数值分析法求正弦余弦积分函数.docx

1、数值分析法求正弦余弦积分函数天津职业技术师范大学课 程 设 计 任 务 书 理 学院 数学103 班 学生 张群 课程设计课题: 用数值积分法计算正弦积分函数和余弦积分函数一、课程设计工作日自01 年 7月 4 日至 016 年 月 5日二、同组学生： 无 三、课程设计任务要求（包括课题来源、类型、目的和意义、基本要求、完成时间、主要参考资料等)：课题来源：教师自拟类型：理论研究目的和意义:培养学生对数值分析中主要算法的应用能力,探索相关算法之间的内在联系。基本要求：根据数值分析课程所学的知识，应用Matab软件编写程序,完成对算法及其内在原理的实验研究。完成时间: 参考资料：数值分析 李庆扬

2、等 清华大学出版社 指导教师签字： 教研室主任签字: 一、问题叙述用数值积分法计算正弦积分函数和余弦积分函数提示：正弦积分,余弦函数要求:（1)编写函数，对任意给定的，可求出值. （2）使用尽可能少的正余弦函数的调用,计算更精确的值.（用多种方法,创新方法)2、问题分析 1 、数值积分基本原理：用数值分析求解积分的数值方法有很多,如简单的梯形法、矩形法、辛普森（Smso)法、牛顿-科斯特（NewtonCotes）法等都是常用的方法。它们的基本思想都是将整个积分区间a，分成n个子区间x,x,i=1,2，n，其中x=a,x+1b。这样求定积分问题就分解为求和问题。2、本题要求用数值积分法计算正弦积

3、分函数和余弦函数积分，那么应该从编写函数的入手，建立fnction的m文件，通过对函数的调用，对任意跟定的x值，求出积分函数的值。3、数值积分法求解问题1、 梯形公式、矩形公式首先,积分中值定理告诉我们，在积分区间a，b内存在一点,成立dx=(b）（），就是说,底为ba而高为f(）的矩形面积恰等于所求区边梯形的面积。如果我们用两端点“高度”（a）与f（b)的算术平均值作为平均高度f(）的近似值,这样导出的求积公式df（a）f(）便是我们熟悉的梯形公式。将积分区间a,bn等分,每个小区间宽度均为h=，h称为积布步长.记a=xx1xk=b,在小区间上用小矩形面积近似小曲边梯形的面积，若分别取左端点

4、和右端点的函数值为小矩形的高，则分别得到两个曲边梯形面积的近似计算公式.具体程序如下：cear xlpae(,pi)； x（2); y=sin（x); s1=s（y）x s2rap()dx s1=umsu（)dx; sc2mraz（y）*dx; po(x,cs(x)+，x,sc1，。，x，sc2,o) old on 由图可知这种方法精度太低，应选择其他方法.2、quad函数、qua1函数正弦：fnctin=si（t) a=1e8; 函数在0点无界，去掉点 y=uad(sin()x,a,) y=uadl（sin(x)/x，a，t)余弦：fucty=ci（t） a=-e1； 函数在0点无界，去掉0

5、点 yquad（cos(x）/x,，t） y=uadl（o(x)。/x，a,)图像：1:1；for i1：10 y2(i)=i(x（i)）；endplo（x，y2，r）tite（辛普森）x=1：100；fori=1:100 y(i）=c（x（i)）;edplot(x,y,b）tite（辛普森) 给定任意x值,均可计算出对应的正弦、余弦函数积分.但从结果可以看出精度不是很高.3、复合求积公式由于牛顿科特斯公式在n8时不具有稳定性，故不可能通过提高阶的方法来提高求积精度。为了提高精度通常可把积分区间分成若干子区间(通常是等分），再在每个子区间上用低级求积公式。这种方法为复合求积法.3。3.复合梯形

6、公式将区间划分为n等分，分点在每个子区间上采用梯形公式，则得记, 称为复合梯形公式。复合梯形公式的余项由于且所以使 于是复合梯形公式的余项为 事实上只要设，则可得收敛性,只要把改写成为程序如下:正弦:functio T_=hts(a,b,n）h=(b)；or k=0：n x(+1）=kh; if x(k+1）=0 x（k+）=10（-10)； ended_1h/2*（SS(x(1)）+SS（n1）；o i=2： F(i）=h*SS(x(i）;endT_2sum（F）；T_n=T_1+;余弦：uci T_n=fhtxc（,b，n)=(b-）/；or k=0:n x(k1）=*h； if x(k+

