6582.系统的生成点列线 6583.线束的确定 6584.Brianchon 定理 6785.Brianchon 定理中线的替换 6886.用 Brianchon 定理构造线束 6887.与一圆锥曲线相切的点 6888.外切四边形 6989.外切三边形 7090.Brianchon 定理的应用 7091.调和切线 7192.可射影性和可透视性 7193.退化情况 7294.对偶律 72(六) 极点和极线 7595.关于圆的极点和极线 7596.圆锥曲线的内点的共轭点的轨迹7797.更多的性质 7898.极点极线的定义 7899.极点与极线

6、的基本定理 78100.共轭点与共轭直线 79102.自配极三角形 79103.射影相关的极点与极线 80104.对偶性 81105.自对偶定理 81106.其他对应关系 82(七)圆锥曲线的 度量性质 83107.直径与中心 83108.相关的几个定理83109.共轭直径 84110.圆锥曲线的分类84111.渐近线 84112.有关的几个定理85113.关于渐近线的定理85115.116.由双曲线及其渐近线切割的弦 86定理的应用 86117.由二条渐近线和一条切线形成的三角形 87118.用渐近线来表示一个双曲线的方程 88119.抛物线方程 88120.参引共轭直径的有心圆锥线的方程

7、91(八)对合(Involution) 9512 1.基本定理 95122.线性作图法 96123.直线上点的对合的定义 97124.对合中的二重点 97125.有关通过四点的圆锥曲线的 Desargues 定理 99126.退化圆锥线 100127.通过四点并与一已知直线相切的圆锥线 100128.二重对应 100129.Steiner 的作图方法 101130.Steiner 作图法在重对应中的应用 102131.二阶点列中点的对合 103132.射线的对合 104133.二重射线 105134.通过一固定点与四线相切的圆锥线 105135.双重对应 105136.处于对合下的二阶射线束

8、106137.有关对合二阶射线束的定理 106138.由一圆锥曲线确定的射线的对合 106139.定理的陈述 106140.定理的对偶 107(九) 对合的度量性质 109141.无穷远点的引入; 对合的中心 109142.基本度量定理 109143.二重点的存在 110144.二重射线的存在 112145.通过圆来构筑对合 112146.圆点 113147.对合中的正交射线对, 圆对合148.圆锥线的轴 114114149.由一圆锥线确定的对合的点是圆点 115150.圆点的性质 115151.圆点的位置 116152.寻找圆锥曲线的焦点 117153.圆和抛物线 117154.圆锥线焦点性

9、质 118155.抛物线的情况 119156.抛物面反射镜 119157.准线主轴顶点 119158.圆锥线的另一种定义 120159.离心率 120160.焦距之和与差 121168. Desargues 工作的被接纳127169. Desargues 时代的保守性127170. Desargues 的写作风格128171. Desargues 工作缺乏欣赏129172.Pascal 与他的定理 129173.Pascal 的短评 130174. Pascal 的独创性 130175. De La Hire 和他的工作131176. Descartes 和他的影响132177. Newton

10、 和 Maclaurin133178. Maclaurin 的证法133179.画法几何与综合几何的二次复兴 134180.对偶性, 同调性, 连续性, 偶然性联系 135181.Poncelet 和 Cauchy 135182.Poncelet 的工作 136183.解析几何妥欠综合几何的债 137184.Steiner 和他的工作 137185.Von Staudt 和他的工作 138186.近期的发展 139附 录 140参考文献 148索 引 1511. 1-1 对应的定义 第 1 章 1-1 对应【定义】任意给定两个集合，如果在它们之间能够建立一种对应，使得任意一个集合中的每一个元素

11、，都对应到另一集合中的一个且仅一个元素，那么，这两个集合就称为能够建立 1-1 对应的集合，简称两个集合为1-1 对应（One-to-One Correspondence）。 这里，1-1 对应是定义两个集合之间的一种关系 ，而不是它们元素之间的关系，但要确定两个集合是否有这种关系，需要考察它们的元素之间是否能够建立一个具体的 1-1 对应。 【例】试问由三个数字组成的集合1,2,3,和由三个字母组成的集合A,B,C之间是否 1-1 对应？ 【答】我们在这两个集合的元素之间建立下面这样的对应： 1 A ，2 B ， 3 C 这里符号表示其左右两边元素为对应。这样，两个集合中的每一个元素，都对应

