1、二次函数的最大值与最小值13二次函數的最大值與最小值壹、補充重點(1)二次函數的最大值與最小值應用一覽表:名稱已 知條 件結 論最大值的應用 自然數N分成兩數 x,y當x=y=時,x與y的乘積最大最大乘積= 定長m圍成一矩形時以正方形面積為最大,其邊長為最大面積=最小值的應用 自然數N分成兩數 x,y當x=y=時,x與y的平方和最小最小平方和= 定長m分成兩線段 a,b分別為邊各作一正方形當a=b=時,兩正方形面積和為最小最小面積和= 兩正數之積為定值k時(xy=k,x0,y0)當x=y=時,x+y的和最小最小的和:x+y=2=2 設矩形的長,寬分別為x,y,若其面積一定時當x=y時,矩形周長
2、為最小最小的周長=4(2)二次函數在自變數限制範圍下求最大值與最小值:函數y=f(x) 若頂點位於範圍 x 內時,圖形如下:xyo(,f()(m,n)(,f()xyo(m,n)(,f()(,f()若頂點為(m,n)而圖形二端點為(,f(),(,f(),則n,f(),f()三者中 較小者為最小值, 較大者為最大值。xyo(,f()(,f() 若頂點不位於範圍 x 內時,圖形如下:xyo(,f()(,f()圖形二端點為(,f(),(,f(),則f(),f()二者中 較小者為最小值, 較大者為最大值。(3)最大值與最小值的求法,除可利用二次函數來求外,尚可利用下列的方法: 利用 (算術平均數)(幾何
3、平均數)例:二正數x,y,若xy=24,求2x+3y之最小值。 2x+3y 2x+3y2=24 故最小值為24 利用a+ba+b例:設x為實數,求x+2+x-5之最小值。x+2+x-5=x+2+5-x(x+2)+(5-x) =7x+2+x-57 故最小值為7 利用一元二次方程式D0例:設k為實數,方程式x2-(k-1)x+(k2-1)=0有實根,求k之最大值與最小值。方程式有實根 D0-(k-1)2-41(k2-1)0(k-1)(k-1-4k-4)0 (k-1)(3k+5)0 1k-,故 k之最大值為1,最小值為-。 分式型:當分子為定值,分母最大時分式的值為最小;分母最小時分式的值為最大。例
4、:設x為實數,求y= 之最大值。 x2+2x+4=(x2+2x+1)+3=(x+1)2+33當x=-1時,x2+2x+4有最小值3,此時y有最大值=4。 利用配方例:設x,y為實數,A=x2+y2+4x-6y+20,求A之最小值。A=x2+y2+4x-6y+20=(x2+4x+4)+(y2-6y+9)+7=(x+2)2+(y-3)2+77A之最小值7。貳、例題例1.y=2x2+2x-3,試求此二次函數之最小值? 【答:】解:例2.二次函數y=-3x2+ax+b,當x=3時,有最大值4,則a=?b=?解: 【答:18、-23】例3.二次函數y=ax2+bx+c,當x=3時,有最小值-2,且圖形通
5、過 (0,7),則a=?b=?c=? 【答:1、-6、7】解:例4.二次函數y=x2-6x+10,當1時,試求y之最大值與最小值? 【答:5、1】解:例5.二次函數y=x2-2x+4,當2時,試求y之最大值與最小值? 【答:7、4】解:例6.x為正整數,則二次函數y=2x2-5x+10之最小值為? 【答:7】解:例7.晴晴向上拋擲一球,經t秒後距離地面s公尺,且有s=30t-5t2之關係式,試問此球擲出後,距離地面最高可達多少公尺?解: 【答:45公尺】例8.A、B為數線上兩點,座標分別為7、2,試在座標上求一點P,使得為最小? 【答:】解:例9.設a:b=1:2且b:c=3:4,試求ab-b
6、c+ac+c之最大值?解: 【答:】例10.某人以長100公尺的鐵絲網,在河邊圍一長方形之菜園,河邊當作一直線不圍,試求所能圍成的最大菜園面積?解: 【答:1250平方公尺】例11.x0、y0,2x+y=6,試求xy之最大值? 【答:】解:例12.a0、b0,試求之最小值? 【答:2】解:例13.y=|x-4|+|x-3|,試求y之最小值? 【答:1】解:例14.y=|x|+|x-1|+|x-2|,試求y之最小值? 【答:2】解:例15.y=|x-1|+2|x-2|+3|x-3|,試求y之最小值? 【答:4】解:例16.y=2x2+3mx+2m之最小值為M,則M之最大值為? 【答:】解:參、習
7、題1.二次函數y=(a-1)x2+5x+a2的圖形通過(-1,0),(1)當函數有最大值時,則a=? (2)當函數有最小值時,則a=?解:2.二次函數y=ax2+12x+b在x=時有最小值10,則a=?b=?解:3.f (x)=ax2+bx+2,若f (-1)=0、f (3)=-4,則f (x)之最大值為?解:4.二次函數y= x2-4x+5,當0時,試求y之最大值與最小值?解:5.二次函數y=x2-2x+5,當2時,試求y之最大值與最小值?解:6.x0,試求x+之最小值?解:7.a0、b0,試求(a+b)()之最小值?解:8. y=|x-1|+|x-2|+|x-3|,試求y之最小值?解:9.牧人游牧,到了一大塊草原,今有100公尺長的鐵絲網,欲圍成一矩形,試求此矩形之最大面積?解:10.農夫在固定的柑園裡種40顆柑樹,每顆年產量600個柑子。若在此園裡,每少種一顆柑樹,則每顆柑樹每年多產20個柑子。試問這個柑園,應少種幾顆?其年產量才能最大。解:肆、習題解答 1. -3、2 2. 4、19 3. 4. 5、1 5. 8、5 6. 2 7. 4 8. 9. 625平方公尺 10. 5顆
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