集合论习题答案.docx

1、集合论习题答案P3 习题1.11.1.1 解： 2,3,5,7,11,13,17,19； e,v,n,i,g； 3,2； 1； 2, , ； 共14项，前四项为极小因式：不能再分解为其它因式的因式： x+1，x1，x2+x+1，x2x+1，x21，x3+2x2+2x+1，x3+1， x31，x32x2+2x1，x4+x2+1，x4+x3x+1， x4x3+x1，x5+x4+x3+x2+x+1，x5x4+x3x2+x1)1.1.2 解 x | xI+ , x80； x | xI且nI使x=2n+1； x | xI且nI使x=5n； (x,y)| x,yR , x2+y21； ax+b=0| a,

2、bR且a0。P5 习题1.21.2.1 答：为真的有：、，其余为假。1.2.2 答：为真的有：、，其余为假。1.2.3 解：A=，B=0，C=,4,2,0,2,4，D=2,4，E=,4,2,0,2,4，F=2,4， G=，H=,4,2,0,2,4。 C=E=H，D=F，A=G。1.2.4 答：四个全为真。 证明： 例 A=a , B=a,A 例 B=A , C=A , B 例 A= 例 A=a , B=a,A , 2B= , a , A , B 1.2.5 解 幂集 ；幂集的幂集 , 幂集 ,a,a； 幂集的幂集 零元素子集 , 单元素子集 , , a , ,a, 双元素子集 , , ,a ,

3、 ,a , ,a , ,a , a,a , 三元素子集 ,a , ,a , ,a,a , ,a,a， 四元素子集 ,a,a 。1.2.6 证：设 a=c且b=d， a=c且a,b=b,d a,a,b=c,c,d 。 设 a,a,b=c,c,d， a在c,c,d中， a=c或a=c,d a是单元素集，而c,d是双元素集， 只能 a=c， a=c 同理 a,b=c,d，又 a=c， b=d P11 习题1.31.3.1 解 0,1,2,3,4,5,6,7,8,16,32,60,64,30,90,120,150,； ； 3,4,5,6； 0,1,2,3,4,5,6,8,16,32,64。1.3.2

4、解：A=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11，B=1,2,3,4,5,6,7,8 C=2,4,6,8,，D=3,6,9,12,，E=1,3,5,7, BC； AD； (AC)B； CB； (AC)(EB)。1.3.3 证：例 A=1,2，B=1，C=2。 AB=AC=A，但BC。 答：能。 证1： AB=AC， (AB)B=(AC)B， B=(AC)B， B=(AB)(BC)=(AC)(BC)=(AB)C=(AC)C=C。 证2：xB 若 xA，则xAB，AB=AC， xAC， xC； 若 xA，而xAB，又AB=AC， xAC，又 xA， xC BC，同理可证得CB， B=C 。

5、1.3.4 证：例 U=1,2 , A=1 , B=2 , AB=1 , 而BA=2， ABBA， 差运算不满足交换律。 1.3.5 证：用互为子集法证明。仅证明 。 x， x ， SC， xS，即 SC，x， x， ； x， SC，x， SC， xS， x， x， ； = 1.3.6 证：用互为子集法证明。仅证明 。 xB()， xB 且 x， xB 且 SC，xS， xBS， x， B()； x， SC，xBS， xB 且 xS， xB 且 x， xB()， B() ； B() = 1.3.7 解 (a) (AB)()； (b) ABC； (c) (AC)B。 P13 习题1.41.4.1

6、 解 (a,0,c) , (a,1,c) , (b,0,c) , (b,1,c) (c,c),a) , (c,c),b) (a,c),(a,c) , (a,c),(b,c) , (b,c),(a,c) , (b,c),(b,c)1.4.2 证：用互为子集法证明 。 (x,y)(AB)(CD) xAB且yCD xA且xB且yC且yD (x,y)AC且(x,y)BD (x,y)(AC)(BD) (AB)(CD)(AC)(BD) 同样方法可证得：(AC)(BD)(AB)(CD) (AB)(CD)=(AC)(BD) 1.4.3 证：反证法：设A且B且AB xA且xB 或者 yB且yA 若xA且xB，则