12、到了另一集合中的一个且仅一个元素。所以集合1,2,3与集合A,B,C为 1-1 对应。 显然，包含两个数字的集合1,2或包含四个数字的集合1,2,3,4就不能与包含三个字母的集合A,B,C建立 1-1 对应。集合 1-1 对应的概念非常简单，但也非常重要，它在科研、生产或在日常生活中都频繁使用。例如，我们通常进行的计数过程就是将被计数对象与数字1、2、3 之间在心中建立 1-1 对应；在人类尚未进入文明时代、尚未发明数字之前，也已利用他们的手指与被计数对象（如每天的掠物）建立 1-1 对应。科学家们的神圣工作是对自然界各种事物进行命名与分类，本质上就是将这些事物及其属性与适当的 word（单字

13、）建立 1-1 对应。这种过程虽然不像计数那样简单，需要反复，需要修正和深化，不可能一次完成，但在本质上，每一步无非就是对事物及其属性进行记录，并用一些 word 与它们建立 1-1 对应。这些 word 开始只是少数人的专用语言，随着科学不断普及，这些专业术语也就逐步演变成人们的日常用语。如果你仔细分析语言的各种成分，你将发现，人类语言的全部概念实际都是利用 1-1 对应这种简单想法(idea)生成的。 2. 1-1 对应的进一步的意义和性质 集合的 1-1 对应是定义在两个集合上的两个互逆的 1-1 变换所联合组合。如集合1,2,3与集合A,B,C的 1-1 对应 1 A ， 2 B ，

14、3 C 就是下列两个 1-1 变换的组合： ：（ 1 - A ， 2 - B ， 3 - C ） ：（ 1 - A ， 2 - B ， 3 A ， 2 - B ， 3 - C ） ：（ 2 - A ， 1 - B ， 3 - C ） 则尽管和都是 1-1 变换，使一个元素变到一个元素，但与不是互逆的两个变换，它们合在一起就不构成（同）一个 1-1 对应。 1-1 对应关系具有对称性和传递性。即：如果集合 A 与 B 为 1-1 对应，则 B 与 A 也 1-1 对应；如果集合 A 与 B 为 1-1 对应，且集合 B 与集合 C 也1-1 对应，则集合 A 与 C 也 1-1 对应 。 1-1

15、 对应规定的仅仅是元素的对应方式，不允许个元素对应到多个元素，也不允许某个元素不与另一集合中的任何元素对应。但除此以外不再附加任何条件。 我们不要求一个集合中的某个元素必须与另一集合中某个固定元素进行对应。只要满足 1-1 关系，无论什么元素都可以与它对应。如前节例子中的数字集1,2,3与字母集A,B,C之间，下列种对应方式都是合格的 1-1 对应： （1） 1 A ， 2 B ， 3 C （2） 1 A ， 2 C ， 3 B （3） 1 B ， 2 A ， 3 C （4） 1 B ， 2 C ， 3 A （5） 1 C ， 2 A ， 3 B （6） 1 C ， 2 B ， 3 A 可以看

16、出， A,B,C 三元素的任何一种排列，都可与 1,2,3 对应。这 6 种不同的 1-1 对应可用以下 6 张关系表来表示： 每个表的左边列出了集合1,2,3的元素，上边列出集合A,B,C的元素，中间的每个格子代表对应行和列的元素是否有对应关系，T 代表有对应关系，否则代表没有对应关系。可以看出，每一行每一列都只有一个格子为 T，这表示两个集合元素之间的对应为 1-1 的。六个表代表六种不同的1-1 对应方式。如果两个集合都有 n 个元素，就有 n！种不同的 1-1 对应方式。 其次，建立对应的两个集合完全任意。它们可以有相同类型元素，如1,2,3与4,5,6对应；或完全相同的元素，如1,2

17、,3与1,2,3本身对应（这样的 2 个集合间仍有 6 种可行的对应方式）；或不同类型的元素，如前所述的1,2,3与A,B,C之间的对应。如果一个牧童用绳子把头羊分别牵在棵树上，就是让羊和树建立 1-1 对应；学生上课时，50 名学生走进一间有 50 个座位的教室，找到空位就坐下，就是在班级学生 和教室座位2 个集合之间自动建立一个 1-1 对应；物理学家经常把各种客观事物的变化规律与他们主观想象出来的公式混为一谈，就是在客观规律和错误公式两个集合之间建立 1-1 对应。 本书考察的对应主要是点、线、面等几何元素组成的集合之间的对应，有时也考察其他对应，包括几何元素与数的对应、几何元素与字母的