7、1）=0 x（k）=1（-10)； edndT_1(（x（1)+CC（x(n+1）)；fo i=2：n F（i)h*C(x（i）;endT=su（F）；Tn=_+T2;图像: 正弦 余弦3.32 复合新普斯求积公式将区间划分为n等分，在每个子区间上采用辛普森公式，若记则得 称为复合辛普森求积公式。程序如下：正弦unctin Sn=fhx(a，b，n）h=(b)n; k=0: (k+)=a+; x_k(k+1)=（k+1)1/2h; i（x（+1）=0)|（x_k（k+）=） x(k+1）1（10)； x_（k+1）1(-0)； endndS1h/6*(S（x（）+S（+）)；for i=2：n

8、 F_1（i）=h/*SS（x(i）；enfr j=1:n F_2（j）2*h3*SS(x（）;nd_=s（_1）+sum(_2）；S_=S1+S2;余弦：fction S_nfhps(,n）（b-a）/n;for k=0：n x()=a+h； x（1）x（k1）+1/； if（(k)=0）|(x_(+）=0） （k1）=10(-10）; _k（k1）=0(-10）; nndS1h6(CC(（1)）+CC(x（n+1）)）；for i=:n F_1(）=h/3*CC(x(i)；nor j=： F_2（j）2h3*C（x_k（j);ndS_2=sum（F1)+sm（F）；_n=S_+S_2；图像

9、与复合梯形所得图像基本相同，深入分析两只复合函数的优劣，对于积分函数 假设=1,则将区间0，划分为8等份，应用复合梯形求得T80。94569而如果将0，1分为4等份，应用复合辛普森有S40.946032通过参考数值分析（李庆阳）的结论,发现无论是复合梯形公式还是复合辛普森公式,最终结果都会随着h值的减小而更加精确.对复合梯形公式和复合辛普森公式计算出的结果进行比较，发现复合梯形法的结果只有两位有效数字，而复合辛普森的结果却有六位有效数字,所以复合辛普森公式计算出的结果更加的精确。4、插值型的求积公式cl，cear0=0:05：5； = n 1. 0。5403 0。0472 0.201 0。20

10、 -0。300 0。67 -0。164 0.468 0。0567；所求积分函数的数值pp=sae（x0,0） ; 默认的边界条件,gang边界条件orat gcazip。coef 显示每个区间上三次多项式的系数s=qual(（t)ppvl（pp，t），5)%求积分fomat 恢复短小数的显示格式x=0:0。1:5；=co(x）x；y1=splne（0，y，x）;z=0；holdonlot（x,z，y，k-，x,y1，)plot（x0，y，）hold offeax0=0：0.5：;0= f 17552 0.5403 0042 。2081 -.3205 0.300 026 -0.1634 -0。0

11、468 0.057； %所求积分函数的数值p=sape（x0,y0） ； %默认的边界条件，Lagrang边界条件omat o azhi=pp。coefs 显示每个区间上三次多项式的系数qud()ppvl（pp,t),0,5) 求积分foat 恢复短小数的显示格式x0:0。1：；=cos（)/x;y1=line(0,y0，x）;0x；holdnplt(x,z，x，k，x,y1，r）pot（x0，y0，*)hol f如图所示:5、高斯求积公式funtn ql，A,xk=gj(un,a,b，n，tol)if nrn a=1；b=；n=7;t=1-8；elsef nrgi= n7;tol=1e-8；

12、elif nargin= tol=1e8;lsei narin=2nagin5 eror( Numbr of Inp Agumnts Is Wrn！)；end% 计算求积节点syms xpsymoy(dif(-1)(n+1),n1）/(2*ct(）;tk=rots（p）； 求积节点 计算求积系数Aros（+1,1）;fi=1:+1 xk=tk; xkt(i）=; p=poly(xk）； fp=（x)oyvl(pn，）/olyva(n，t（i)； A（i)=qdl(p,1，1,tl）; % 求积系数end积分变量代换，将a，变换到-1,1xk=（ba）/2t+(+a)/2;% 检验积分函数fun有效性un=h(fun,ectorze）；计算变量代换之后积分函数的值S=fun（x）(b-a)/；计算积分值=sum（AkS）； 计划表7月3号熟悉问题，准备工作，借阅相应的资料,搞清楚题目的用意题目要求多种方法计算，并尽量减少函数的调用。7.4 归纳总结多种数值求积的方法,找到各种方法对应的tlab程序。梯形辛普森公式复化辛普森、复化梯形高斯勒让德插值7。5 编写程序,对所找的方法逐一处理编程，思考跟好的方法.运行编程结果，进行检查改进7。 编写报告总结,对程序进行系统性总结,完成课程设计7。修改论文，修改程序,检查修正出现的错误