7、对bB，有(x,b)AB，但(x,b)BA， ABBA。 若yB且yA，则对aA，有(a,y)AB，但(a,y)BA， ABBA。 若A=，AB=BA= 若B=，AB=BA= AB=BA 若A=B，AB=BA 1.4.4 答：6小题全为假。 证： 例 A=a , B=b , x=aA但y=cB，也有(x,y)=(a,c)AB。 B2B但BB， 对x2A，(x,B)2A2B，但(x,B)2AB 2AB2A2B。 例 A=1，B=2，C=，则 AC=BC=，但 AB。 例 A=1，B=C=，D=3 (AB)(CD)=13=(1,3) (AC)(BD)= 例 A=B=1，C=2，D=3 (AB)(C

8、D)=(CD)= (AC)(BD)=(1,2)(1,3)=(1,2) 例 A=B=1，C=2，D=3 (AB)(CD)=(CD)= (AC)(BD)=(1,2)(1,3)=(1,2),(1,3)1.4.5 证：用互为子集法证明。 (x,y)A(BC)， xA 且 yBC， yB 且 yC xA且yB且xA且yC， (x,y)AB且 (x,y)AC (x,y)(AB)(AC) ， A(BC) (AB)(AC) ； (x,y)(AB)(AC)， (x,y)AB且 (x,y)AC， xA且yB且xA且yC， xA 且 yBC， (x,y)A(BC) ， (AB)(AC) A(BC) ； A(BC)

9、= (AB)(AC) P14 习题1.51.5.1 解：设A为学英语的学生集合，B为学日语的学生集合。 |A|=45，|B|=30，45|AB|60 |AB|=|A|+|B|AB|， 15|AB|30。1.5.2 解 设能被2,3,5,7整除的整数集合分别为：A2，A3，A5，A7。 |A2|=125，|A3|=83，|A5|=50，|A7|=35，|A2A3|=|A6|=41，|A2A5|=|A10|=25 |A2A7|=|A14|=17，|A3A5|=|A15|=16，|A3A7|=|A21|=11，|A5A7|=|A35|=7 |A2A3A5|=|A30|=8，|A2A3A7|=|A42

10、|=5 |A2A5A7|=|A70|=3，|A3A5A7|=|A105|=2 |A2A3A5A7|=125+83+50+3541251716117+8+5+3+21=1931.5.3 解：已知 |数|=67，|物|=47，|生|=95 |数物|=28，|数生|=26，|物生|=27 |数物生|=20050=150 |数物生|=|数|+|物|+|生|数物|数生| |物生|+ |数物生| 150=67+47+95-26-27-28 + |数物生| |数物生| =22 。各小区的内容详见右图。P19 习题1.61.6.1 解： 设D=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9，所要定义的集合为A； xD

11、，xA x,yA，xyA 只有有限次地运用步所生成的元素属于A，否则不属于A。 设D=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9，所要定义的集合为A； xD，x.A xD，yA，xyA且yxA 只有有限次地运用步所生成的元素属于A，否则不属于A。 设所要定义的集合为A 0A xA，x+2(10)2A 只有有限次地运用步所生成的元素属于A，否则不属于A。 设所要定义的集合为A A x,yA，xyA且xA 只有有限次地运用步所生成的元素属于A，否则不属于A。1.6.2 解：可以，但从1开头，即从a开头，|a|=1。1.6.3 解： 去掉第一条，所得模型为空集。 去掉第二条，所得模型为无穷有根多元树，即

12、表示一个元素可有多个后继。 去掉第三条，所得模型为 0，且0=0。 去掉第三条，所得模型为 0,1,2，0=1，1=2，2=1。 去掉第三条，所得模型为 0,x1,x2,y1,y2,，0=x1，iI+，xi=xi+1，yi=yi+1。1.6.4 证： 基础：8=5+3。 归纳：kN且88，所以至少有3张3分的邮 票。把这三张三分的邮票换成两张5分的邮票，就实现了k+1分邮资的组合。 1.6.5 证：当n=2时，本身为质数，自然成立。 kN且2k，假设当nk时，n可写为若干质数之积 当n=k时，若k为质数，自然成立。 若k为和数，则k可写为p与q的积，此时因p,q均小于k，根据归纳假设，p和q

13、均可写为若干质数之积，故n=k=pq也可写为若干质数之积。 1.6.6 证：a,bN，对c施以归纳证明 当c=0时，a+(b+0)=a+b=(a+b)+0 假设当c=n时，a+(b+n)=(a+b)+n 当c=n时，a+(b+n)=a+(b+n)=(a+(b+n)，(a+b)+n=(a+b)+n) 根据归纳假设，a+(b+n)=(a+b)+n， a+(b+n)=(a+b)+n a,b,cN，a+(b+c)=(a+b)+c。 mN m0=0； m,nN mn=(mn)+m m,nN,m0,n0，m0=1，0n=0； m,nN，m0， =mnm mN mm； m,nN 若mn，则mn。P23 习题