18、对应，等。 3. 1-1 对应在数学中的应用 在数学中，人们努力从事的工作，常常就是在简单概念和复杂概念之间建立 1-1 对应，或者是在已探索过的领域和正在探索中的未知领域寻找1-1 对应。例如， 利用平面几何中点和直线的性质或关系，到空间几何中去寻找点、线、面对应的性质和关系；利用中心、焦点、切线、渐近线等点和直线的性质来研究二阶曲线的性 质。解析几何是利用简单的代数方法来研究几何，而进入大学的高等代数中又反过来利用低维的几何直观来研究任意维的线性空间。在我们学习射影几何时，也要利 用我们已学过的各门数学知识，其中最重要的是平面几何的知识。 4. 无穷集之间的 1-1 对应 两个集合，如果它

19、们相互 1-1 对应，我们通常就称这两个集合包含了相同数目的元素；如果一个集合的一部分与另一个集合 1-1 对应，那么前一集合的元素数目比后一集合的元素数目为大。但这些结论仅适用于有限集，如果为无穷集，结论就常常不是这样了。下面我们来看几个例子。 例 12,4,6,8,10,等偶数仅仅是自然数的一半，但偶数集2,4,6,8,10,与自然数集1,2,3,4,5, 是相互之间能够建立 1-1 对应的两个集合。 【证明】我们为这两个集合的元素建立下面的对应： 自然数：1， 偶 数 ：2， 在这种对应下，每个偶数 2n 都能找到一个自然数 n 与其对应，而且反之，每个自然数 n 也都能找到一个偶数 2

20、n 与其对应。 可见，偶数虽为自然数的一半，但仍与自然数 1-1 对应。 例 2自然数集合： N = 1, 2, 3, 4, 5, 与自然数对(i,j)， i,j=1,2,3,. 的集合： N2 = (1,1),(1,2),(1,3), ,(2,1),(2,2),(2,3), ,(3,1),(3,2),(3,3), 为 1-1 对应的集合。 【证明】我们可以根据数对(i,j)的两个分量 i,j 的大小，将所有数对排成一个无穷方阵。规定数对(i,j)放在方阵第 i 行j 列。这样每个数对(i,j)就有一个且仅有一个方阵格点与其对应，而所有数对就与方阵所有格点建立了 1-1 对应。然后，再按下表所

21、示方式将无穷多个方阵格点与无穷多个自然数建立对应： 1 2 6 7 . 3 5 8 . . 4 9 13 . . . 10 12 . . . 11 . . . . . . . . . . . . . . . 按这种对角线次序的排列方法，平面方阵的任意一个格点（i,j）都会有唯一的一个自然数(i,j)与其对应，而且反过来，每一个自然数 n 也一定能找到一个格点（i(n),j(n)）与此自然数对应。所以，利用这种方法方式，平面正整数格点全体，因而也是数对(i,j)全体，与自然数全体建立了 1-1 对应。 读者不妨思考一下，与自然数 n=100 对应的格点（i,j）的分量 i,j 是多少？反过来，格

22、点（10,10）对应的自然数 n 又是多少？如果有条件且又有兴趣的话，还可在计算机上编个小程序来计算自然数与数对（i,j）之间的对应关系，无论用用 Delphi 或者别的语言都行。 【例 3】英寸线段上所有点与 2 英寸线段上所有的点为两个 1-1 对应的集合， 【证明】如图 4-1 所示。其中 AB 和 AB 分别是有 2 英寸和 1 英寸长的两条线段，C 是 AB 上的任意一点。为寻找 AB 上与 C 对应的点，我们连 AA和 BB，并延长交于 S。再作 S 与 C 的连线交 AB 于 C，则 C就是 AB 上与 C 对应的点。反之，对 AB 上任意 C，同样可找出 AB 上的对应点 C。

23、 图 4-1 英寸与 2 英寸长线段点的 1-1 对应 【例 4】对于无穷长直线 AB 上的任意一点，都能在 1 英寸长的线段 AB 上找到两个点与它对应。 【证明】我们作一个半径为 2分之一英寸的圆，则其周长为 1 英寸，也就是线段 AB 的长。因此，可以把这个圆看成就是由线段 AB 围成的圆，如图 4-2 所示。 注意，为了使标写的文字清晰，我们在图中把圆画大了一些，但所画圆的尺寸大小，不影响下面的证明。 现设此圆的圆心为 S。我们从直线 AB 上的任意点 C 作直线与 S 相连，此直线与圆的下半段圆弧交于 C，与上半段圆弧交于 C。则 C与 C就是与 C 对应的两点，由此得证。 图 4-