14、1.71.7.1 解： A2=,a,aa； C3=ababab； CAB=aba,abb,abaa,abab A+=,a,a2,a3,=an | nN； C*=,ab,(ab)2,(ab)3,=(ab)n | nN。1.7.2 证： xA, 必aA，使x=a=a, xA, AA; xA x=x xA AA; A=A。 x(AB)C, 必aA, bB且cC, 使x=(ab)c 串的连接运算满足结合律， x=a(bc)A(BC), (AB)CA(BC); 同理可证得 A(BC)(AB)C， A(BC)=(AB)C。 1.7.3 证： xA(BC)，必aA, 且bBC, 使x=ab， bB且bC a

15、A且bB, x=abAB; 又aA且bC, x=abAC; xABAC， A(BC)ABAC。 例 A=,a, B=, C=a; A(BC)=A= ABAC=,aa,aa=a, A(BC)ABAC。1.7.4 证： 证 A*A*=A* xA*A*, 必m,nN 使 x=AmAn=Am+n 又 Am+nA* xA* A*A*A* xA* A* xA*A* xA*A* A*A*A* A*A*=A* 证 (A*)*=A* x(A*)*, 必nN 使 x(A*)n 又 x(A*)n xA* (A*)*A* 又 A*(A*)* (A*)*=A* 证：证 (A*)+=A* A*，根据，(A*)+=(A*)

16、*，又根据，(A*)+=A* 证 (A+)*=A* A+A* 根据定理1.14，(A+)*(A*)*，又根据，(A+)*A* 又 AA+ 根据定理1.14 A*(A+)*，(A+)*=A* 。 证 A*A+=A+A* 根据 ，A+(A*)*=(A+)*A+，根据 ，A+A*=A*A+ 。 证 A*A+=A+ xA*A+，必aA*，bA+，使x=ab A*A+ 又 A*=A+ 若 a，即a=， x=ab=b=bA+ 若 aA+， bA+， 必m,nN，使 aAm，bAn x=abAmAn=Am+nA+， A*A+A+ 又根据定理1.14，A+A*A+， A*A+=A+ 1.7.5 证： 根据定理

17、1.15，(A*B*)*=(AB)*，(B*A*)*=(BA)* AB=BA， (A*B*)*=(B*A*) AA*，根据定理1.14，A*A*B*A*B*C*， AA*B*C* 同理 B,CA*B*C* ABCA*B*C* 根据定理1.15，A+(A+)*=(A+)+， 根据定理1.15，(A+)*=A*， A+(A+)*=A+A*=(A+)+ 根据定理1.15，A+A*=A+， A+)+=A+ 。 注：本教材中定理1.15的结尾“=A*”是错误的，应为“=A+”。 x(AB)*A，必a(AB)*，bA，使 x=ab 必nN，使a(AB)n， x(AB)nA 。 又 连接积运算满足结合律，

18、(AB)nA=(AB)(AB)(AB)A=A(BA)(BA)(BA)=A(BA)n x=ab A(BA)n， a A，b(BA)n 又 (BA)n(BA)*， b(BA)*， xA(BA)*， (AB)*AA(BA)* 同理可证得 A(BA)*(AB)*A， (AB)*A=A(BA)*。 AABCD，根据定理1.14， A*(ABCD)* 同理 B*, C*, D*(ABCD)* 根据定理1.10， A*B*C*D*(ABCD)*4 根据定理1.13，(ABCD)*4(ABCD)* 根据定理1.15，(ABCD)*=(ABCD)* A*B*C*D*(ABCD)* 又根据定理1.14，(A*B*

19、C*D*)*(ABCD)* 根据定理1.15， (A*B*C*D*)*(ABCD)* 又 AA*，根据定理1.14， AA*A*B*A*B*C*A*B*C*D* 同理 B, C, DA*B*C*D*， ABCDA*B*C*D* 根据定理1.14， (ABCD)*(A*B*C*D*)* A*B*C*D*=(ABCD)* 1.7.6 解： =a，n=2，A=a， (A*)n=a,a2,a3,=A* 而 (A*)*=,a2,a4,a6,A*，二者不相等。 =a,b，A=a，B=b， (AB)*= , ab, (ab)2, 而 (BA)*= , ba, (ba)2, ， 二者不相等。 A=, a，B=

20、, b，C=, a, b， (AB)C=aC=a, aa, ab 而 ACBC=, a, b, aa, bb, a, b, ba, bb=aa, bb， 二者不相等。 A=, a，B=a，A*=, a a2, a3, =B*，但A不是B的子集。 =a，A=a， =*A=, a2, a3, ，()*=, a2, a3, = 但A*=*， =*A*=， ()* A=a，B=b，根据定理1.15，(A*B*)*=(AB)* bab(AB)*，但bab(A*B*)A*， 二者不相等。 A=a，aA+，但A+A+=a2, a3, a4, ， aA+A+， 二者不相等。1.7.7 解： *aa, ab,

21、ba, bb* b*ab* ab*abba, bb *aaa* 或 b, a3, a4, a5*(b)* *bbab*1.7.8 证： 先证 A。反证：假设 A， A，不妨设A=a，那么A2=aa 显然 A2A，与前提条件 A2=A 矛盾！ 归纳证明 An=A。 当n=1时，A=A 成立。 假设当n=k时，Ak=A 成立； 当n=k+1时， Ak+1=AkA，根据归纳假设，Ak=A Ak+1=AA=A2=A xA*，若x=，则 A ( 已证)， xA 若x ，则必nN，使 xAn。又 An=A， xA A*A。 又 AA*， A*=A P26 习题2.12.1.1 解： R=(0,0),(0,

22、2),(2,0),(2,2)； R=(1,1),(4,2)2.1.2 解： R=(0,4),(4,0),(1,3),(3,1),(2,2) R=(0,0),(0,1),(0,2),(0,3),(0,4),(1,1),(2,2),(3,3),(4,4) R=(0,0,0),(0,1,1),(0,2,2),(0,3,3),(0,4,4),(1,0,1),(1,1,2),(1,2,3),(1,3,4),(2,0,4) R=(0,0),(0,1),(0,2),(0,3),(0,4),(1,0),(1,1),(1,2),(1,3),(1,4) 2.1.3 解：2.1.4 定义： (0,0)R 且 (1,

23、0)R 若 (a,b)R，则 (a+1,b)R且 (a+1,b+1)R 极小性 证明：(0,0)R (基础)， (2,0)R， (3,1)R (归纳)。 定义： (0,0)R 若 (a,b)R，则 (a+2,b+1)R 极小性 证明：(0,0)R (基础)， (2,1)R， (4,2)R， (6,3)R (归纳)。 定义： (0,0,0)R 若 (a,b,c)R，则 (a+1,b,c+1)R且 (a,b+1,c+1)R 极小性 证明：(0,0,0)R (基础)， (1,0,1)R， (1,1,2)R (归纳)2.1.5 解： RS=(1,2),(1,3),(2,4),(3,3),(4,2)，R

24、S=(2,4)，RS=(1,2),(3,3) =(1,1),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4) D(R)=1,2,3，R(R)=2,3,4，D(RS)=A，R(RS)=2,3,42.1.6 证： xD(RS)，则根据定义域的定义，必yA，使 (x,y)RS (x,y)R 或 (x,y)S， xD(R) 或xD(S) xD(R)D(S)， D(RS)D(R)D(S) xD(R)D(S)， xD(R) 或xD(S) 若xD(R)，则必yA，使 (x,y)R，当然 (x,y)RS， xD(RS

25、) 若xD(S)，则必yA，使 (x,y)S，当然 (x,y)RS， xD(RS) xD(RS)， D(R)D(S)D(RS) D(RS)=D(R)D(S) yR(RS)，则必xA，使 (x,y)RS (x,y)R 且 (x,y)S， xD(R) 且xD(S) xD(R)D(S)， D(RS)D(R)D(S) 2.1.7 证明： |AA|=n2，又 AA的任一子集为一个二元关系， 而AA有个不同的子集， 就有个不同的二元关系。 P29 习题2.2自反的反自反的对称的反对称的传递的=II2.2.1 解：2.2.2 解： 自反、对称、反对称、传递 反对称、传递 传递2.2.3 解： 反对称、传递； 反自反、对称； 自反、对称、传递 反自反、反对称、传递； 反对称； 反自反、