24、2 英寸圆周与无穷长直线点的对应 反过来，对于圆上任意两个对称点 C与 C是否也能在直线 AB 上找到 对应的一点呢？显然，这里有一个例外，就是当 C与 C的连线 CC平行 于 AB 时，在 AB 上就找不到对应点了，因为这时的连线 CC与 AB 不相交。此例说明了一个似乎不可思议的事情：1 英寸线段 AB上的点比无穷长直 线 AB 上的点的两倍还要多出两个点。 【例 5】无穷直线上的点的集合与无穷平面上点的集合可以建立 1-1对应。 【证明】我们需要用以下三步来证明整个结论： （）无穷直线与单位直线（0,1）中点可以建立 1-1 对应； （）单位直线（0,1）与单位平面（0,1）（0,1）中

25、点可以建立 1-1对应； （）单位平面（0,1）（0,1）与无穷平面的点可以建立 1-1 对应。 然后，根据 1-1 对应关系的传递性，就证明了无穷直线上的点与无穷平面上点也可以建立 1-1 对应。 其中（1）是明显的，我们只证（2）和（3）。先证（2）。 因(0,1)中点是小于的数 d，可以用一个无穷小数 d=0.a1a2a3a4a5a6a7a8 来表示，如果 d 原来为有穷小数，改为等价的无穷循环小数（如 0.4 改为 0.39999 ），这样，（0,1）间的每一个数都有一个且仅有一个实数与它对应；现令 x = 0.a1 a3 a5 a7 , y = 0.a2 a4 a6 a8 也就是说，

26、用 d 的奇数位小数作为 x 的小数，d 的偶数位小数作为 y 小数，那么，对任意一个直线点 d，就有一个对应的平面点 P（x,y）。且反之， 有一个平面点 P（x,y），其中 x = 0.a1 a2 a3 a4 , y = 0.b1 b2 b3 b4 那么也有唯一的直线点 d = 0.a1 b1 a2 b2 a 3.b3 与它对应。因此，单位平面点 P（x,y）就和单位直线点 d 建立了 1-1 对应。这样就证明了(2)。 再来证(3)。将单位平面的垂直边 v(0,1)与全平面 x 轴(-,+)对 应，水平边 u(0,1)与全平面 y 轴(-,+)对应。这样单位平面内的点 (u,v)就可与整

27、个平面中的点(x,y)建立对应。单位平面垂直边与 x 轴的对应如下图所示。将单位平面的垂直边作纵轴 v，S 是纵轴顶部左边任取的点，S 是纵轴底部右边任取的点。 图 4-3 使区间(0,1)中点与直线(-,+)中的点建立 1-1 对应 垂线（0,1）被 x 轴分成上下两段，上段以 S 为中心与+轴对应；下段以 S为中心与-轴对应；中点 0.5 与 x=0 点对应。这样，整个 x 轴上的点就和（0,1）中的点建立了对应。 类似地，单位平面水平边可与轴对应。利用这两个分量的对应即实现单位平面与整个平面的点的对应。从而证明了(3)。 要特别注意，直线与平面上这种点的对应方式不具备连续性。两个邻近的直

28、线点对应到平面后位置可以不邻近，且反之也一样。而本书后面将要考察的对应都要求有 连续性，即其中任一集合的一个元素趋向另一元素时，另一集合的两个对应元素也必须充分接近。除非其中的点为无穷远点才有例外。 从上面各节的论述可以看出，1-1 对应概念是比枚举（即计数）概念更为广泛的一种概念。直线上的点我们无法一个一个地进行枚举，我们无 法列出一个点的下一个点，但我们仍然可以考察这类集合之间的 1-1 对应。 设 a,b,c,d,e,f 是二阶线束中 设 A,B,C,D,E,F 是二阶点列中 的任何六条线，设 的任何六个点，设 l 是 a,b 交点与 d,e 交点的连线， L 是 A,B 连线与 D,E 连线的交点， m 是 b,c 交点与 e,f 交点的连线， M 是 B,C 连线与 E,F 连线的交点， n 是 c,d 交点与 f,a 交点的连线， N 是 C,D 连线与 F,A 连线的交点， 则 l，m，n 三线共点。 则 L，M，N 三点共线。 此点称 Brianchon 点，六线构成的图形叫 此线称 Pascal 线，六点构成的图形叫 Brianchon 六线形。 Pascal 六点形。